ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2013, том 49, № 3, с. 358-363
УДК 551.511:532.527
ДАЛЬНИЕ ПОЛЯ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ
© 2013 г. В. В. Булатов, Ю. В. Владимиров
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН 119526 Москва, пр. Вернадского, 101-1 E-mail: bulatov@index-xx.ru Поступила в редакцию 09.02.2012 г., после доработки 18.10.2012 г.
Построены асимптотические представления решений, описывающих дальние поля внутренних гравитационных волн в стратифицированной среде переменной глубины. Выявлен эффект пространственно-частотного "запирания" волнового поля для реального океанического шельфа. В зависимости от частотных характеристик волнового поля и геометрии рельефа дна дальние поля внутренних волн или локализуются в некоторой ограниченной пространственной области (захваченные волны), или распространяются при отсутствии точек поворота на достаточно большие по сравнению с глубиной моря расстояния (прогрессивные волны). Пространственная область, куда проникают прогрессивные волны, полностью определяется наличием точек поворота, местоположения которых зависят от стратификации среды и неоднородностей рельефа дна.
Ключевые слова: внутренние гравитационные волны, стратифицированные среды, метод геометрической оптики.
DOI: 10.7868/S0002351513030036
На распространение внутренних гравитационных волн в океане существенное влияние оказывают как неоднородности гидрофизических полей (в частности, поле плотности), так и изменение рельефа дна. При этом точные аналитические решения волновых задач получаются только в случае, если распределение плотности воды и форма дна описываются достаточно простыми модельными функциями. Когда характеристики среды и границы произвольны, можно построить только численные решения таких задач. Однако последнее не позволяет качественно анализировать характеристики волновых полей, особенно на больших расстояниях, что необходимо для решения, например, проблемы обнаружения внутренних волн дистанционными методами, в том числе с помощью средств аэрокосмической радиолокации. В этом случае описание и анализ волновой динамики можно осуществить на основе асимптотических моделей и аналитических методов их решения с помощью модифицированного метода геометрической оптики.
Рассматривается задача о дальних полях внутренних гравитационных волн, распространяющихся в стратифицированной среде конечной глубины с изменяющимся рельефом. В линейном приближении система уравнений, описывающих
малые колебания первоначально покоящейся стратифицированной среды (ось г направлена вертикально вниз), имеет вид [1—3]:
divU = 0,
Р0 ^U + gradP + G = 0, (1)
dt
w = 0,
dt dz
где U = (ub u2, w), p, p — возмущения вектора скорости, давления, плотности; p0(z) — плотность среды в невозмущенном состоянии; G = (0,0, gp), g — ускорение силы тяжести. В приближении Бусси-неска рассматривается слой стратифицированной
среды с параметром N 2(z) = -gd ln р0/dz = const, сверху (z = 0) ограниченный "твердой крышкой" (w = 0) и дном z = -H (y), где выполняется условие
непротекания: w + dHu2 = 0.
dy
Далее вводится характеристический вертикальный масштаб M, тогда N 2M/g = X-1 < 1, в реальном океане Х-1 ~ 10-2—10—3. Действительно, если частота Брента—Вяйсяля и глубина дна постоянны, имеем X-1 = N 2H2/gH = n2c1maJc2, где
с = 4ЁН — скорость длинных поверхностных волн, а стах = ИИ/ п — максимальная групповая скорость внутренних волн. В реальном океане с ~ 100 м/с, стах ~ 1 м/с [1—3]. Предположим, что функция Н(у) — гладкая, плавноменяющаяся функция, имеющая не более одного минимума. Плавность изменения Н(у) означает, что отношение горизонтального масштаба Ь изменения Н(у) и вертикального масштаба М характеризуется величиной X = Ь/ М > 1, что фактически означает малый наклон дна. В этих же условиях неоднородность рельефа дна можно смоделировать одним возвышением, т.е. функцию Н(у) представить с одним максимумом. Эти приближения (постоянная стратификация N ~ 10-2—10—3 с-1, рельеф дна с уклоном не более 10°) могут быть наблюдаемы в определенных районах Мирового океана [4, 5].
Решение (1) для вертикальной скорости ищется в виде: w = ехр(-г'юг + Нх)Ж(г,у), где ю — частота, I — горизонтальное волновое число. Решения более общего вида в силу линейности задачи получаются суперпозицией полученных асимптотических представлений [1, 6, 7]. В безразмерных
переменных х* = х/Ь, у* = у/Ь, г* = г/М, Iя =
= 1М, ю* = ю/N, Н(у) = И(Ьу)/М (индекс "Я" далее опускается) имеем
1 д ^ + 4V = 0,
д V
^ 2 л 2» 2 2 Т 2
дг А Ъ ду ь V = 0, при г = 0,
V + щ = 0, при г = -Цу), Ъ1 = ^
(2)
2
Хйу " 1 - ю2
Если профиль дна линейный (Н(у) = -уу, у = 1/ X — наклон дна), задача (2) в нулевом приближении (т.е. граничное условие на дне принимает вид Ж = 0 при г = —Л(у)) имеет аналитическое решение [8]:
V = V = ехр(-•
х К
2
М ь2 у2 - Ъ2
Б1П
пп
1п
•пп
2
ХЪу - г
где А =
X Ъ +1
^ 1п А ХЪу + г
П =-, Кп — функция Макдо-
X Ъ - 1 1п А нальда мнимого индекса п.
