научная статья по теме Currency assets portfolio modeling based on Black-Litterman model Экономика и экономические науки

Текст научной статьи на тему «Currency assets portfolio modeling based on Black-Litterman model»

Формирование валютного портфеля активов на основе модели Блэка—Литтермана

Currency assets portfolio modeling based on Black-Litterman model

УДК 519.865.5

Скоков Александр Александрович

аспирант Российского экономического университета им. Г В. Плеханова (Москва) 117997, Москва, Стремянный пер., д. 36

Skokov Alexander Alexandrovich

117997, Moscow, Stremyanniy pereulok, 36

Модель Блэка—Литтермана позволяет инвестору учитывать свои прогнозы относительно доходности определенных активов при построении эффективного портфеля ценных бумаг на основе оптимизационной задачи Г. М. Марковица. Данная модель во многом решает проблемы недостаточной диверсификации и высокой чувствительности структуры портфеля к качеству входящих данных, связанные с применением оптимизационной модели Марковица, и позволяет формировать инвестиционные портфели с большей гибкостью и стабильностью.

В предложенной статье автор сводит воедино результаты исследований зарубежных авторов немногочисленных научных работ по модели Блэка-Литтермана и на их основе предлагает методику формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Описанная автором методика протестирована в реальных условиях финансового рынка США. Кроме того, в ходе тестирования автор предложил использовать в модели дополнительный параметр, регулирующий степень уверенности инвестора в собственном прогнозе, обеспечив тем самым более оптимальную настройку ковариационной матрицы стандартных ошибок прогнозов.

Предложенная автором модификация модели и результаты ее тестирования также нашли отражение в данной статье.

Black-Litterman model allows investor to take into consideration its forecasts regarding profitability of certain assets for the purposed of building-up an efficient securities' portfolio based on G. M. Markovitz optimization task. This model to a greater extent solves the problem of insufficient diversification and high sensitivity of the portfolio structure to the quality of incoming data, related to the implementation of Markovitz optimization model, and allows creation of more flexible and more stable investment portfolios.

In the article the author brings together the research results of foreign authors of not numerous research works devoted to Black-Litterman model, and based on them suggests a method of optimal securities' portfolio creation.

The method described by the author has been tested in the conditions of real financial market of USA. Besides, during its testing the author has suggested to implement an additional parameter which regulates the level of investor's trust to its own forecast, which provides more fine adjustment of co-variation matrix of constant errors of forecast.

The modification of the model suggested by the author and the results of its testing have been reflected in this article.

Ключевые слова: модель Блэка—Литтермана, управление портфелем ценных бумаг, прогноз доходности активов, ожидаемая доходность, оптимальное распределение активов, вектор равновесной доходности

Keywords: Black-Litterman model, portfolio management, asset return forecast, expected return, optimal asset allocation, market equilibrium returns

Введение

Развитие современной теории портфельной оптимизации отмечено не только рассветом финансовой экономики, но и совершенствованием количественных методов. Основоположником этой теории является Г. М. Марковиц, который в своей работе «Выбор портфеля» [1] представил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, а также привел методы построения таких портфелей при определенных условиях. Г. Марковиц утверждал, что риск и доходность в равной степени важны при формировании портфеля, при этом риск может быть уменьшен путем диверсификации (в зависимости от соотношения активов через дисперсию доходности портфеля). Таким образом, оптимизируя соотношение риск—доходность, можно получить множество оптимальных распределений активов в портфеле.

На практике модель Марковица часто выдает неприемлемые для большинства инвесторов результаты: экстремальные структуры портфелей с высокой концентрацией позиций в одних инструментах, финансируемых за счет короткой продажи остальных активов. Эти результаты во многом обусловлены нереалистичными предпосылками модели об отсутствии транзакционных издержек, эффективности рынков, нормальном распределении доходностей активов, точном знании инвестором истинных значений параметров и концентрации внимания модели, прежде всего, на ожидаемых доходностях активов без учета влияния характера распределения этих доходностей на изменчивость результирующих весов в эффективном портфеле.

В отличие от модели Марковица, модель, предложенная Ф. Блэком и Р. Литтерманом [2], представляет собой метод формирования эффективного портфеля ценных бумаг, который позволяет инвестору учесть свой персональный прогноз относительно соотношения доходности конкретных активов с их равновесной рыночной доходностью, построить новый вектор ожидаемой доходности и получить на его основе новые относительные веса бумаг в инвестиционном портфеле. Данная модель во многом решает проблемы недостаточной диверсификации и высокой чувствительности структуры портфеля к качеству входящих данных, связанные с применением оптимизационной модели Марковица, и позволяет формировать более оптимальные портфели, характеризующиеся большей гибкостью и стабильностью.

