ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 5, 2012
УДК 539.3
© 2012 г. Д.Б. Давтян, Д.А. Пожарский
ДЕЙСТВИЕ ПОЛОСОВОГО ШТАМПА НА ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
Исследуются пространственные контактные задачи о действии абсолютно жесткого полосового в плане штампа на трансверсально изотропное упругое полупространство, когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства. В связи с тем, что упругая жесткость границы полупространства, характеризуемая нормальным перемещением под действием заданной сосредоточенной силы, существенно зависит от выбранного направления на этой границе, рассмотрены два случая расположения штампа: вдоль первой или второй оси декартовой системы координат на границе тела (задачи А и Б). Нормальное перемещение границы тела под действием заданной нормальной сосредоточенной силы после применения двойного преобразования Фурье получено в виде, свободном от квадратур, что позволяет без труда определять жесткость границы в разных направлениях, а также направления экстремальной жесткости. В предположении, что функция, описывающая форму основания штампа, представима рядом Фурье, получены одномерные интегральные уравнения контактных задач А и Б, символы ядер которых не зависят от номера члена ряда Фурье. При специальной аппроксимации символа ядра выводится замкнутое решение контактной задачи через функции Матье по методу В.Л. Рвачева, нашедшего замкнутое решение аналогичной контактной задачи о действии полосового штампа на изотропное упругое полупространство. Для решения интегральных уравнений контактных задач использованы регулярный и сингулярный асимптотические методы с введением безразмерного геометрического параметра X, характеризующего отношение величины периода волнистой подошвы штампа к толщине полосы контакта. Также на основе метода ортогональных функций интегральные уравнения сведены к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, для решения которых метод редукции применим при любых значениях X.
Пионерскими в области трансверсально изотропного упругого тела можно считать известные работы Эллиота [1, 2]. Контактные задачи для трансверсально изотропного полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства, названы "нетрадиционными" [3], поскольку ранее обычно предполагалось, что плоскости изотропии параллельны границе полупространства [4,5], что приводило к интегральному уравнению (ИУ), ядро которого совпадало с ядром контактной задачи для изотропного полупространства. Перемещения и напряжения в "нетрадиционном" полупространстве под действием заданной сосредоточенной силы были получены [3] в виде однократных квадратур (не удалось полностью освободиться от квадратур), затем были найдены точные решения нескольких контактных задач для заданной или неизвестной эллиптической в плане области контакта. Показано [3], что параболоид вращения может приводить к эллиптической площадке контакта, а круговая область контакта может возникать при внедрении несимметричного эллиптического параболоида. Изучалась [6] задача об эллиптической трещине в нетрадиционном трансверсально изотропном пространстве (плоскость трещины перпендикулярна плоскостям изотропии). Символ ядра ИУ этой задачи является взаимно обратным к символу ядра ИУ соответствующей контактной задачи [3]. В отличие от подхода В.Н. Фабриканта [3] в настоящей работе функция Грина получена без
квадратур; идеи В.Л. Рвачева [7], асимптотические методы, метод ортогональных функций [8, 9] распространяются на случай полосовой области контакта.
1. Задача Буссинеска. В декартовых координатах рассмотрим трансверсально изотропное упругое полупространство x > 0, граница которого перпендикулярна плоскостям изотропии z = const. Закон Гука имеет вид [3]
ох = Ai^t + (Ali -2A66)—y + (1.1)
dx dy dz
,, , . ,dux . duy duz
оy = (An -2Абб)—x + Aii—^ + An —z dx dy dz
„ _ A dux + A duy + A duz T _ A dux + A duy
üz _ A13~ + A13~ + A33~, Txy _ A66^~ + A66 —
dx dy dz dy dx
T = A duy + A duz T - A dux + A duz
Tyz - A44—--+ A44 ^ > Txz - A44 "T--+ A44 ^T-
dz dy dz dx
В частном случае изотропного полупространства в формулах (1.1) следует положить (G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона)
A _A _ 2G(1 - v) _ 2G v A _A _r (12)
A11 - A33 - —-Г-> A13 -— > A44 - A66 - G (1.2)
1 - 2v 1 - 2v
Пусть в начале координат к границе полупространства приложена нормальная сосредоточенная сила Px. Граничные условия задачи Буссинеска для уравнений упругого равновесия можно записать в виде
x = 0: a x = -PxS(x)5(y), т xy = т xz = 0 (1.3)
где S(x) — дельта-функция Дирака.
Подставив закон Гука (1.1) в уравнения равновесия в напряжениях, перейдем к уравнениям равновесия в перемещениях, решение которых будем искать в форме двойного преобразования Фурье по переменным y, z. В результате нормальное перемещение при x = 0 найдем в виде [3]
М0, y, z) = (m 2m2)Y3 Px J J ^-ZiZ2 exp(-^ - iyn№dn 4n2A66 J J D
—да —да
D = m^Zi - mjklZ2 - 4(mi - ^^Zií 2Z3, Zn = JYW+ñ, n = 1,2,3 (L4)
щ = АЛk , kk = (mk + 1)y2 + 2n2, k = 1,2, у3 = &
A13 + a44 VA66
Здесь Yi, y2 — положительные корни уравнения (предполагается, что такие корни существуют)
у4А11А44 - у2[А11А33 - Ai3(Ai3 + 2А44)] + А33А44 = 0 (1.5)
Переходя в соотношениях (1.4) к полярным координатам по формулам £ = r cos ф, r sin Ф (1.6)
полагая y3 = 1, A66 = G и используя значения предела [6]
i^mi^mi = 1 -v
D(9) cos2 ф'
lim ^ ч 2 =-2—, y1 ^ Y2 ^ 1
Дф) = ^1^2(9)^1(9) - mhl(<p)Z2<ф) - 4(mi - m2)sin2 9Zi(9)Z2<ф)Сз(ф) (1-7)
hk (ф) = (mk + 1)у2 cos2 ф + 2 sin2 ф, Z «(ф) = Vylcos^^+siñ^
убеждаемся, что первая формула (1.4) в пределе совпадает с известным результатом для изотропного полупространства [9]
Ux (0, у, г) = , R = v y2 + г2 (1.8)
2nGR
Формула (1.8) получается как следствие равенства [10]
да да
G(y, г) = JJ cos(f f^d = 2R (1.9)
oo V^ +П 2R
Для вычисления интеграла (1.9) делается переход к полярным координатам по формулам (1.6). Имеем интеграл
да п/2
G(y, z) = Jdr J cos(zr cos ф)^(уг sin ф)^ф (1.10)
0 0
Вычисляя сперва интеграл по ф, а затем по r при помощи известных формул ([10], формулы 3.937.2 и 6.511.1), получим равенство (1.9). Другой путь вывода формулы (1.9) состоит в изменении порядка интегрирования в интеграле (1.10) и привлечении теории обобщенных функций. Предполагая, что y > 0, z > 0, и вычисляя сперва интеграл по r с использованием представления
да
J cos(xr)dr = л8(х)
0
приходим к выражению
п/2
п г
G(y, z) = — I 5(z cos ф- y sin ф^ф 2 J
0
После замены переменной интегрирования по формулам u = z cos ф - y sin ф = R cos(9 - 9), cos 9 = z/R
получим равенство (1.9).
Альтернативный путь вычисления интеграла (1.10) позволяет также, действуя по аналогии, освободиться от квадратур и в первой формуле (1.4). В результате вместо (1.4) имеем
2 2 * *
Ux (0, y, z) = Pf-(mi - У^2 , z* , « = 1,2,3
2nA66 D*
D* = m^)2Zi -m2(h02Z2 -4(m1 -m^zX^iZ3 (1.11)
hk* = (mk + 1)y2 y2 + 2z2, k = 1,2
В качестве примера покажем, что в зависимости от значений пяти упругих постоянных, входящих в закон Гука (1.1), поверхность полупространства может быть более
4 Прикладная математика и механика, № 5
Таблица 1
Случай Л„ А13 А33 А44 А66 2 2 Ъ 2 Уз Ш1 Ш2
1 22 9 33 4 8 6.272 0.2392 0.5 10.31 0.09702
2 33 9 22 8 4 1.432 0.4655 2 2.310 0.4330
3 22 9 33 8 4 2.148 0.6982 2 2.310 0.4330
4 33 9 22 4 8 4.181 0.1594 0.5 10.31 0.09702
5 22 15 33 4 8 3.950 0.3798 0.5 4.363 0.2293
жесткой как в направлении оси у, так и в направлении оси г. Именно, из формул (1.11) путем предельного перехода получим
Рх иху и =_(т1 - т2>У1У 2
2пА66 У у2[т1(т2 + 1)2у1 - т2(т1 + 1)2у2]
их (0, У,0) = , иХу = --^-"ышг---(1.12)
их (0,0, г) = , ихг =-^-Г
2пА66 г 2[(т1 - т2)у3 - т1у2 + т2у1 ]
В табл. 1 приведены значения упругих постоянных и соответствующие им значения основных параметров (1.4), (1.5) для пяти случаев, для которых затем сделаны расчеты. Ниже приведены значения безразмерных величин иху, и^ (1.12), характеризующих при у = г ^ 0 нормальное перемещение точек поверхности, лежащих на координатных осях от действия нормальной сосредоточенной силы, приложенной в начале координат (случаи здесь и ниже соответствуют данным табл. 1).
Случай 1 2 3 4 5
иху 1.000 0.3140 0.3845 0.8168 1.120
ихг 0.7857 0.5690 0.6111 0.6600 0.7857
Видно, что в случаях 1, 4 и 5 поверхность полупространства жестче в направлении оси г (соответствующее перемещение меньше). В случаях 2 и 3 поверхность жестче в
направлении оси у. На направление большей жесткости влияет значение у2, т.е. соотношение упругих постоянных А44 и А66. Для примера, приведенного В.И. Фабрикантом ([3], с. 169, 170), расчеты по формулам (1.12) подтверждают его вывод о большей жесткости в направлении оси г.
Используя формулы (1.11), нетрудно определить направления экстремальной жесткости границы полупространства. Переходя к полярным координатам р, а, перепишем эти формулы, используя обозначения (1.7), в виде
и*(0,р^а,р^п а) = ^^ и(а) = (т1 - т2)У 2 сое2 а ^ 2(а) ^^
2прАбб Да)
Значения углов а = аш1п, а = атах, при которых функция ы(а) (1.13) достигает на отрезке [0,п/2] соответственно наименьшего и наибольшего значения, характеризуют
направления наибольшей и наименьшей жесткости поверхности полупространства. В качестве примера такие направления приведены ниже
Случай 1 2 3 4 5
а^п п/2 0 0 п/2 п/2
атах 0 п/2 п/2 0.18 0
Как видно, экстремальные направления безразмерного перемещения (1.13) часто (но не всегда) совпадают с направлениями осей координат у, ^
2. Контактные задачи. Замкнутое решение. Рассмотрим взаимодействие жесткого полосового в плане штампа с полупространством x > 0, изученным выше. Поскольку распределение контактных давлений под штампом будет зависеть от расположения штампа, изучим два случая. В первом случае полоса контакта О параллельна оси у (задача А), во втором — оси z (задача Б).
В задаче А область О описывается неравенствами |у| < да, |г| < a, а форма основания штампа — функцией f (у, z), периодической по у с периодом 2/. Штамп вдавливается силой Р, отнесенной к длине периода и приложенной на оси
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.