Для нелинейного профиля дна, решение (2) ищется в типичном для метода геометрической оптики виде [6, 7]:
V = у, ю) + у, ю) + (^ )2 у, ю) + ...^ х х ехр(/Х6(у,ю)),
где функции F0, определяются из соотношений
5^0 дг2
■ +
^ 12 + , 2
ду
^/ъ 2 = 0,
У
Г0 = 0 при г = 0, - Н(у),
д 2Г1
дг
2
—1 + / 2
ду
У
(3)
/ ь2 = 1 (2 дл дА + д
' Ъ2 ^ ду ду 0ду2
= 0 при г = 0, - Н(у).
Решение первого уравнения из (3) дает модо-вую структуру волны с дисперсионным соотно-
2 Ъ 2 2 2
шением: к2(у,ю) = —, п = 1, 2, ... и собствен-Н2(у)
ными функциями в нулевом приближении (вертикальные моды):
?0п(г,у,ю) = Ап(у,ю^п, п = 1,2,... .
Н(у)
Тогда эйконал Бп(у, ю) определяется из соотношения:
к 2(у, ш =
ду
+11
Амплитуда А0п(у, ю) находится из условия разрешимости второго уравнения из (3), которое требует ортогональности правой части этого уравнения и функции ¥0п:
Ап
В0п(у0, ю)
4Ъ2п2п2 - Н2(у)12
где постоянная В0п зависит от ю и начального значения эйконала в какой-либо точке у0, Бп(у0, ю). Эйконал Бп(у, ю) определяется выражением:
$п(у, ю) = У к П(у, ю) -12йу,
у
где у* — точка поворота, т.е. корень уравнения кП(у, ю) = 12.
Геометрическое место точек поворота определяет каустику, в окрестности которой происходит качественное изменение свойств волновых полей, а именно, переход из области "света", т.е. области существования волновых полей, в область "тени", где эти поля экспоненциально малы. Как известно, каустика с геометрической точки зрения есть огибающая семейства лучей, или характеристик, вдоль которых строится асимптотическое решение. Асимптотики волнового поля вблизи каустики описывают качественное изменение свойств исследуемых волновых полей. Формальные приближения геометрической оптики, а также их модификации становятся неприменимыми
360
БУЛАТОВ, ВЛАДИМИРОВ
0 0.5 1.0 1.5 2.0 У
Рис. 1. Первая мода вертикальной скорости над понижающимся профилем дна.
вблизи каустических поверхностей. Для того чтобы найти волновое поле вблизи каустики, необходимо строить специальные разложения решений, и, например, использовать метод эталонных интегралов для построения равномерных асимптотик интегрального представления волнового поля. Помимо большого физического интереса эти асимптотические построения могут представлять значительную ценность для приложений, поскольку метод геометрической оптики, модифицированный с учетом поля на каустике, позволяет описать волновые поля в весьма широком классе задач [1, 6].
Тогда решение в приближении геометрической оптики для отдельной волновой моды дальнего поля внутренних гравитационных волн до точки поворота, т.е. в волновой зоне, имеет вид:
Ж„ = ЛПОп СС8 (X Б „(у, ю) - ,
(4)
а„ =
8ш(плг/к(у)) Ь2п2 п2-к2 (у)/2'
За точкой поворота (в зоне экспоненциального затухания) это решение представимо в виде:
Wn ехр(-Х |Б„(у,ю)|).
(5)
Равномерная асимптотика решения, применимая в окрестности точки поворота, представляется выражением:
(3ХБп(у, ^ 0пЛ1 Г(3^Бп(у, ю))2/31, (6)
где Аг'(х) — функция Эйри. Полученные решения (6) при больших значениях аргумента функции Эйри X Б „(у, ю) (вдали от каустики) совпадают с решениями (4), (5) соответственно. Таким образом, построенные решения (6) в наиболее общем виде описывают дальнее поле внутренних гравитационных волн в стратифицированной среде переменной глубины.
На рис. 1—4 приведены результаты расчетов вертикальной скорости для двух типичных профилей дна океана, отличных от линейного [4, 5]. На рис. 1, 2 представлены результаты расчетов линии уровня первой Щ(г, у) и второй Ж2(1, у) волновых мод соответственно для модели медленно понижающегося профиля дна для значения ю = 0.55. В этом случае к(0) = 0, и для любого ю при заданном волновом числе I существует точка поворота у*, и присутствуют только захваченные волны. На рис. 3, 4 приведены результаты расчетов линии уровня второй моды Ж2(1, у) для профиля дна в виде гладкого возвышения. В этом случае к(0) = к0 Ф 0, к(да) = к„. Тогда существует ча-
/к
стота отсечки ю0 = 0(к(0)), О(А) = , == та-
л/п п + / к
кая, что волн с частотой ю < ю0 не существует. При ю0 < ю < ю* (ю* = ЗДкш)) существует дискретный спектр, где каждой частоте юп отвечает захваченная волна. Частоты ю, принадлежащие дискретным наборам, находятся методом "стрельбы" при
д^,(г, у)
численном решении уравнений
ду
у=0
Z
0
6У
Рис. 2. Вторая мода вертикальной скорости над понижающимся профилем дна.
Рис. 3. Вторая мода вертикальной скорости над одиночным возвышением (захваченные волны).
для фиксированного г, п — номер моды [1]. Результаты расчетов захваченных волн второй волновой моды Щ(г,у) изображены на рис. 3 для значений ю0 = = 0.238, ю* = 0.384, ю = 0.312. При ю* < ю < 1 точек поворота нет, спектр по ю непрерывен и присутствуют прогрессивные волны, ре-
зультаты расчетов второй волновой моды у) представлены на рис. 4 для значений ю = 0.4.
Таким образом, показано, что в зависимости от формы дна и структуры стратификации морской среды могут проявляться различные особенности в параметрах дальних полей внутренних волн. Выявлен эффект пространс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.