научная статья по теме ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ФУНКЦИОНАЛОВ ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО УСВОЕНИЯ ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ Геофизика

Текст научной статьи на тему «ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ФУНКЦИОНАЛОВ ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО УСВОЕНИЯ ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ»

ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2015, том 51, № 3, с. 392-400

УДК 551.509.333:519.6

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ФУНКЦИОНАЛОВ ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО УСВОЕНИЯ ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ © 2015 г. В. П. Шутяев*, Ф. Ле Диме**, В. И. Агошков*, Е. И. Пармузин*

*Институт вычислительной математики РАН 199333 Москва, ул. Губкина, 8 E-mail: shutyaev@inm.ras.ru **Университет Гренобля BP 51, 38051 Гренобль, Седекс 9, Франция E-mail: ledimet@imag.fr Поступила в редакцию 08.10.2014 г., после доработки 17.10.2014 г.

Задача вариационного усвоения данных наблюдений для нелинейной эволюционной модели сформулирована как задача оптимального управления с целью восстановления функции начального условия. Оператор модели, а следовательно, и оптимальное решение зависят от параметров, которые могут содержать неопределенности. Рассматривается функционал от решения задачи вариационного усвоения данных. С использованием метода сопряженных уравнений второго порядка исследована чувствительность функционала по отношению к параметрам модели. Градиент функционала выражается через решение "нестандартной" (неклассической) задачи, представляющей собой совместную систему прямых и сопряженных уравнений. Исследована разрешимость нестандартной задачи с использованием Гессиана исходного функционала наблюдений. Разработаны численные алгоритмы решения задачи и вычисления градиента рассматриваемого функционала по отношению к параметрам. Результаты исследования применены в задаче вариационного усвоения данных для трехмерной модели термодинамики океана.

Ключевые слова: вариационное усвоение, оптимальное решение, чувствительность функционалов.

Б01: 10.7868/80002351515030128

ВВЕДЕНИЕ

При математическом моделировании изменений климата для различных районов планеты важную роль играет теория чувствительности избранных функционалов по отношению к характеристикам континентов, Мирового океана, начальным данным, внешним источникам и внутренним параметрам задачи. Проблема чувствительности климата позволяет на основе реальных данных оценить ретроспективно качество моделей и найти новые механизмы, ответственные за формирование климата.

В 70-е годы XX века Г.И. Марчук сформулировал фундаментальный подход к решению задачи долгосрочного прогноза погоды, основанный на так называемых сопряженных уравнениях для нелинейных моделей термогидродинамики атмосферы и океана, дающих возможность построить функцию чувствительности для нестационарных нелинейных задач. Этот подход стал основным при выделении энергоактивных зон Мирового океана, изучению которых была посвящена про-

грамма "Разрезы", сформулированная и организованная Гурием Ивановичем.

В дальнейшем в работах Г.И. Марчука было дано развитие теории сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений для исследования чувствительности функционалов различных классов задач математической физики. Оно оказалось плодотворным и для многих других направлений науки. В результате появились более или менее общие подходы к исследованию сложных систем и математических моделей. Эти подходы явились основным содержанием многолетних исследований Г.И. Марчука и его научной школы в различных областях математики и ее приложениях к проблемам диффузии, моделям охраны окружающей среды, теории климата и его изменений, математическим проблемам обработки информации со спутников и др. (см. [1]).

В настоящее время в связи с исследованиями глобальных изменений на планете Земля очень важной является проблема получения и рационального использования данных измерений с це-

лью ретроспективного анализа в различных областях знаний (см. [1—6]). Математическая модель данной проблемы может быть сформулирована как задача об усвоении и обработке многомерных (включающих зависимость от временной и пространственных переменных) данных, представляющая собой одну из задач оптимального управления. Начиная с работ Л.С. Понтрягина, Н.Н. Кра-совского, Ж.-Л. Лионса, Г.И. Марчука постановки и изучение задач вариационного усвоения данных наблюдений на основе теории сопряженных уравнений привлекают внимание многих исследователей, занимающихся приложениями методов оптимального управления для практического решения тех или иных проблем (см. [3—19]). Наряду с разработкой и обоснованием алгоритмов численного решения задач вариационного усвоения данных наблюдений, важную роль играют свойства самого оптимального решения (см. [20—23]). Чрезвычайно важным является вопрос о чувствительности оптимальных решений задач вариационного усвоения к погрешностям данных наблюдений и параметрам моделей, малоисследованный до последнего времени.

