ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2013, том 47, № 2, с. 158-167
УДК 533+532+517.9
ДЕКОМПОЗИЦИЯ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
© 2013 г. А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин*
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва *Московский государственный машиностроительный университет polyanin@ipmnet.ru Поступила в редакцию 02.08.2012 г.
Описан новый точный метод решения трехмерных линейных систем уравнений гидродинамического типа, основанный на расщеплении этих систем на три более простых уравнения. Показано, что общее решение трехмерных уравнений Стокса (при отсутствии массовых сил) можно выразить через решения двух независимых уравнений — уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа. Исследован класс решений с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных, дана их физическая интерпретация. Рассмотрены осевые движения жидкости и решены некоторые гидродинамические задачи. Построено общее решение трехмерных уравнений Озеена. Исследованы линеаризованные уравнения движения вязкоупругой среды Олдройда.
Б01: 10.7868/80040357113020073
ВВЕДЕНИЕ
Теоретические представления о гидродинамических явлениях в аппаратах химической технологии всегда играли важную роль в формировании теоретических основ химической технологии как науки. Они позволяют разобраться в механизме протекания основных химико-технологических процессов и определить в ряде случаев наиболее эффективные параметры их проведения, что, в конечном счете, позволяет рассчитывать основные геометрические размеры вновь создаваемых аппаратов и оптимизировать технологические режимы работы существующих [1—4].
Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается системой нелинейных уравнений Навье—Стокса (см., например [5—8]), представляющих собой математическую запись закона сохранения импульса для жидких сред. Входящий в эти уравнения безразмерный параметр — число Рейнольдса Яе, позволяет в некоторых случаях существенно упростить эти уравнения. Так, при Яе ^ 1, когда движение жидкости является медленным, уравнения Навье—Стокса можно линеаризовать, полученная система уравнений носит имя Стокса [5, 6].
Точные решения уравнений Стокса играют важную роль в формировании правильных представлений о качественном характере течения жидкости и позволяют рассчитать в ряде предельных случаев обобщенные интегральные характеристики течения, например коэффициент сопротивления, расход жидкости и т.д. Кроме того, такие решения служат отправной точкой для построения моделей процессов переноса в жидкости [7, 8] на основе точного решения уравнений конвективного массо- и теплообмена.
Как результат, уравнения гидродинамического типа изучались весьма подробно. Различные классы точных решений нестационарных уравнений Стокса рассматривались, например, в [5, 6, 8—15]. Многочисленные классы точных решений и новые преобразования уравнений гидродинамического типа, Эйлера и Навье—Стокса представлены в [16—21]. Также широко рассматривались точные решения в теории гидродинамического пограничного слоя [22—26]. Точные решения уравнений Навье—Стокса позволили развить новые подходы к исследованию вопросов их нелинейной устойчивости [27—29].
Целью настоящей работы является декомпозиция и точные решения трехмерных нестационарных линеаризованных уравнений вязкой жидкости.
ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СТОКСА
В прямоугольной декартовой системе координат х, у, z система нестационарных уравнений Стокса записывается в виде
ди дг
ду
дг
д*. дг '
+ V
+ V
+ V
д2 -л 2 -л 2 ^
_и + д и + ди
дх2 ду2 дг2у
52 <-\2 <-\2
у + д у д у
-л 2 -л 2 -л 2
дх ду дг
1 др рдх
1 др рду
1 др рдг
ди + ду + _ о дх
52 -л 2 -л2 _* + д * + д *
-л 2 -л 2 -л 2
дх ду дг
(1)
ду дг
где и, V, w — компоненты вектора скорости жидкости, 1 — время, р — давление, р — плотность жидкости, V — кинематическая вязкость.
Компоненты скорости жидкости в системе (1) ищем в виде
дф дф и = —, V = — + п,
дх ду
дг
(2)
где функции ф = ф(х, у, z, 1), п = п(х, У, z, 1), С = = ^(х, у, z, 0 и давление р = р(х, у, z, 1) будут определяться в ходе дальнейшего анализа.
Первое уравнение (1) с учетом (2) можно записать в виде
А|дФ-удф +1 р 1 = о.
дх\дг р
(3)
Интегрируя (3) по х, получим выражение для давления
р = р (V Дф - |ф) + ру(у, г, г),
(4)
дг ду дг дг
(5)
Из последнего уравнения (1) с помощью (2) находим уравнение для псевдопотенциала ф:
Дф^-^.
ду дг
(6)
Пуассона (6). В формулу (4) и уравнения (5) входит произвольная функция трех аргументов у = = У(У, ^ 1).
Покажем, что с помощью переопределения функций ф, п, С функцию у можно положить равной нулю. Действительно, выражения (2) и (4) и уравнения (5), (6) преобразуем по формулам
Ф = Ф + Фо, п = П + По, С = С + Со, (7)
где функция ф0 = ф0(у, ^ 1) описывается уравнением
% ^Дфо = ^
дг
а функции по = По(У, z, 1) и = Со(У, z, 1) определяются по формулам
п _ дФо г _ дФо Ло _ —, Цо _ —.
ду дг
В результате преобразования (7) получим формулы (2) и (4) и уравнения (5), (6), в которых ф, п, С надо заменить на ф, п, С и положить у = 0.
Таким образом, доказано утверждение, что общее решение уравнений Стокса (1) можно представить в виде
дф дф дф г и = —, V = — + п, * = — + ц, дх ду дг
р = Р К-!),
(8)
где функции п = п(х, У, z, 1) и ^ = С(х, У, z, 0 являются произвольными решениями двух независимых уравнений теплопроводности
— = vДл, — = vДC, дг дг
(9)
а псевдопотенциал ф является произвольным решением уравнения Пуассона
Дф^-^.
