научная статья по теме ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ГРАДИЕНТНЫМ УПРУГИМ ПОКРЫТИЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКИ Математика

Текст научной статьи на тему «ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ГРАДИЕНТНЫМ УПРУГИМ ПОКРЫТИЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКИ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 72. Вып. 4, 2008

УДК 539.3

© 2008 г. С. М. Айзикович, Л. И. Кренев, И. С. Трубчик

ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ГРАДИЕНТНЫМ УПРУГИМ ПОКРЫТИЕМ

ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКИ

Предлагается аналитико-численный метод решения граничной задачи Неймана для упругого полупространства с градиентным упругим покрытием. Дается постановка задачи и излагается процесс построения фундаментального решения (функции Грина). Метод позволяет найти решение задачи для достаточно широкого класса законов неоднородности среды и аналитически исследовать эффекты, связанные с неоднородностью. Описывается процедура расчета полей смещений, напряжений и деформации. Особое внимание уделяется анализу механических характеристик в зоне перехода от покрытия к упругой подложке.

Неоднородные покрытия с плавно изменяющимися по глубине упругими свойствами, так называемые градиентные (или функционально-градиентные, ФГП) покрытия, дают возможность избежать концентрации напряжений в зоне сопряжения покрытия с упругой подложкой, поэтому применение таких покрытий - одно из перспективных направлений в трибологии. Однако развитые ранее математические модели слоистых материалов недостаточно точно описывают ФГП [13], наблюдаются как количественные, так и качественные отличия в поведении функционально-градиентных материалов по сравнению с однородными или слоистыми.

Среди неоднородных покрытий с плавно изменяющимися по глубине упругими свойствами особый интерес представляют ФГП, у которых градиент изменения упругих свойств меняет знак по одной из координат. Так, например, это покрытия, жесткость которых на поверхности максимальна и уменьшается с глубиной до некоторого значения, а затем, наоборот, увеличивается по мере приближения к подложке (покрытия с немонотонными законами изменения по глубине упругих свойств). В связи со сложностями математического моделирования сред, свойства которых меняются непрерывно хотя бы по одной из координат, в большинстве известных публикаций исследовались, в большинстве случаев, слоистые материалы (или кусочно-однородные).

Решение контактных задач для функционально-градиентного полупространства с произвольным законом изменения неоднородности по глубине было построено [4^9] двусторонним асимптотическим методом. Было доказано [10], что построенное приближенное аналитическое решение - асимптотически точное решение исходного уравнения как для малых, так и для больших значений характерного геометрического параметра задачи.

Внимание будет сосредоточено на анализе полей упругих смещений и напряжений, в частности, на исследовании влияния изменения упругих свойств материала на внутренние напряжения в поверхностных слоях материала со слоистым или функционально-градиентным покрытием при индентировании. Используемые методы обеспечивают устойчивые численные результаты для разных видов слоистых и функционально-градиентных материалов.

В зависимости от степени отличия упругих свойств покрытия от упругих свойств основания или от градиента упругих свойств в функционально-градиентном материале напряжения внутри материала имеют разный характер. Например, было показано [11, 12], что для некоторых материалов и условий работы самые высокие растягивающие напряжения появляются в зоне контакта покрытия с подложкой, а не на поверхности покрытия.

Ниже проводится анализ механических характеристик функционально-градиентных материалов в зоне перехода от покрытия к упругой подложке, в том числе и для задач контактного взаимодействия.

г

H

Фиг. 1

1. Постановка граничной задачи для непрерывно-неоднородного по глубине полупространства при заданных на его поверхности усилиях. Рассмотрим упругое полупространство, упругие характеристики которого непрерывно меняются с глубиной в пределах прилегающего к поверхности слоя толщиной Н, а затем стабилизируются и остаются постоянными. С полупространством свяжем цилиндрическую систему координат (г, ф, г). Будем полагать, что прилагаемые к полупространству усилия вызваны или воздействием штампа, имеющего форму выпуклого тела вращения, или распределенной внутри круга радиуса а силой р(г) и поэтому симметричны относительно оси координат (фиг. 1). Таким образом, смещения, деформации и напряжения не зависят от угловой координаты ф. Полагаем также, что коэффициенты Ламе М = М(г) и Л = Л(г), связанные с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V соотношениями