о

о о

о

о о

> <

Параметры неприятия риска

Ковариационная матрица доходностей

Веса раночной капитализации

Предполагаемая равновесная доходность

Прогнозы инвестора Уровень уверенности

Идентификация активов в соответствии с прогнозом

Ковариационная матрица доходностей Новый комбинированный вектор доходности

Оптимальные веса распределения активов в портфеле

Рис. 1. Процесс нахождения оптимальных весов распределения активов в портфеле на основе модели Блэка—Литтермана

К сожалению, в российской научной литературе информации по модели Блэка—Литтермана не так много. Среди зарубежных авторов можно выделить работы уже упомянутых Блэка и Литтермана [2-4], Литтермана и Хи [5] и Идзорека [6]. На основе проведенных исследований автором статьи была сформулирована и протестирована методика формирования оптимального портфеля активов.

Спецификация модели

Модель Блэка—Литтермана представляет собой комбинацию концепций CAPM (Capital Asset Pricing Model) Шарпа [7], задачи обратной оптимизации Шарпа [8] и оптимизационной модели Марковица [1].

В основе модели лежит метод построения ценных бумаг, который базируется на нахождении вектора равновесной доходности из весов рыночной капитализации инструментов путем решения обратной оптимизационной задачи Марковица и последующего комбинирования полученного результата с экспертным прогнозом доходностей составляющих портфель инструментов. Общая схема процесса представлена на рис. 1.

В общем виде модель Блэка—Литтермана представляет собой сложную среднюю взвешенную вектора предполагаемой доходности и вектора прогнозов доходностей и определяется по формуле:

E[R] = [(тХ)-1 + PTQ-1P]-1 [(тХ)-1 П + PTQ-1q] , (1)

где Е[Д] — новый комбинированный вектор доходности N х 1-вектор-столбец); т — масштабирующий фактор; X — ковариационная матрица доходностей N х ^матрица); Р — матрица, идентифицирующая активы, являющиеся предметом прогнозов инвестора (К х ^матрица либо 1 х ^вектор-столбец в частном случае одного прогноза); П — диагональная ковариационная матрица стандартных ошибок прогнозов, отражающая неопределенность прогнозов (К х К-матрица); П — вектор предполагаемой равновесной доходности N х 1-вектор-столбец); Q — прогнозный вектор (К х 1-вектор-столбец); К — количество прогнозов инвестора; N — количество активов в портфеле.

Вектор равновесной доходности в формуле (1) определяется через решение обратной оптимизационной задачи Марковица:

П = ^Х w„

(2)

где П — вектор предполагаемой равновесной доходности N х 1-вектор-столбец); X — параметр неприятия риска инвестором; X — ковариационная матрица доходностей N х ^матрица); wmkt — удельный вес каждого актива в общем объеме рынка N х 1-вектор-столбец).

Логика формулы (2) заключается в следующем: если предположить, что рынок является эффективным и матрица ковариаций известна, то нахождением П определяется, какую среднюю доходность ожидает получать средний участник рынка, если этот участник держит в своем портфеле активы в пропорциях

wmkt.

Ковариационная матрица доходностей активов из (1) определяется по формуле:

Х = QVQ

(3)

где О — прогнозный вектор (К х 1-вектор-столбец), отражающий средние ожидаемые доходности активов; V — диагональная матрица волатильностей доходностей активов.

Прогнозы, формирующие ветктор-столбец О, ставятся в соответствие конкретным активам с помощью матрицы Р. Каждый из прогнозов выражается в 1 х ^векторе-строке. Соответственно, К прогнозов формируют К х ^матрицу. В общем случае матрица Р имеет вид:

P

Pi,-

Pk, n

(4)

Существуют различные подходы к определению элементов матрицы Р [6; 9; 10], однако наиболее обоснованным представляется подход, когда элементы матрицы Р рассчитываются с учетом рыночной капитализации бумаг: относительный вес более доходного (менее доходного) актива определяется как доля капитализации всего актива в суммарной капитализации группы более доходных (менее доходных) активов из прогноза. Если же прогноз инвестора представлен в абсолютных величинах, то матрица Р приобретает вид единичной матрицы.

После спецификации матрицы Р появляется возможность посчитать дисперсию портфелей, соответ-

ствующих каждому из прогнозов. В соответствии с принципами среднедисперсионного анализа Марковица, искомые дисперсии будут равны ркXр^ , где pk — 1 х ^вектор-строка из матрицы P, который соответствует k-му прогнозу и имеет Е ковариационную матрицу доходностей. Дисперсии индивидуальных прогнозов являются важным источником информации относительно неопределенности прогнозов инвесторов и служат для определения уровня уверенности, приписываемого каждому из прогнозов.

Матрица точности прогнозов О, отражающая неопределенность прогнозов

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком