ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 1, 2015
УДК 539.3
© 2015 г. И. А. Солдатенков
ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ СО СЛАБО ИСКРИВЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ
Выводятся соотношения между граничными напряжениями и перемещениями для упругой полуплоскости со слабо искривленной границей. Для этого напряженно-деформированное состояние полуплоскости выражается через две гармонические функции с помощью общего решения Папковича—Нейбера, и выполняется конформное отображение исходной полуплоскости на каноническую (ровную) полуплоскость. В результате для гармонических функций получается система граничных задач, из которой при помощи преобразования Фурье следуют искомые деформационные соотношения. Рассмотрен случай кулоновского трения. Проанализировано влияние фактора неровности границы полуплоскости на ее деформирование.
Первые исследования по теории упругости для областей неканонической формы были связаны с расчетом деформирования пластин переменной толщины; имеется обзор соответствующих результатов [1]. Среди общих подходов, применимых к областям произвольной формы, можно выделить метод конформных отображений (двумерные задачи) [2] и метод геометрического погружения [3, 4]. В случаях, когда форма области близка по параметру в к некоторой канонической (круг, полуплоскость, полоса и т.п.), находит широкое применение метод возмущения формы границы, в основе которого лежит представление решения в виде ряда по степеням в и сведение исходной краевой задачи к последовательности краевых задач для соответствующей канонической области [5, 6].
Ниже для описания напряженно-деформированного состояния упругой полуплоскости со слабо искривленной границей используется общее решение Папковича—Нейбера, которое принимает возмущенный вид после конформного отображения исходной полуплоскости на каноническую полуплоскость. Конформность отображения здесь обеспечивает сохранение свойства гармоничности функций из общего решения Папковича—Нейбера. Кроме того, использование явного выражения для конформного отображения, получаемого на основе вариационных принципов [7], позволяет представить деформационные соотношения для неровной полуплоскости в замкнутом виде.
Аналогичный подход применялся ранее для описания упругого деформирования тонкой неровной полосы, что также позволило получить соответствующие деформационные соотношения в замкнутом виде [8].
Фиг. 1
1. Постановка задачи. Рассмотрим полуплоскость П с неровной границей Г (фиг. 1), упругие свойства которой задаются модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона v. Свяжем систему координат О^п с некоторой точкой полуплоскости П и определим ее границу уравнением
П = r(%), (1.1)
При этом функцию r(Ç) будем считать достаточно гладкой и затухающей на бесконечности:
r(%) е С3(-да, да), lim %r(k)(%) = 0, k = 0, 1, 2 (1.2)
Здесь и далее Cn — класс функций, имеющих n непрерывных производных, т.е. r*k)(Ç) е е С(—да, да), k = 0, 1, ..., n.
Кроме того, границу Г будем считать слабо искривленной. А именно, предположим, что существуют некоторая величина L, имеющая размерность длины, и безразмерный малый параметр s, такие, что (штрих обозначает производную)
|r(%)|<6 L, \r' (%)|<е, |r" ; б < 1 (1.3)
Допустим, что к границе Г приложено напряжение q(Ç). Обозначим через qT(Ç) и qv(Ç) касательное и нормальное граничные напряжения — проекции вектора q(Ç) на касательную и нормаль к границе Г. Положительные значения этих проекций показаны на фиг. 1. Соответствующие упругие перемещения границы Г в направлении координатных осей Ç и п обозначим через u(Ç) и u(Ç). Относительно введенных функций предполагается, что
/(%) е С2(-да, да), lim fk)(%) = const, k = 0, 1
(1.4)
f(Ç)e{qT(%), qv(%), U(%), u'(%)}
Ставится задача: найти соотношения между распределениями граничных напряжений qT, qv и перемещений u, и для неровной полуплоскости П. В дальнейшем такие соотношения будут называться деформационными.
2. Основные уравнения. Согласно общему решению Папковича—Нейбера плоской задачи линейной теории упругости [9], компоненты тензора напряжений п),
п), Teil(Ç, п) и вектора перемещений u:(Ç, п), u2(Ç, п) выражаются через две гармонические функции п) и ф2(^, п) следующим образом:
^ = Ф1пп + 2 УФ2п + П Ф2пп , = 2 ( 1 - - Ф1пп - ПФ2пп
т^ = - Ф^п - ПФ2^п + ( 1 - 2V)92Ç (2.1)
2Gu1 = - Ф^ - ПФ2^, 2Gu2 = Кф2 - Ф1п - ПФ2п; к = 3 - 4v
Здесь и далее, за исключением компонентов тензора напряжений, нижние индексы Ç, п обозначают частные производные по соответствующим аргументам.
Напряжения qT и qv связаны с граничными значениями компонентов тензора напряжения по формулам Коши [10], которые в случае слабо искривленной границы Г с точностью до величин O(s2) имеют вид
qx(Ç) = [^п + r (ап - ^ )]п = r(Q , qv(Ç) = - 2 r Х^п] п = rft) (2.2)
причем равенство п = г(^), согласно определению (1.1), означает, что п е Г. При дальнейших выкладках члены 0(е2) будут опускаться.
Между граничными перемещениями и, и и компонентами и1, и2 вектора перемещений существует связь
«= [«15 + Г и1ц = -(5), = [«25 + Г и2ц = г(5) (2-3)
которая следует непосредственно из определений: и(^) = и:(^, п)|п = ф, и© = и2(^, п)|п = ф-Подстановка соотношений (2.1) в равенства (2.2) и (2.3) приводит к следующим выражениям граничных напряжений и перемещений через гармонические функции:
Ят(%) = { - ф15п - + (1 - 2 ^ф 25 + 2Г [( 1 - 2 v)ф 2п - ф1 ПП - Пф2 пп]}п = г(5)
qv= { 2(1 - ^ф2л - ф1пп - Пф2пп + 2г' [ф15п + ПФ25п - (1 - 2^ф25] }п = г(5)2 2 = {ф1пп + Пф2пп - Г [ф15п + ф25 + Пф25п]}п = -(5)
2 ^ = {кф25 - ф15п - Пф25п + Г [ 2 (1 - 2 ^ф2Л - ф1пп - Пф2пп] = -(5)
Если составить из левых частей выражений (2.4) комбинации ¿1 = 20[и'(£) - г'(^)и'(^)] + 4(1 - V)-(^(^ + г&)е2&)
= - 20[и(%) + Ги'(^)] + + 2(1 - 2^4^- г(%)е\{%) '
е&) = Т^Т—){2 ^ [ и' + Г(£) и (^)] + ф} 2 (1 - v)
е2(^) = оТТ-Ц{ 2 0[ V- Г « (^)] - 4Т ф} 2 (1 - v)
(2.6)
то можно получить равенства
ф1 1„ = г(5) = ф15п(^'п) 1п = г(5) = ¿2^) (2.7)
ф2п1п = г(5) = е1 , ф25(^,П) 1п = г(5) = е2(^) (2.8)
на основе которых в дальнейшем будут построены деформационные соотношения для неровной полуплоскости П. Отметим, что равенства (2.7) и (2.8) справедливы с точностью до 0(е2).
Осуществим конформное отображение ^ = g(z) полуплоскости у < 0 с прямолинейной границей на неровную полуплоскость П, z = х + ¿у, ^ = \ + ¿п. Для полуплоскости П со слабо искривленной гладкой границей (— допущения (1.2) и (1.3)) такое отображение может быть построено на основе вариационных принципов и определяется с точностью до 0(е2) по формуле [7]
да
г) = г - 1 Г(2.9) ^ I - г
-да
Представим комплекснозначную функцию g(z) в виде суммы
g( г) = г +1( X, у) + т( X, у)
и заметим, что действительные функции ¡(к, у), m(x, у) — гармонические, они сами и их частные производные имеют порядок малости б (в силу соотношений (1.3) и (2.9)). В дальнейшем будут использоваться граничные значения
да
1(х, 0) = —1 Г -, т (х, 0) = г(х) я л I — х
—да
да
у(х, 0) = — 1 Г, тх(х, 0) = г'(х) (2.10)
ЯЛ I — х
—да да
у(х, 0) = — 1 Г, тхх(х, 0) = г"(х) ЯЛ I — х
—да
получаемые применением формул Сохоцкого—Племеля [11] к выражениям (2.9) и
дада
(7) = 1 —1 Г , = — 1 г г'ТШ
ЯЛ ? — 7 ЯЛ ? — 7
тп
т(
при учете условий Коши—Римана [7]: ^ У) = my(x, у), Щ, у) = у)
При отображении ^ = g(z) точка x границы полуплоскости у < 0 переходит в точку границы Г полуплоскости П с координатами ^ = x + 0), п = m(x, 0), причем эти координаты связаны между собой равенством (1.1). Учитывая это, введем в рассмотрение функции
01 (х) = д% (%), а2 (х) = 9у(%), ^(х) = 2 Оы'(%), ^ (х) = 20о' (%) Ек(х) = ек(%), Бк(х) = 4(%), к = 1, 2; % = х + 1(х, 0) - %(х) .