М Е Л =_EV_. Е М ( 2М +3 Л) V = Л

2(1+ V)' (1+ v)( 1 - 2v)' М + Л ' 2 (М + Л)

изменяются по глубине в приповерхностном слое толщиной Н, а при г < -Н остаются постоянными:

М( г) = М (-Н) = М5, Л( г) = Л(-Н) = Л5, г < - Н

М( г) = Мс( г), Л( г) = Лс (г), -Н < г < 0

(1.1)

Мс (-Н) = М5, Лс (- Н) = Л5

шшЛ( г) > Л * > 0, тахЛ( г)<Л * , ттМ( г )> М* > 0, тахМ( г )< М*

Минимум и максимум берутся при г 6 0). Индекс 5 соответствует подстилающему однородному полупространству, а индекс с - неоднородному слою, Л*, Л*, М*, М* - постоянные.

В этом случае уравнения равновесия имеют вид

Э , N дтгг ^ Э , , д°г ^ Э , 2 , 2Этфг „ ,-,ч

эГ(г°г) +г аГ - °ф = 0, ЭГ(гтгг) +г ЭТ = 0, эГ(^ +г "эТ = 0 (1.2)

Первые два уравнения системы (1.2) описывают осесимметричное напряженное состояние, возникающее, например, под действием нормальной к поверхности нагрузки, а

последнее - уравнение равновесия полупространства, скручиваемого касательным усилием.

Используя закон Гука, связь упругих напряжений со смещениями можно записать в виде

и , п „,,и .„ ~.дц> .„ „ ди и дw

сг = + Л0, аф = 2М- + Л0, о7 = 2М (г) -=--+ Л0, 0 = -— + - + --—

г дг ф г г дг дг г дг

(1.3)

Тгг = М( д- + д-], ТгФ = М(ди- и], V = мди

*( ди + д^]

( д г + д г ),

Используя формулы связи компонент тензоров деформации и напряжений в осесим-метричной задаче, получаем систему уравнений Ламе

М(г)(у2и - и] + (М(г) + Л(г))|0 + М'(г+ | 1 = 0

М(г)У+ (М(г) + Л^))^ + 2М'(г) ^ + Л'(г)0 = 0 (1.4)

ог ог

2

= (г I-1+ К М' (г) = ^М^, Л' (г) = гдг( дг) дг йг йг

В силу изложенного выше поверхностная нагрузка прилагается в ограниченной области, а именно внутри круга радиуса а. Рассмотрим случай произвольной нормальной к поверхности г = 0 нагрузки

-р(г), 0 < г < а, 0, а < г

г = 0: ог( г, 0) = ' тгг(г, 0) = 0, 0 < г (1.5)

На границе неоднородного слоя с однородным полупространством, при г = -Я, должны выполняться условия сопряжения по смещениям и напряжениям:

< (г, -Я) = 0*( г, -Я), ТСГг(г, -Я) = ТСГг(г, -Я) (1 б)

г = -Я: (1.6)

иС( г, - Я) = и* (г, -Я), wc (г, -Я) = г, - Я)

При (г, -г) ^ ^ смещения, деформации и напряжения исчезают.

Таким образом, сформулирована задача Неймана для неоднородного полупространства: найти смещения, деформации и напряжения внутри полупространства, удовлетворяющие уравнениям (1.4), заданному распределению усилий на границе (1.5), (1.6) и условию затухания на бесконечности.

2. Построение фундаментального решения для неоднородного по глубине полупространства. Будем разыскивать решение для смещений и и ^ в виде интегралов Ганкеля

и (г, г) = -1 и (у, г) J1 (уг )у йу, ^ (г, г) = | Ж (у, г) J0 (уг )у йу (2.1)

0 0

Подставим данные выражения в систему (1.4) и приравняем нулю подынтегральные выражения. Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которую, используя векторное представление для трансформант

т

х = (х1, х2, х3, х4), х1 = и, х2 = и', х3 = Ж, х4 = Ж'

