ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78, № 10, с. 909-915
= ЯДРА ^^
CВЕРХТЕКУЧЕСТЬ НАГРЕТЫХ ФЕРМИ-СИСТЕМ В ПРИБЛИЖЕНИИ СТАТИЧЕСКИХ ФЛУКТУАЦИЙ
© 2015 г. А. А. Хамзин1)*, А. С. Никитин2), А. С. Ситдиков2)
Поступила в редакцию 19.01.2015г.
Проведено исследование сверхтекучих свойств конечной системы фермионов при конечных температурах в рамках оригинального метода — статического флуктуационного приближения. Данный метод, основанный на одном единственном и контролируемом приближении, позволяет корректно учесть корреляции квазичастиц и тем самым выйти за рамки модели независимых квазичастиц. В случае конечной ферми-системы, описываемой гамильтонианом БКШ, получена замкнутая самосогласованная система уравнений для расчета корреляционных функций при конечных температурах. Найдено уравнение для энергетической щели с учетом влияния флуктуационных эффектов. Показано, что учет флуктуаций приводит к "размыванию" фазового перехода в сверхтекучее состояние.
DOI: 10.7868/80044002715090147
1. ВВЕДЕНИЕ
В последние годы усилился интерес к системам конечного числа фермионов, что связано, в частности, с увеличением разнообразия таких систем, создаваемых и исследуемых в лабораторных условиях. Помимо таких давно известных объектов, как атомные ядра, сейчас интенсивно изучаются квантовые точки и кластеры, образованные конечным числом атомов или молекул. По крайней мере некоторые из перечисленных ферми-систем являются долгоживущими даже в высоковозбужденных состояниях и позволяют экспериментально исследовать эволюцию их свойств в зависимости оттем-пературы. Довольно много известно о поведении так называемых нагретых (с энергией возбуждения порядка нескольких МэВ и выше) атомных ядер — об изменении их формы, коллективных колебаниях.
Основная проблема теоретического изучения сильно возбужденных систем заключается в чрезвычайно высокой плотности уровней, что делает невозможным реалистические расчеты в микроканоническом ансамбле и вынуждает прибегать к статистическому описанию. Построение эффективной статистической теории, описывающей широкий круг явлений в нагретых конечных ферми-системах, является актуальной проблемой.
При исследовании свойств высоковозбужденных конечных ферми-систем обобщаются методы
1)Казанский (Приволжский) федеральный университет,
Россия.
2)Казанский государственный энергетический университет,
Россия.
E-mail: airat.khamzin@rambler.ru
и приближения, разработанные для слабо возбужденных систем (при Т = 0). Однако многие использующиеся приближения не позволяют корректно учесть корреляционные эффекты различного типа, которые могут сыграть важную роль при объяснении наблюдаемых статистических свойств.
Используя понятие температуры, оказывается возможным обобщить ряд методов, разработанных для изучения слабо возбужденных ферми-систем, на случай сильно возбужденных, когда они трактуются как нагретые. Стандартный метод исследования конечных квантовых ферми-систем при конечных температурах — это метод температурных (мацубаровских) функций Грина [1]. При помощи статистических функций Грина были получены уравнения температурного приближения случайных фаз (ПСФ) в ядре [2]. Техника мацубаровских функций Грина использовалась при обобщении на случай Т = 0 теории конечных ферми-систем [3]. Существуют, однако, и иные статистические подходы, среди которых мы выделим так называемую термополевую динамику (ТПД) [4]. Окончательный вариант ТПД [5] имеет ряд преимуществ по сравнению с формализмом мацубаровских функций Грина. Так, например, ТПД в качестве рабочих инструментов использует не только технику функций Грина и диаграмм Фейнмана, но и операторные преобразования, а также концепцию зависящего от температуры вакуума. Температурные эффекты возникают в ТПД последовательным образом через зависящие от температуры вершины, что удобно для построения различных приближений. Благодаря этому в рамках ТПД достаточно просто обобщить на случай конечных температур прибли-
жения теории многих тел, хорошо работающие при нулевой температуре.
Многие приближения, применяемые в рамках ТПД, не принимают во внимание влияние флук-туаций на термодинамические характеристики, которые приводят к проявлению корреляционных эффектов. Целью настоящей работы является исследование сверхтекучих свойств нагретых ферми-систем в рамках оригинального метода, который получил название статическое флуктуационное приближение (СФП) [6—12]. Метод СФП, основанный на одном единственном и контролируемом приближении, позволяет корректно учесть влияние флуктуаций физических величин и дает возможность расчета корреляционных функций различного порядка. Сформулированный сначала для расчета термодинамических свойств спиновых систем (см., например, [6—8]), метод был обобщен для расчета других многочастичных систем с сильным взаимодействием [9—12].
Вопрос о возможности парных корреляций сверхпроводящего типа в атомных ядрах впервые обсуждался в работах [13, 14]. Н.Н. Боголюбов, основываясь на своем подходе к проблеме сверхпроводимости, сформулировал в работе [13] вариационный метод для изучения сверхтекучести ядерной материи, обобщив метод Фока [15]. В настоящее время этот подход является одним из наиболее эффективных микроскопических методов исследования структуры ядра. Авторы работы [14], исходя из существования энергетической щели между основным и первым возбужденным состоянием неколлективной природы в спектрах атомных ядер, провели аналогию с электронным спектром сверхпроводящих металлов. В соответствии с теорией сверхпроводимости [16, 17] они высказали предположение о возможности существования парного притягивающего взаимодействия и между нуклонами в атомных ядрах. Рассмотрение различных эффектов парных корреляций в конечных ферми-системах проведено в обзоре [18].
