Письма в ЖЭТФ, том 102, вып. 1, с. 18-22
© 2015 г. 10 июля
Декогеренция атомарного конденсата в двухъямной ловушке при
оптическом зондировании
Л. В. Ильичев1\ П. Л. Ч&повский Институт автоматики и электрометрии СО РАН, 630090 Новосибирск, Россия
Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия Поступила в редакцию 20 апреля 2015 г.
Рассматривается модель атомарного конденсата в двухъямном потенциале с возможностью тунне-лирования между ямами. Процесс туннелирования модифицируется оптическим зондированием одной из ям пучком нерезонансного излучения. Фаза прошедшего пучка оказывается скоррелированной с числом атомов в зондируемой яме, что вызывает частичное разрушение когерентности между состояниями с разными числами атомов. В предположении доминирующей роли такой декогеренции найдено решение исходного квантового кинетического уравнения для состояния конденсата. Получено выражение для корреляционной функции амплитуды излучения, прошедшего через зондируемую яму. Рассмотрена также противоположная ситуация медленного разрушения когерентности в сравнении со скоростью туннелирования. В обоих случаях имеет место однородность стационарного распределения по числам атомов в ямах для заданного числа атомов в конденсате.
БО!: 10.7868/80370274X15130044
Введение. Как известно, главной характерной чертой атомарного конденсата является нахождение основной части атомов в некотором едином квантовом состоянии. Этим состоянием определяются амплитуды вероятности различных конфигураций расположения атомов. Интерференция различных конфигураций проявляется как макроскопическая когерентность - существование определенных относительных фаз между различными областями конденсата.
В эволюцию макроскопической квантовой когерентности дает вклад ряд эффектов. Главным динамическим фактором является межатомное взаимодействие. В присутствии надконденсатных атомов, играющих роль окружения, взаимодействие между ними и атомами конденсата превращает последний в открытую квантовую систему, что приводит к декогеренции конденсата. Этот механизм уже рассматривался в литературе [1, 2]. Представляет интерес исследование иных механизмов декогеренции. Если потенциал, образующий ловушку, формируется фокусировкой светового пучка, последний неизбежно оказывается каналом информационного обмена между конденсатом и окружением. Частота излучения далека от частот переходов в атомах конденсата, что позволяет пренебречь поглощением. Однако фаза пучка после его прохождения через кон-
e-mail: leonid@iae.nsk.su
денсат смещается на величину, зависящую от числа атомов, попавших в пучок. Возникающие корреляции между конденсатом и световым пучком вызывают декогеренцию в системе атомов. В общем случае, когда ловушка формируется иным способом, а световой пучок используется как зондирующий инструмент, он может освещать часть пространства, занятого конденсатом. Это, очевидно, способствует разрушению когерентности между пространственно-разнесенными компонентами конденсата. Исследование такого механизма декогеренции представляет несомненный интерес для физики многочастичных протяженных квантовых систем. Встает вопрос о выборе подходящей математической модели конденсата. В настоящей работе используется модель конденсата в двухъямной ловушке.
Бозе-эйнштейновский конденсат атомов в двухъямном потенциале представляет собой интересную физическую систему как для экспериментаторов, так и для теоретиков. Возможность описывать конденсат в рамках модели двух мод, отвечающих нахождению атомов в той или иной яме, позволяет аналитически исследовать эффекты макроскопической когерентности в разнообразных режимах туннелирования атомов между ямами [3-5]. Используемая в настоящей работе двухмодовая модель, соответствующая двухъямному потенциалу ловушки, позволяет достаточно подробно проанализировать ситуацию, когда пучок излучения зондирует одну из
Декогеренции атомарного конденсата в двухъямной ловушке.
19
ям и через декогеренцию радикально модифицирует процесс туннелирования атомов между ямами. Вариант со сфокусированными пучками, формирующими двухъямный потенциал и инициирующими разрушение когерентности в обеих ямах, является частным случаем общей модели с декогеренцией в одной яме.
Даже двухмодовая модель оказывается слишком сложной для исчерпывающего аналитического исследования влияния декогеренции. В настоящей работе подробно рассматривается наиболее интересный случай быстрого разрушения декогеренции, создаваемой относительно медленным процессом туннелирования, а также противоположный случай медленной декогеренции. Поскольку главный интерес для нас представляет процесс декогеренции, мы опускаем все эффекты межатомных взаимодействий, являющиеся основным объектом исследования в большинстве работ по туннелированию в двухъямном потенциале. Таким образом, конденсат предполагается идеальным. Учет межатомного взаимодействия будет предметом дальнейшего исследования.
Модель. Простые физические соображения позволяют ввести управляющее уравнение для статистического оператора конденсата р. Оно содержит динамическую и диссипативную части. За динамическую часть эволюции атомарного ансамбля отвечает двухмодовый бозонный гамильтониан
Н = шаоУ а + совЬ^Ь + ра)Ъ + рЬ^ а. (1)
Операторы а) (а) и Ъ^ (Ъ) рождают (уничтожают) атом в ямах А и В соответственно. Константа р, которую без ограничения общности можно считать действительной, описывает эффективность туннелирования между ямами. В предлагаемой модели эффекты взаимодействия атомов с зондирующем излучением отражены в диссипативной части уравнения. Эта часть должна иметь вид универсальной трехчленной структуры Линдблада, 2ЬрЬ^ — ЫЬр—рЬ^Ь, с единственным оператором Ь, отвечающим событию регистрации излучения, прошедшего через конденсат. Необходимо установить вид оператора Ь. Предположим, что пучок зондирует яму В и излучение является классическим, т.е. амплитуда £ световой волны есть обычное комплексное число, коммутирующее со своим сопряженным. После прохождения через конденсат эта амплитуда приобретает фазовый сдвиг, пропорциональный числу атомов в яме В: £ > £ ехр(гфЪ^Ъ). Поэтому амплитуда становится оператором по отношению к системе атомов2'. Опе-
2'В более последовательной теории эффекты взаимодействия атомов с излучением, приводящие к изменению фазы
ратор I/, отвечающий за поглощение излучения, должен быть пропорционален амплитуде после прохождения конденсата. Следовательно, Ь ос ехр(гфЪ^Ъ). В результате имеем следующее уравнение:
—р = —г[Й, р] + I/ехр(гфЬ^Ь)рехр(—гфЬ^Ь) — ир. (2)
аЬ
Поскольку оператор ехр(гфЪ^Ъ) - унитарный, структура Линдблада редуцировалась до второго и третьего слагаемых в правой части. Здесь ф есть фаза, приобретаемая излучением при нахождении в пучке одного атома (естественно полагать ф <С 1). Феноменологическая частота V пропорциональна интенсивности пучка. Она задает скорость разрушения когерентности.
И динамическая, и диссипативная части эволюции имеют свои естественные базисы в пространстве состояний конденсата. Для динамической части это базис, диагонализующий гамильтониан Н. Для диссипативной части целесообразно определить естественный базис так, чтобы диагональные элементы статистического оператора в этом базисе эволюционировали (под действием диссипативной части!) согласно некоторому балансному уравнению, т.е. отдельно от недиагональных элементов. Ясно, что в случае уравнения (2) это базис Фока моды В, умноженный на любой ортонормированный базис моды А. Диагональные элементы оператора р в данном базисе вообще не изменяются под действием процесса декогеренции, а элементы, недиагональные по числу атомов в яме В, отвечающие за когерентность между такими состояниями, подвержены затуханию. С другой стороны, эффект туннелирования между ямами, отраженный в гамильтониане (1), индуцирует эту когерентность. В зависимости от соотношения скоростей затухания и рождения когерентности тот или иной базис оказывается естественным для изучаемой системы. Будут рассмотрены оба противоположных предельных случая.
Случай быстрого разрушения когерентности. При выполнении неравенства
1/(1 -СОБф) ~1Уф2/2У1> И, (3)
в котором левая часть, как будет показано ниже, задает скорость разрушения когерентности, а правая - скорость ее создания при туннелировании, можно полагать, что когерентность не распространяется дальше одного шага от диагонали в естественном
последнего, должны изначально появиться в гамильтониане в виде слагаемого ос где — оператор числа фотонов
в пучке.
"диссипативном" базисе, т.е. по числу атомов в моде В:
(4)
+ д[+) ®\к + 1)(к\ + д[ ]®\к)(к + 1\у
Здесь операторы дк и д^ действуют в пространстве состояний моды А, дк = Рк = ТгАвк есть ве-
роятность иметь к атомов в моде В. Вторые сомножители в тензорных произведениях суть операторы в пространстве состояний моды В. Уравнение для дк следует из (2):
(I „
dt
, дк}~ + 1а1"д^
(5)
- 1цу/ка$-к\ + г/л^кд^^ + ъцу/к + 1 д[ •'а.
В аналогичном уравнении для д^ "источником" служат слагаемые ос [ладь и ос ¡лдк+1а, а "стоком" - слагаемое 1у( 1 — со(аналогично для дк -1). Поскольку при выполнении неравенства (3) эволюция операторов д^ подчинена более медленной эволюции операторов дк, можно пренебречь производными /скЬ и получить следующие выражения для квазистационарных матричных элементов в базисе Фока моды А:
(п\д[+)\п<)
гцу/к + 1
Z + lUJA^n — п'
-{n\(agk - gk+ia)\n')
(6)
гц^/к + 1 Z* + lUJA^n — '
(n|(aTgfc+i-£fcaT)|n'}.
(7)
Здесь Z = i/(l — cos ф) — iv sm ф + iujb- Результирующее уравнение для дк также по необходимости требует записи через матричные элементы. Мы будем интересоваться эволюцией распределения вероятности нахождения того или иного числа атомов в моде А. Для этого достаточно уравнения эволюции диагональных матричных элементов gk(n) = {п\дк\п)'-
dt
вк{п) = уп(к + 1)
6k+i(n - 1) - вк{п)
(8)
+ 7&(п + 1)
0k-i(n + 1) - вк(г
Здесь 7 = 2/а2Ке^ — 1ша)~1-
Как и следовало ожидать, балансное уравнение связывает состояния с заданным полным числом частиц N = п + к в конденсате. В рамках представления Иордана [6], ассоци
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.