запишем в матричном виде, при этом явно выделив части, соответствующие поверхностному неоднородному слою и однородному основанию:

dx

dz

= Acxc, -H < z < 0

Ac =

0 1 0 0

2 К +1 YK-1 -n -Yn 2 -Y- к -

0 0 0 1

3-к Yn-_ к +1 Y IIIII2IIIIIII Y 1С-- 1 2 К - 1 Y К + 1 -n

dx_

dz

A

= A x , -ro < z < - H

Y

0

2K -I- 1

1-C- 1 0

0

Y

0 0 0

2 К - 1

0

-Y

К + 1

Y

К-1 1

0

К + 1

к = 1 + 2М/(М + Л), п = М'/М = Е'/Е Граничные условия (1.5), (1.6) принимают вид

(7-к)(к-1)

x4(Y, 0) - Y(К+Кx1(Y, 0)

2 E( 0 )(к + 1)

P(Y)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Yx3(Y, 0) + x2(Y, 0) = 0, xck(y, 0) = 4(y, -H), k = 1, ..., 4; P(y) = ¡p(p)J0(YP)Pdp

Общее решение системы (2.3) для однородного полупространства г < -Н, М' = Л' = 0, М > 0, Л > 0 записывается следующим образом:

3 'Уг 3 'Уг

х1(у, г) = (й 1 + уг^) е , Х2(У> г) = (¿1 + (1+ Уг)й2)Уе

з V г з V г

*э(7> г) = (й 1 + (- к + уг)¿2)е , Х4(у, г) = (йх + (1 - к + уг)¿2)уе'

где ¿1, й2 - произвольные функции параметра у.

Применяя метод модулирующих функций [13], ищем решение системы (2.2) в виде

хс(У, г) = й 1 (у)а:(у, г)етг + ¿2(7)^(У, г)етг (2.6)

Векторы а1(у, г), а2(у, г) определяются из решения задач Коши

(2.5)

da- c

-_■ = Aca; - ya¡, -H < z < 0,

dz

1, 2

(2.7)

22 z = -H: ax(Y, -H) = (1, y, 1, Y), a2(Y, -H) = (-yH,y - Y H, - к - yH, y - ky - Y H)

a

0

Постоянные d1, d2 определяются из условий (2.4), где ak¡ (у, г) (к = 1, 2, 3, 4) - к-я компонента вектора а;(у, г) (г = 1, 2). Имеем

¿1(7) = Р *(у)М2(у)А-1, d2(y) = -Р*(у) (у)А-1 А = М2 (у) N 1(у) - М^у) N 2(7), Р* (7) = -Р (7) / (2М (0) + Л( 0))

(7) = а^у, 0) - К+К 7 а^у, 0), Мк (у) = а2 (у, 0) + у а3 (у, 0)

Окончательно получаем следующие выражения для компонент вектора хс(у, г) при -Н < г < 0:

хк(у, г) = Р*(у)А-1Ак(у, г)в1г, к =1, ..., 4

к к (2.8)

Ак(у, г) = М2 (у)а1 (у, г) - М^у)а2 (у, г) Введем обозначения

1кт = 1кт(Г, г) = |хк(У, г)]т(чг)у¿у, /кт = ОГ г) = |хк(7> г)(7Г)72¿7

0 0

Тогда, используя формулы (1.3), (2.1), распределение смещений, деформаций и напряжений для неоднородного по глубине полупространства при действии на его поверхности произвольной осесимметричной нагрузки можно представить в виде

и (г, г) = -1П, V (г, г) = 131)

еДг, г) = -1 ^ГI п( г, г), ег( г, г) = 140, еф(г, г) = -Г I lo, е^ = -1 (/21 +1 ^)

, , 2М ( г ,, ЛТ1 1Т °г( г,г) =1-^ (у/40-(1-у) 110 + Г ^ (2.9)

°г(Г, г) = пМЬ((1 + 2V)Г111+ у(/40(Г, г) -110))

°Ф( Г, г) = 12М^(( 1- у) /40 - У110 ), тгг( Г, г) = -М (/21 +

3. Численный анализ решения для некоторых характерных распределений модуля

Юнга. Значения компонент полей смещений, деформаций и напряжений строятся с помощью численного интегрирования по формулам (2.9) в заданных точках (г, г) неоднородного по глубине полупространства.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»