В настоящей работе рассматривается проблема исследования чувствительности функционалов от оптимального решения задач вариационного усвоения данных к параметрам моделей. Здесь предложены алгоритмы вычисления градиента функционалов на основе метода сопряженных уравнений второго порядка. Разработанная методология исследования чувствительности применена для исследования функционалов от оптимального решения задачи вариационного усвоения данных наблюдений о температуре поверхности океана для трехмерной модели термодинамики.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В ОБЩЕМ ВИДЕ

Рассмотрим математическую модель физического процесса, описываемого с помощью эволюционной задачи вида

^ = F(Ф,Г), t е (0,T)

dt

ф| t=о = u,

(1.1)

где ф = ф(?) — неизвестная функция, принадлежащая для любого I гильбертову пространству X, и е X, ¥ — нелинейный оператор, действующий из

У х Ур в У = Ь2(0, Т; X), |Цу = (•, -)у2, Ур — гильбертово пространство (пространство параметров модели). Пусть для заданных и е X и X е Ур существует единственное решение ф е У задачи (1.1). Введем функционал наблюдений в виде

J(u) = i(F[(u - Uo), u - uo)x + + 1(^(Сф - фоЬ8), Сф - ФоЪ8)гоЬ5:

(1.2)

где и0 е X — начальное приближение функции начального состояния (поле бэкграунда), фоЬ8 е УоЬ8 — заданная функция (данные наблюдений), — гильбертово пространство (пространство наблюдений), С : У ^ УоЬ8 — линейный ограниченный оператор, V : X ^ X и У2 : УоЬ8 ^ УоЬ8 — симметричные положительно определенные операторы. В физических задачах функционал (1.2) есть не что иное как среднеквадратичное отклонение от наблюденных величин.

Рассмотрим следующую задачу вариационного усвоения данных с целью восстановления начального условия (задача инициализации): для заданной X е Ур найти и е X и фе У такие, что они удовлетворяют (1.1), и на решениях (1.1) функционал /(и) принимает наименьшее значение, т.е.

дф = F(ф,X), t е (0,T)

фt=о = u J (u) = infJ(v).

(1.3)

Необходимое условие оптимальности сводит задачу (1.3) к так называемой системе оптимальности [14]:

^ = F(Ф,A), t е (0,T)

dt

ф t=о = u,

(1.4)

-^ф* - (F>,Х))*ф* = -С* V2(CФ - фоъ8), t e (0,Т)

dt

Ф*11=т = 0,

V(u - u0) - ф *t=0 = 0

(1.5)

(1.6)

с неизвестными функциями ф, ф*, u, где (F^, X))* — сопряженный оператор по отношению к производной оператора /по ф, а C* — сопряженный по отношению к C, определяемый равенством (Сф, у) у = = (ф, С*у)7, фе У, ye 7obs.

Предположим, что система (1.4)—(1.6) имеет единственное решение. Систему (1.4)—(1.6) можно рассматривать как обобщенное операторное уравнение 9(U, X) = 0 с переменной U = (ф, ф*, u), которое содержит всю имеющуюся информацию. Каждая компонента U зависит от параметров X е Ур. Цель настоящей статьи — исследование чувствительности функционалов от решения этого обоб-щеного уравнения (системы (1.4)—(1.6)) по отношению к параметрам модели.

v

2. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ФУНКЦИОНАЛОВ

Математические модели наук о Земле зачастую содержат параметры, которые не могут быть вычислены точно, поскольку они являются элементами моделей подсеточных физических процессов и поэтому не могут быть точными, так как любая модель реальности неточна. Следовательно, важно оценить влияние неопределенностей в параметрах на функции, полученные после усвоения данных.

