научная статья по теме ДЕЙСТВИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ШТАМПА НА ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО Механика

Текст научной статьи на тему «ДЕЙСТВИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ШТАМПА НА ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2014

УДК 539.3

© 2014 г. Д. Б. ДАВТЯН, Д. А. ПОЖАРСКИЙ

ДЕЙСТВИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ШТАМПА НА ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО

Исследуется пространственная контактная задача о действии эллиптического в плане штампа на трансверсально изотропное упругое полупространство, когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства. Эллиптическая область контакта считается заданной (штамп имеет острые кромки). Получено интегральное уравнение контактной задачи. Упругая жесткость границы полупространства, характеризуемая нормальным перемещением под действием заданной сосредоточенной силы, существенно зависит от выбранного направления на этой границе. В связи с этим рассмотрены два случая расположения эллипса контакта: он может быть вытянут вдоль первой или второй оси декартовой системы координат на границе тела. Для штампа с основанием в форме эллиптического параболоида получены точные решения, по которым сделаны расчеты для разных комбинаций пяти упругих постоянных. Для штампа с полиномиальным основанием установлена структура точного решения и указан способ его нахождения.

Ключевые слова: теория упругости, контактные задачи, трансверсальная изотропия.

Пионерскими для трансверсально изотропного упругого тела считаются работы Эллиота [1, 2]. Контактные задачи для трансверсально-изотропного полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства, названы "нетрадиционными" [3], поскольку ранее предполагалось, что плоскости изотропии параллельны границе полупространства [4, 5], что приводило к интегральному уравнению, ядро которого совпадало с ядром контактной задачи для изотропного полупространства. Для нетрадиционного полупространства были получены [3] точные решения контактных задач для эллиптической в плане штампа с плоским основанием при учете перекоса (область контакта задана), а также для симметрично вдавливаемого эллиптического параболоида без острых кромок (область контакта неизвестна). Показано [3], что круговой параболоид вращения может приводить к эллиптической площадке контакта, а круговая область контакта может возникать при внедрении эллиптического параболоида с разными полуосями. Изучалась [6] задача об эллиптической трещине в нетрадиционном трансверсально изотропном пространстве (плоскость трещины перпендикулярна плоскостям изотропии). Для эллиптического штампа с полиномиальным основанием, вдавливаемого в изотропное упругое полупространство, структура точного решения контактной задачи установлена Л.А. Гали-ным [7] при помощи решения задачи Дирихле для внешности эллиптического диска, а возникающие при этом интегралы взяты в [8—10].

1. Постановка задачи. В декартовых координатах рассмотрим трансверсально изотропное упругое полупространство x > 0, граница которого перпендикулярна плоскостям изотропии z = const. Закон Гука имеет вид [3]:

а дих . . 0 . дыу ди ъх = Лц—^ + (Ли - 2Л66)—У +

дх ду дг

/л о л \дих . диу . диг ъу - (Лп - 2Лбб)-^ + Лц—^ + Лп—1

дх ду дг ^ ^

„ - Л дих + Л диУ + А диг Т - Л дих + Л диУ

Ъг - Л13 — + Л13 — + Л33~, Тху - Л66^~ + Л66 —

дх ду дг ду дх

Т - Л диу + Л диг т - Л дих + Л диг

туг - Л44 ~--+ Л44 "Т- , тхг - Л44 "Г--+ Л44

дг ду дг дх

В частном случае изотропного полупространства в формулах (1.1) следует положить (Э — модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона):

. . 20(1 -V) . 20V л л п ,, оч

ЛЦ = Л33 = 4 у, Л13 = -——, Л44 = Лбб = О (1.2)

1 - 2v 1 - 2v

Пусть при x = 0 в полупространство внедряется абсолютно жесткий эллиптический в плане штамп, основание которого в области контакта описывается функцией

2 2

/(у, г) = — +(1.3) 2Я1 2Я2

Штамп вдавливается без перекоса центрально приложенной силой P, испытывая осадку 8. Предполагается, что штамп имеет острые кромки, поэтому область контакта считается известной в виде

а < | (1.4)

При заданных упругих параметрах, функции (1.3), области контакта (1.4) и осадке 8 требуется определить нормальное контактное давление q(y, z) в области О и силу P. На основании решения задачи Буссинеска [3] интегральное уравнение контактной задачи можно записать в форме

2 2

(Г^уо, г0)К(у - уо, г - гo)dyodгo = 5 - - ^, (у, г) ей (1.5)

2 дада дада 2

К (у, г) = (т -2 тх)Уз [ [ ^ 2 ехр(-/г^ - 1уп)й ^ 4п2Лб^ ! О

—да —да

О = ^2^1 -т^С2 -4(^2 -2^3, СП = "\/у2Л2 +П2 (п = 1,2,3) (1.6)

т = Л1112 Л44, к1 = (т + 1>у2^2 + 2п2 (I = 1,2), у3 =

Л13 + Л44 \Л66

_ Л11УI - Л44 и _ ,„.„ , п„.2£2 , о„2 п _ 1 -у, „. _ И44

Здесь у:, у2 удовлетворяют уравнению

У4Л11Л44 - у2[Л11Л33 - Л13(Л13 + 2Л44)] + Л33Л44 = 0 (1.7)

Существует предельный переход от уравнения (1.5) к интегральному уравнению контактной задачи для изотропного упругого полупространства [6], которое имеет вид (1.5) с заменой ядра на

Ko(y, z) = ^ J J ^(-f"fn)i(1 ;"2V) 2 (1.8)

2. Эллипс контакта вытянут вдоль оси z. Пусть а > b. Введем безразмерные обозначения (штрихи далее опускаем)

y- = y, z' = Z, УО = Уо, Z0 = z0, = %а, n' = na, 8' = 8, R = Rl, R = R а а а а а а a^ ^

K(y\z) = A66K(y, z), k = b, P , q'(y\Z) = ^, П': Jz'2 + 4 * 4

а Абба2 Абб [ k J

В обозначениях (2.1) интегральное уравнение контактной задачи снова можно записать в виде (1.5). Решение уравнения (1.5), (2.1), следуя идеям Л.А. Галина, будем искать в форме

q(y, z) = А + A2z 2 + А2 y 2 (2.2)

vi - z - k-2y2

Внесем (2.2) в (1.5) после замен (2.1). Теперь нам понадобятся следующие интегралы:

|Т + = 2пк ^ + к ^

М Г, 2 , -2 2 0 /к2 ,2 2

п V1 - г о - к уо ^ + к п

JJ г oW = -2п.-о А/1 - z0 - k~2^ _№ + k П )

/>.2,2 2 »2 . />-2 , 2 2" - sin уg + k n ) g sin y g + k n I /23)

" vg^Tk^n1 " (A/g^TkV)3 j ■

JJ0g + 2J02n)^^0^Z0 =-2nk3 -

O V1 - г 02 - k - 2У02 № + k П )

L 2 , 2 2 , 2 2- L 2,22 " sin уg + k n ) k n sin у g + k n

" л/g2+kY (Vg2+kY)3 J

Первый интеграл (2.3) вычисляется после перехода к полярным координатам при использовании интегралов 3.715.10 и 6.554.2 [11]:

п/2

J cos(acos9)cos(6sinф)^ф = nJ0(ía^+b2)

(2.4)

j р/2 + к\2)d p = si nyj g2 + к Y

o Vi -р2 Vg2+к Y

Второй и третий интегралы (2.3) получаются из первого интеграла (2.3) двукратным дифференцированием по и ц, соответственно.

После использования интегралов (2.3) интегральное уравнение контактной задачи принимает вид

2 ю ю г/ г-2 2

-ími^mMк г г J cos>/E4ky-si7E + kn 2п iill VE2 + k Y

2 . 7_2„2 ^

X

х 4(kУ - 2^2) + ^2k2(E2 - 2kУ)

-2 ,2 2Ч 2

(E +kn) ,__(2.5)

I 2 2 2

г j 2 i 2 2ч . лй2 А , 4 2, sin -у/E + k П

- + k n ) + A& + A2k n ]-—-L

)3

E2 72 v2

X 7: z iz 2 exp(-;7E - iyn)di!dn = , (У 7) e^

D 2Ri 2K2

Переходя в (2.5) к полярным координатам

^ = р cos ф, k n = p sin ф (2.6)

получим ((y, 7) е Q):

2 2п да г

(m2 - да1)у и rip cos р- sin pr . 2 0 2 ч -i iir--^A1(sin ф- 2cos ф) +

2п 0 0 I Р

+ A2k2(cos2 ф - 2 sin2 ф)] - sin Р (A0 + A1 cos2 ф + A2k2 sin2 ф) l x (2.7)

Р J

cos2 2 2

x cos ф r*r* cos(p(7 cos ф + k 1y sin ф)Иpdф = 8 - —---—

D* 2 2Ry 2R2

D* = m2{h?fZ* - mi(h¿)2Z* - 4(m2 - mi)k~2 sin2 pZ*Z*Z*

С,П = ViИ cos2 ф + k 2 sin2 ф (и = 1,2,3) (2.8)

h* = (mi + 1)y2 cos2 ф+ 2k \т2ф (l = 1,2) Обозначим

0 = 7 cos ф + k _1y sin ф (2.9)

Ясно, что внутри эллипса контакта 10| < 1. Используя интеграл 3.741.2 [11], найдем

да

ГЁ££ cos 9pdp = n (|9|< 1) (2.10)

Р 2

о к

Вычислим интеграл

да

ГР cos Р - sin Р cos Qpd р = F(9) (|9|< 1) (2.11)

3

о р

Продифференцируем равенство (2.11) почленно по 9 и используем интегралы 3.741.2 и 3.741.3 [11]. Получим

да да

F'(9) = -Jcospsin8pdp + Jsinpsjn6pdp = П9 (|9| < 1) (2.12)

0 p 0 p 2

Отсюда следует, что

F(0) = п02/4 + const (|0| < 1) (2.13)

Постоянную интегрирования в (2.13) определим при учете интеграла 3.784.7 [11] в виде

ж

F (0) = fр C0S р ~ sin % = -П (2.14)

0 р3 4 Итак, интеграл (2.11) вычисляется по формуле

от

fрC0Sр- Sinрcos9рф=П(е2 -1) (|9|< 1) (2.15)

J р3 4

о р

При помощи формул (2.10) и (2.15) выполним квадрату по переменной р в (2.7). Получим соотношение ((y, z) е Q)

2 2п

(m2 - тЛч 3 f 2 2 , -1 • 0 ,-22-2.

-i {(z cos ф + k zy sin29 + k y sin ф) х

8 J

о

2 2 2 2 2 х [^1(sin ф-2cos ф) + А^ (cos ф-2sin ф)] - (2.16)

2 2 2 о/л , л 2 á i 2 • 2 4,cos ф„*„* s Z У - 2(Ао + A1 cos ф + A2k sin ф)}—--Z1Z2dф = 8-f^--т—

Di ¿щ 2R2

Заметим, что интеграл, содержащий zy sin2(, тождественно равен нулю. Приравнивая в (2.16) слева и справа члены при одинаковых степенях переменных y, z и свободные члены, придем к следующей системе трех линейных алгебраических уравнений для определения постоянных An (n = 0, 1, 2):

«11 Ао + «12 А1 + «13 А 2 = 8

Ü22 А1 + «23 А2 = R-1

«32 А1 + «33 А2 = R2-\

Коэффициенты системы (2.17) имеют вид

( _ ) 22п ( _ ) 22п z*Z*

«11 = т-1)Y3- fz1 Z2 cos фdф, «12 = т-1)Y3 fz1 Z2 cos ф sin ф^ф

^ 8 D*

(2.17)

4 J D* ' 0

(т2 _ тОу 2 Г Z2

4 J D* 0

(т2 - т1)у2 2v *r* ГЦ1Ц2

«22 = (m2—<min± I cos4 ф(sin2 ф_ 2 cos2 y)dy

0 (2.18)

a32 = ("2—""1)f3 I b1 b2 cos2 фsin2 ф( sin2 ф- 2cos2 ф)^ф 4k2 0 D*

a13 = k2 {a^- - al2), a23 = -2«!3 - k2«22, a33 = -2an - k2«32

В табл. 1 рассмотрены пять случаев значений упругих постоянных, для которых сделаны расчеты. В табл. 2 при разных k даны значения коэффициентов (2.18).

Таблица 1

Случай А11 А13 А33 А44 А66 2 2 Ъ 2 Ш1 Ш2

1 22 9 33 4 8 6.272 0.2392 0.5 10.31 0.09702

2 33 9 22 8 4 1.432 0.4655 2 2.310 0.4330

3 22 9 33 8 4 2.148 0.6982 2 2.310 0.4330

4 33 9 22 4 8 4.181 0.1594 0.5 10.31 0.09702

5 22 15 33 4 8 3.950 0.3798 0.5 4.363 0.2293

Таблица 2

к а 11 а12

0.1 0.3130 0.03910

0.5 0.9492 0.1835

0.9 1.334 0.3048

0.1 0.1877 0.02797

0.5 0.5089 0.1212

0.9 0.6760 0.1883

0.1 0.2026 0.03001

0.5 0.5537 0.1295

0.9 0.7403 0.2014

0.1 0.2608 0.03278

0.5 0.7879 0.1530

0.9 1.106 0.2537

0.1 0.3322 0.03937

0.5 1.031 0.1917

0.9 1.461 0.3247

Случай 1

0.001174

0.07277

0.2933

0.3921 0.8328 0.9501

Случай 2

0.0006587

0.03330

0.1212

0.2090 0.3369 0.3401

Случай 3

0.0007129

0.03684

0.1367

0.2268 0.3804 0.3963

Случай 4

0.009762

0.06023

0.2425

0.3256 0.6884 0.7839

Случай 5

0.001267

0.08098

0.3287

0.4281 0.9367 1.071

0.001573

0.06267

0.1829

0.0007727

0.01761

0.03298

0.0008425

0.02141

0.04759

0.001304

0.05165

0.1500

0.001746

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Механика»