которые можно интерпретировать как прообразы функций qv, 2Си', 2Си', еь dk при отображении ^ = g(z).
Выражения (2.5) и (2.6) в силу определений (2.11) принимают вид
А (х) = ^(х) — Г (х )¥ 2(х) + 4 (1 — V) Г (х) Е2 (х) + г(х) Е2(х) (2
А2 (х) = —¥2 (х) — Г (х (х) + к Е2 (х) + 2 (1 — 2 V) Г(х) Е1 (х) — г(х) Е1 (х)
Е1(х) = ,-7Т1--)[^1( х) + -(х)^2(х) + 02 (х)]
2 (1 — V)
у ' (2.13)
Е2(х) = -т-т1—)[^2(х) — Г(х)^1 (х) — 01 (х)] 2 (1 — V)
Здесь учтено, что г(^) = r(x), так как по формуле Тейлора г(%) = г(х + 1(х, 0)) = г(х) + Г(х) 1(х, 0) = г(х) + О (б2)
да
да
При сделанных выше допущениях (1.2) и (1.4) функции Q12(x) и ^12(х) обладают следующими свойствами (F(x) е {Q1(x), Q2(x), ^1(x), ^2(х)|):
F(x) e C2(-да, да), lim xF(k)(x) = const, k = 0, 1 (2.14)
x ^ ±да
откуда, в частности, вытекает свойство квадратичной суммируемости
F(k)(x) e L2(-да, да), k = 0, 1 (2.15)
В свою очередь свойства (1.2) и (2.15) и выражения (2.12) и (2.13) позволяют установить, что
Di 2(x) e L2(-да, да), Ex>2(x) e L2(-да, да) (2.16)
Введем в рассмотрение функции
Фк(^ у) = Фк(^,п), k = 1, 2; = x + l(x, у), n = У + m(x, y)
Они гармонические, так как таковыми являются функции фк(^, п), а преобразование Z = g(z) — конформное.
Производные каждой функции Фк(х, у) связаны с производными соответствующей функции фк(^, п) алгебраическими соотношениями [12]. Принимая это во внимание, перейдем в равенствах (2.7) и (2.8) к переменной х в соответствии отображению Z = g(z). В результате, при учете определений (2.11) получим систему четырех граничных уравнений
(Ф1УУ + ^уф^ + ^Фь + 2mxФ^У - 2туФ1уу)у = 0 = Di(x) (2 17)
(ф1xy + mxxФ1x - mxyф1 у - 2туф1xy - 2mxф1уу)у = 0 = D2(x)
'у
(Ф2у + mxФ2x - myФ2y) у = 0 = E1 (x)
(Ф^ - myФ2Х - mxФ2у)у = 0 = E2(x)
у" " (2.18)
3. Общее решение в образах Фурье. Имея цель применить преобразование Фурье к уравнениям (2.17) и (2.18), найдем образы Фурье присутствующих в них функций. Допуская убывание на бесконечности граничных функций и'(^) и и'(^) не медленнее, чем будем использовать теорию преобразования Фурье в классе Ь2 квадратично суммируемых (по Лебегу) функций [13, 14].
Допустим, что ДА,, у) е Х2(—да, да) — образ Фурье функции Ф(х, у) по аргументу х, так что справедливы формулы прямого и обратного преобразования Фурье [13]:
F(X, у) = -1!-- f Ф(x, у)eiXxdX = ^(x, у) Т2я J
-да да
(3.1)
ф(x, у) = -L [F(X, у)e-iXxdX = %-lF(K у) e L2(-да, да)
Т2я J
в которых знак равенства оз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.