Введем в рассмотрение функцию 0(ц>, и, X), которая предполагается вещественнозначной и может рассматриваться как функционал на У х X х У Примеры таких функционалов будут рассмотрены ниже в разделе 5. Нас будет интересовать чувствительность О по отношению к X, когда ф и и получены после усвоения данных из системы оптимальности (1.4)—(1.6). Как известно [1, 24, 25], чувствительность определяется градиентом О по X, который является функциональной производной:

йв = дв дф + дв ди + дв

йX дфдХ ди дХ дХ

(2.1)

Если 8Х — вариация X, то из системы оптимальности получаем

д5ф _

дг * 5фг=0 _ 5и

^ф(Ф,^)5ф + ^(ф,Х)5Х, г е (0,Т)

(2.2)

д5ф* " дг

- (£(ф Х))*5ф* -

- (^(ф, Х)5ф + ^(ф, Х)5Х)*ф* = -С*У2С5ф, (2.3) 5ф*| г=т = 0,

У$и - 8ф*|.=0 = 0

(2.4)

и

(йв, 5х)

№х !

5X1 =

^, 5ф1 + ((. 5и) + ((, 5Х

^дф )г \ди !х \дХ

(2.5)

где 8ф, 8ф* и 8и — производные от ф, ф* и и по направлению 8Х (например, 8ф = — 8Х).

дХ

и йв Для вычисления градиента — введем три сой X

пряженных переменных: Р1 е У, Р2 е У и Р3 е X. Умножая скалярно уравнение (2.2) на Р1, уравне-

ние (2.3) на Р2, уравнение (2.4) на Р3 и складывая их, получаем:

(8ф,-дР _ (р^, Х))*р - (^(ф, х)Р2)*Ф* + + С*У2СР2) + (5фг=т,Рх|г=т)x + (зф*,* -- р;(ф, Х)Р2) + (5ф*|г=0, Р2|г=0 - Рз)х + (2.6)

(5и, - Р1| г=0 + УР) х + (5Х, -(^(ф, Х))*Р1 -- (р;х(ф, х)Р2)*ф*)ур = 0.

Положим

Р

' дг

- (Рф(ф, Х))*Р1 -

- (Рф"ф(ф, Х)Р2)*ф* + С* У2СР2 = дв

дф

и

-Р г=0 + У1Р3 = дв, Рг=т = 0,

д_Р2 дг

ди

- £(ф Х)Р2 = 0, Р2|г=0 - Р3 = 0.

Отсюда мы можем исключить переменную Р3 посредством Р3 = Р2| =0 и получить начальное усло-

ЛАТ

вие для Р2 в виде: У1Р2| 0 =--+ Р1 . Следова-

0 ди

тельно, если Р1, Р2 удовлетворяют системе уравнений

дР

-^Р - (РДФ, Х))*Р1 -дг

дв

- (Р-_(ФХ)Р2)*Ф* + С*У2СР2 = ^, г 6 (0,Т) (2.7)

дФ

р1 г=т = а

дР

дР2 - рр(ф, А-Р = 0, г 6 (0,Т)

дг

(2.8)

то из (2.6) получаем

?, 8Ф] + (г • Ч =

дф )г \ди !х

= (8Х,(Р1(ф Х))*Р1 + (^(ф, Х)Р2)*ф*)ур,

и градиент функционала О определяется по формуле

йв

дв

^ = (Л(ф, Х))*Р1 + (К,(ф, Х)Р2)* Ф* + ^. (2.9)

йХ

дХ

р

Мы получили совместную систему для дифференциальных уравнений (2.7) и (2.8) первого порядка по времени. Первая задача рассматривается при финальном условии (сопряженная задача), а втора

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком