ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2013, том 47, № 3, с. 271-278
УДК 532+533
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ МОДЕЛИ И УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ С КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ РЕЛАКСАЦИИ
© 2013 г. А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин*
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва
polyanin@ipmnet.ru *Московский государственный машиностроительный университет
av1958@list.ru Поступила в редакцию 30.08.2012 г.
Описаны дифференциально-разностные модели и уравнения теплопроводности и диффузии с конечным временем релаксации, которые дают конечную скорость распространения возмущений. Для потока тепла используется модифицированный закон Био—Фурье с запаздыванием, который приводит к дифференциально-разностному уравнению теплопроводности
дТ dt
= aA Т,
где левая часть вычисляется при t + т (т — время релаксации), а правая часть вычисляется, как обычно, при t (без сдвига по времени). При т = 0 дифференциально-разностное уравнение теплопроводности переходит в классическое уравнение теплопроводности параболического типа; если разложить левую часть в ряд по т и удержать два главных члена разложения, то получим гиперболическое уравнение теплопроводности Каттанео—Вернотте. Получено точное решение дифференциально-разностного уравнения теплопроводности для одномерной задачи без начальных условий с произвольным периодическим граничным условием. Построено приближенное решение трехмерной начально-краевой задачи общего вида о распространении тепла с конечным временем релаксации в ограниченной области с произвольным начальным распределением тепла и граничным условием третьего рода. Показано, что дифференциально-разностная модель позволяет вывести дифференциальную модель теплопроводности типа Олдройда.
Б01: 10.7868/80040357113030081 ВВЕДЕНИЕ
Уравнение теплопроводности параболического типа. Классическая модель теплопроводности основана на законе Био—Фурье
q = -№Т, (1)
где q — поток тепла, Т — температура, X — коэффициент теплопроводности, V — оператор градиента.
В простейшем случае при отсутствии источников тепла закон сохранения энергии имеет вид
дТ
р = -divq,
dt
(2)
где t — время, р — плотность, ср — удельная теплоемкость тела (среды).
Подставив (1) в (2), получим классическое уравнение теплопроводности (см., например, [1—11]):
Уравнение теплопроводности (3) является уравнением параболического типа и обладает физически парадоксальным свойством — бесконечной скоростью распространения возмущений. Подобная ситуация не наблюдается на практике. Сказанное свидетельствует об ограниченной области применимости классического уравнения теплопроводности (1).
Указанное обстоятельство привело к необходимости разработки моделей теплопроводности, которые приводят к конечной скорости распространения возмущений.
Гиперболическое уравнение теплопроводности.
Закон Био—Фурье (1) можно "подправить" с помощью дифференциальной модели Каттанео— Вернотте [12—15]
дТ = aAT, AT = Ц + + dt дх ду dz
(3)
q = -XVt -3, dt
(4)
где х, у, г — декартовы координаты, а = X/ (рср) — коэффициент температуропроводности, А — оператор Лапласа.
где т — время релаксации (запаздывания). Модель (4) отличается от закона Био—Фурье (1) наличием дополнительного нестационарного члена, пропорционального т, и при т = 0 переходит в (1).
Использование модели (4) с учетом (2) приводит к уравнению теплопроводности гиперболического типа
д2Т , дТ Кгг т—т + — = аДТ,
(5)
дг2 дг '
которое дает конечную скорость распространения возмущений и широко используется для решения тепловых задач (см., например, [16—31]). В математической физике уравнения вида (5) называются телеграфными уравнениями [32].
Замечание 1. Аналогичная модель и гиперболическое уравнение диффузии с релаксацией получается из (4)—(5) заменой температуры Т на концентрацию С и коэффициента температуропроводности а на коэффициент диффузии Б.
Оценки теплового времени релаксации. Время релаксации т является характеристикой неравновесности процесса теплопроводности и учитывает инерционность теплового потока. Для металлов, сверхпроводников и полупроводников теоретические оценки теплового времени релаксации дают т* 10—6—10-12 с [33—36]. Столь малые значения т нужно учитывать при анализе высокоинтенсивных нестационарных процессов, время протекания которых сопоставимо с временем релаксации, например, при обработке материалов с использованием сверхкоротких лазерных импульсов и высокоскоростных электронных устройств [36—38]. К подобным процессам относятся также процессы нагревания при трении с высокой скоростью, локального нагрева при динамическом распространении трещины в околозвуковом режиме и т.п. [39, 40].
Для материалов и сред с неоднородной внутренней структурой (капиллярно-пористые тела, пасты, суспензии, порошки, газожидкостные многофазные среды, биологические субстанции, пищевые продукты, древесина и др.) время релаксации может быть значительно больше [6, 30, 41—43]. Например, в [44, 45] оценки теплового времени релаксации мясных продуктов и некоторых сыпучих сред дали значения т порядка десяти и более секунд.
Тепловая и диффузионная скорости распространения возмущений. Диффузионное время релаксации. Для простых систем, таких как смеси идеальных газов, характерное время диффузионной релаксации тБ, т.е. время установления локально-равновесных значений концентрации диффундирующего компонента, совпадает с характерным временем тепловой релаксации тТ (здесь для наглядности поставлен индекс "Т"), т.е. временем установления локально-равновесных значений температуры. Однако в системах с более сложной структурой, в частности в расплавах металлов [46, 47], тБ > тТ. В таких системах сначала устанавливается тепловое равновесие и лишь затем диффузионное. Каждой из этих стадий установления локального равновесия соответствует своя характер-
ная скорость (которая определяется исходя из гиперболического уравнения теплопроводности
(5)): диффузионная скорость УБ = (Б/ тБ)1/2 и скорость тепловой волны УТ = (а/ тТ )12. Для однородных газообразных и жидких сред приближенно можно считать, что скорость тепловой волны УТ примерно равна скорости звука. Для расплавов металлов УБ ~ 1-10 м/с и УТ~ 103-104 м/с, т.е. УБ < Ут.
Скорость распространения теплоты в воздухе примерно равна скорости звука УТ ~ 330 м/с. При распространении массы при диффузии в капиллярно-пористых телах она меньше, чем УТ примерно в 106—107 раз и ее необходимо учитывать в уравнениях массопереноса [6, с. 455].
Для диффузии в полимерах время релаксации составляет несколько секунд [48].
Приведенные примеры показывают, что тепловое и диффузионное времена релаксации могут варьироваться в очень широких пределах и должны учитываться при решении многих задач тепло- и массопереноса.
Дифференциально-разностная модель теплопроводности (диффузии). Для обоснования модели Каттанео—Вернотте (4) наиболее часто (но не всегда) используют дифференциально-разностную модель (см., например, [12, 14, 47, 49]):
q\ гТ- (6)
Здесь левая часть уравнения (6) вычисляется при г + т, где т — время релаксации, а правая часть вычисляется, как обычно, при г (нет сдвига по времени).
При т = 0 разностная модель (6) переходит в закон Био—Фурье (1). Если формально разложить левую часть (6) в ряд по т и удержать два главных члена разложения, то получим дифференциальную модель Каттанео—Вернотте (4) (это стандартное рассуждение, используемое в цитируемой выше литературе, как будет показано ниже не всегда оправдано).
Физический смысл (6) заключается в том, что процесс теплопереноса в локально-неравновесных средах обладает инерционными свойствами: система реагирует на тепловое воздействие (или тепловой поток откликается на изменение градиента температуры) не в тот же момент времени г, как в классическом локально-равновесном случае, а на время релаксации т позже.
В модели (4) и гиперболическом уравнении (5) члены пропорциональные т при т ^ 0 дают значительный вклад (по сравнению с законом Био—Фу-рье) только при малых временах г ~ т. При г ~ т однако нельзя использовать разложение (6) в ряд по т и, следовательно, нельзя вывести модель (4), исходя из (6). Очевидно также, что при конечных значениях т модели (4) и (6) существенно отличаются.
В данной работе модель (6) использована без каких-либо упрощений для получения и анализа
дифференциально-разностного уравнения теплопроводности и решения некоторых конкретных тепловых (диффузионных) задач. Проведено сопоставление результатов применения дифференциально-разностной модели с распространенными моделями теплопроводности, которые описываются параболическим и гиперболическим уравнениями (3) и (5).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ РЕЛАКСАЦИИ
Дифференциально-разностные модель и уравнение теплопроводности. В модель Каттанео—Вер-нотте (4) был введен дополнительный член по отношению к закону Био—Фурье (1), чтобы обеспечить запаздывание (релаксацию) процесса. Запаздывание в этой модели введено неявно с помощью линейного дифференциального соотношения первого порядка для потока.
Модель (6) приводит к дифференциально-разностному уравнению теплопроводности
дТ
dt
= aA T,
(7)
где П= Т (г.t + т).
Постановки начально-краевых задач. Заменив в уравнении (7) время t на t — т, преобразуем его к стандартному виду
dT = aAT
dt
(t >т)
(8)
более удобному для формулировки начально-краевых задач. Граничные условия для уравнений (7) и (8) ставятся точно так же, как и для обычного параболического уравнения теплопроводности (3) (см., например, [1—9]). Поскольку в левую часть уравнения (8) входит запаздывание, то начальное условие задается как
Т = ф(г) при 0 < t < т, (9)
где ф(г) — некоторая заданная непрерывная функция. При т = 0 условие (9) переходит в обычное начальное условие для параболического уравнения теплопроводности.
Замечание 2. Уравнение с частными производными с запаздывающим аргументом (8) можно рассматривать также с начальным условием общего вида
Т = ф(г, О при 0 < г <т, (10)
где ф(г, г) — некоторая заданная непрерывная функция, определенная на промежутке 0 < t < т. При т = 0 условие (10) пе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.