Взаимодействие, приводящее к парным корреляциям фермионов сверхпроводящего типа, имеет следующий вид:
H
pair
J2C(q+,q-, q'-,q'+) x (1)
х а++а+-ад'-ад'+.
В результате этого взаимодействия две частицы, находящиеся в сопряженных относительно операции отражения времени состояниях переходят в состояние Например, в де-
формированных ядрах взаимодействие (1) переводит две частицы с одного уровня среднего поля на другой.
Если считать, что силы, приводящие к парным корреляциям фермионов, являются короткодействующими (например, для нуклонов в атомном ядре), то их грубо можно представить в виде S-функции вида S(r — r'). Это значит, что в пространстве импульсов они являются постоянными. Поэтому и матричные элементы этих сил по собственным волновым функциям среднего поля можно приближенно считать постоянными. Это дает возможность предположить, что G(q+,q—; q'—,q'+) не зависит от q и q', т.е.
G(q+,q—; q'—,q'+)= G. (2)
2. ФОРМУЛИРОВКА МЕТОДА И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим систему взаимодействующих фер-мионов, описываемую гамильтонианом вида
H = (Es — Л) a+a asa — G ^ a++a+-as—as'+.
s s,s'
(3)
Операторы рождения и уничтожения фермио-нов a+a, as'a' удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
{a+a,as'a'} = a+aas'a' + as'a'a+a = ós,s'Sa,a', (4a)
{asa, as'a' } = asaas'a' + as'a' asa = 0, (4б)
{a+a, a+'a'} = a+aa+'a' + a+'a'a+a = (4в)
Здесь Es — одночастичные энергии среднего поля; Л — химический потенциал, который определяется из условия сохранения числа фермионов Nf в среднем:
Y1 (a+= Nf ■
(5)
Перейдем в представление Гейзенберга для операторов ара, а+а: а±а(т) = етНа±ае-тН (т = ¿¿), и запишем уравнение движения
da>MT)
dr
= [H,a+ (т )] =
Здесь
= ípata (т ) + °D+(t )ap_a (т )■
D+ = -CY^df, = Ep - X,
(6)
(7)
где d+ = а++а+_ — оператор рождения пары фермионов в сопряженных состояниях. Осуществив в (7) эрмитово сопряжение и замену а — —а, получим уравнение движения для ар-а(т):
= (т)Д(т) - ераР;_а(т), (8)
s
где D — оператор, сопряженный к оператору D+. Если в (6) и (8) заменить операторы D± средними значениями, то мы получим известное приближение Хартри—Фока—Боголюбова (ХФБ) [17, 18], которое приводит к модели независимых квазичастиц. Ниже мы покажем, как можно выйти за рамки данного приближения и учесть корреляции между квазичастицами.
Методика СФП применительно к рассматриваемой модели основывается на следующих двух предположениях. Во-первых, будем считать, что операторы D± (т) являются интегралами движения, т.е. удовлетворяют условию
D (т ),H] =0. (9)
Во-вторых, будем считать справедливым приближенное равенство
D+D ~ (D+D) . (10)
Приближение (10) составляет основу СФП и позволяет учесть корреляции между квазичастицами, которые важны в системах из конечного числа фермионов. Равенства (9) и (10) позволяют проинтегрировать уравнение движения (6) и получить зависимость оператора рождения фермионов a+a(т) от времени в аналитическом виде:
(16)
{a+aapaA) = Ф-(Р)( {apaa+aA) + + (apa [A,a+a]) ) - аФ(р) (apaAD+ap-
Вычитая уравнение (16) из уравнения (15) и производя несложные преобразования, получим первое базовое уравнение
1
(праА) = - £рг]р J х х {(A) + (apa [A, a+a])} -
(17)
- vnp{{apa [A, D+(ip-a] ) - aG (np-aA)} ,
Пр
th (ßüp/2)
(18)
Найдем второе базовое уравнение. Полагая в тождествах (14) А(в) = а+ (в), В(0) = а+_аВ, полу-
чим
a+ a+ \ p,_a^pa
В) + (a+-a [B,a+a]) = (19) = Ф+ß (a+aa+-aВ) + аФф) (D+ap,-aa+^B),
(a+aa+-a В) = (a+-a a+a в ) + (20)
a+a (т ) = Ф+(т )a+a + аФ(т )D+ap _ _a, (11) + (a+_a [B, a+a]) ) - аФ(ß ) (a+_a BD+a
p -a
Ф±(т) = ch (Орт) ±
£p sh (Орт)
Ор
(12)
Ф(т ) =
sh (Орт)
ОР
Вычитая уравнение (20) из уравнения (19) и производя несложные преобразования, получим второе базовое уравнение
d+B) = Q -ÇpVp^J <а+_ [В,а++]
- (21)
np = yß+{D+D).
(13)
Найденная временная зависимость (11) позволяет получить замкнутую систему уравнений для определения средних значений операторов системы. Для этого воспользуемся следующими тождествами:
(А(в)В(0)) = (В(0)А(0)), (14а)
(В(0)А(-в)) = (А(0)В(0)), (14б)
где А, В — произвольные операторы; (...) =
= Эр (ехр (-@И) а) Эр"1 (ехр(-вИ)) означает усреднение по равновесному статистическому ансамблю, в = 1/Т. Полагая в тождествах (14) А(в) = а+а(в), В(0) = араА, гдеа+а(в) определяется из (11) при т = в, получим ура
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.