ду дг
(10)
где у = у(У, z, 1) — произвольная функция.
Подставив (2) и (4) во второе и третье уравнения (1), имеем два независимых уравнения для определения функций п = п(х, У, z, 1) и ^ = С(х, У, ^ 1):
Замечание 1. Потенциальным течениям жидкости отвечает п = С = 0.
Замечание 2. Частное решение уравнения (10) в трехмерном случае имеет вид (см. например [14])
Ф р
да да да
: III
4п
дП + дС,
—да —да —да
ду с1х:йу:йг:
дг) у^
г=г:
Таким образом, показано, что решение системы Стокса (1) можно представить с помощью формул (2), (4), где функции п и ^ описываются неоднородными уравнениями теплопроводности (5), а псевдопотенциал ф — уравнением
-\(х - х:)2 + (у - у:)2 + (г - г:)2 Сделав в (10) подстановку ф = фр + ф, получим для функции ф уравнение Лапласа
Дф = о. (11)
Таким образом, общее решение системы Сток-са (1) (состоящей из четырех связанных уравнений) выражается через решения трех независи-
мых уравнений — двух уравнений теплопроводности (9) и уравнения Лапласа (11).
Замечание 3. Частное решение уравнения (10) при п ^ 0, ^ ^ 0 имеет вид
ср = -V
дв+дС
ду
сСг + а(х, у, z),
(12)
где функции / = /(х, у, z, 0, § = g(x, у, z, t), к = = к(х, у, z, 0, Ф = Ф(х, у, z, t) удовлетворяют четырем независимым уравнениям — трем одинаковым уравнениям теплопроводности
= уДГ, & = уДг, дй = уАй,
дг дг дг
и уравнению Лапласа
АФ = 0.
(13)
(14)
Произвольные постоянные Сп, входящие в решения стационарного уравнения (14), могут произвольным образом зависеть от времени t.
Стационарным решениям уравнений (13) соответствуют потенциальные течения жидкости.
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СТОКСА ПРИ НАЛИЧИИ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ МАССОВЫХ СИЛ
Рассмотрим уравнения Стокса при наличии неконсервативных массовых сил
где а(х, у, z) — некоторая функция координат. Эта формула доказывается непосредственной проверкой путем подстановки в (10) с учетом следствий уравнений (9), продифференцированных соответственно по у и z.
Замечание 4. Из вида общего решения (8)—(10) следует, что если начальные и граничные условия заданы для компонент скоростей жидкости и, V, е, то никаких условий на давление р задавать не надо (оно автоматически определяется по последней формуле (8)).
Замечание 5. К давлению р в последней формуле (8) можно добавить произвольную функцию времени р0(0.
ШИРОКИЙ КЛАСС ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ СТОКСА
Широкий класс точных решений уравнений Стокса (1) можно представить в виде
дх дг дх ^дх ду дz
ду дг ду ^дх ду дz
Е = дФ + дк +
дz дг дz удх ду дz
ди _ _ 1 др + у дг рдх
дх = _ 1 др + у дг рду
дЕ = _ 1 др + у дг рдz
д2 -л 2 -л 2 ^
и + д_и+ди
-л 2 -л 2 -л 2
дх ду дz у
52 <-\2 <-\2 ^
V + д V + д V
-л 2 -л 2 -л 2
дх ду дz у
52 -л2 -л2 "Л
_е + д е + д е
-л 2 -л 2 -л 2
дх ду дz
+
+ Ръ
(15)
+ Рз,
у
ди ду дЕ _ 0 дх ду дz
где Рп = Fn(x, у, z, t) считаются заданными функциями. Общее решение системы (15) можно представить в виде
и = дФ + ^, V = дФ + П, Е = & + (,
дх ду дz
р = р (Аф-
дф' дг
(16)
где функции Е = Е(х, у, z, t), п = п(х, у, z, 0 и ^ = = ^(х, у, z, t) удовлетворяют трем независимым уравнениям теплопроводности
д^ = vA% + Д, дn = vAц + /2, дZ = v^Z + /3, (17)
дг дг дг
а функция ф = ф(х, у, z, t) определяется из уравнения Пуассона
Дф = -дк-дЯ-д!к.
дх ду дz
(18)
Учитывая (18), формулу для давления (16) можно представить в виде
Р = -Р
дф 5 г
+ V
д^+дп+д^
дх ду дz
Симметричная форма представления общего решения уравнения Стокса в отсутствие массовых неконсервативных сил будет определяться соотношениями (16), (18), а в (17) необходимо положить = = Ш3 = 0 и пользоваться следующими уравнениями:
— = vA2„ — = vAл, дг дг
д^Ас, дг ^
(19)
Замечание 6. В решении (16) можно положить Е = 0. В этом случае в скобках в правой части формулы для давления (16) добавляется член Т =
х
= |/(х1, у, z, г)Схь первое уравнение (17) опускает-
0
ся, а в правых частях второго и третьего уравнений (17) вместо функций и Ш3 соответственно
будут стоять члены ¥2--и ¥3--; в уравне-
ду дг
нии (18) полагается £, = 0.
РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИИ СТОКСА С ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ КОМПОНЕНТ СКОРОСТИ ОТ ДВУХ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим подробнее точное решение системы уравнений (1), линейное по двум пространственным переменным [18, 22, 31]
и = /о(г, г) + /(г, г)х + /(г, г)у, V = gо(z, 0 + g1(z, г)х + g2(z, 0у,
* = Мг, 0, (20)
Р = Ро(г, 0 + М)х + Р2(г)у +
1 2 1 2
+ 2 Рп(0х + Р12(г)ху + 2 Р22®У ,
где р0(г, 0 — зависит от продольной координаты и времени, а остальные величины р„ (0 и р„т(0 — произвольные функции времени.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.