КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 4, с. 384-387
УДК 535
ДИФФУЗИОННАЯ МОДЕЛЬ РАДИАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЫСОКОЭНЕРГИЧНЫХ ПРОТОНОВ В МАГНИТОСФЕРЕ САТУРНА
© 2004 г. Ю. И. Губарь
Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына МГУ
Поступила в редакцию 12.05.2003 г.
Рассматривается простая диффузионная модель радиационных поясов Сатурна с постоянным внутренним источником и потерями частиц на границах. Предполагается, что коэффициент радиальной диффузии БЬЬ <х Ь4. Аналитическое решение уравнения стационарной диффузии удовлетворительно описывает наблюдаемые радиальные профили функции распределения высокоэнергичных протонов в магнитосфере Сатурна.
1. РАДИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫСОКОЭНЕРГИЧНЫХ ПРОТОНОВ В МАГНИТОСФЕРЕ САТУРНА
Радиальные профили функции распределения высокоэнергичных протонов с фиксированными значениями первого и второго адиабатических инвариантов, построенные по измерениям на КА Пионер-11 и Вояджер-2 в магнитосфере Сатурна, указывают на существование внутреннего источника этих частиц [1-3]. Наиболее вероятным источником считают распад нейтронов альбедо космических лучей.
Радиальный профиль протонов с магнитным моментом | = 8317 МэВ/Гс и продольным инвариантом ] ~ 0 во внутренней магнитосфере Сатурна получен в [1] по данным Пионера-11 и воспроизведен в [2] с некоторыми уточнениями. На рисунке этот профиль обозначен точками. В настоящей работе дается теоретическое описание указанного профиля, который приведен в [1-3] в качестве единственного, но показательного примера радиальных распределений высокоэнергичных протонов по измерениям на Пионере-11, достигшем оболочки Ь ~ 1.3.
Самый внутренний пик на рисунке, по описанию в [2], ограничен с внутренней стороны поглощающими объектами - кольцом ^ и двумя малыми спутниками, а с внешней стороны - двумя другими малыми спутниками. Два этих спутника ограничивают внутреннюю сторону главного, центрального пика (по классификации в [1, 2]), а Мимас ограничивает его внешнюю сторону. Имеет место частичное поглощение, связанное с кольцом О, на Ь ~ 2.83. Самый внешний пик лежит между орбитами Мимаса и Энцелада.
Кривые /(Ь), полученные в [1] для приближения Пионера-11 к Сатурну и при удалении от него, почти идентичны, что указывает на квазистационарную ситуацию в этот период в рассматриваемой области магнитосферы.
Если вычесть вклад тормозного излучения электронов в скорость счета детектора, то интенсивность протонов с Е > 80 МэВ в зазоре вблизи Ь = 2.53 и на орбите Мимаса будет практически равна нулю [1, 2]. Таким образом, в этих областях на профиле /(Ь) ненулевые значения следует заменить нулевыми.
Вычисление / в [1] было выполнено по экспериментальным данным о частицах и магнитном поле (при некоторых упрощающих предположениях). Значения / даны в условных единицах. Выбранное значение | таково, что соответствующий интервал Е заключен между 24 МэВ на Ь = = 4.1 и 125 МэВ на Ь = 2.3.
В [1] основными свойствами полученного радиального профиля считаются три максимума на Ь = = 3.37, 2.68 и 2.42, разделенные нулевыми значениями на орбите Мимаса и вблизи Ь = 2.5 и ограни-
Радиальный профиль функции распределении /. Экспериментальные точки для протонов с | = 8317 МэВ/Гс и / ~ 0 получены по данным Пионера-11 [1]. Сплошные кривые построены по формуле (12).
ченные нулевыми значениями на кольце ^ с внутренней стороны и на Ь а 4.1 с внешней стороны.
Профили /(Ь) для высокоэнергичных протонов, отражающихся вблизи магнитного экватора Сатурна, построены в [3] по измерениям на Вояд-жере-2 на Ь а 2.7. Значения ц для этих частиц находятся в интервале 4 ■ 103-2 ■ 104 МэВ/Гс. Построенные профили хорошо согласуются с профилем на рисунке: имеется пик вблизи Ь = 3.4, наблюдается сильное поглощение Мимасом, а от Мимаса к кольцу О происходит возрастание /. Профили внеэкваториальных протонов обнаруживают те же основные черты.
2. МОДЕЛЬ РАДИАЛЬНОМ ДИФФУЗИИ С ВНУТРЕННИМ ИСТОЧНИКОМ ЧАСТИЦ
Теоретическое описание наблюдаемого радиального профиля, показанного на рисунке, дадим на основе стационарного уравнения радиальной диффузии при наличии внутреннего источника:
L'dLГ 2DLLdL
df} -
-S.
(1)
Dll = DoL4
(2)
(D0 - постоянная) и с постоянным источником:
S = S0 = const. (3)
Уравнение (1) в этом случае принимает вид
где
L ^ f = - ■
к - S0/D0 > 0.
(4)
Радиальная диффузия в дипольном магнитном поле с коэффициентом Оьь (2) эквивалентна диффузии по дрейфовому действию I с постоянным коэффициентом диффузии [4]
D - D = I2 D I -ЫМ.
DII - D = tRd0, tR = Rc .
(5)
Здесь М - модуль дипольного магнитного момента планеты, а Я - ее радиус. В дипольном поле действие I связано с Ь соотношением
I = IrL1.
(6)
При замене переменной Ь на I по формуле (6) из уравнения (4) получаем уравнение
Функция распределения / равна плотности числа частиц в фазовом пространстве, усредненной по угловым переменным. В теории радиальной диффузии предполагается сохранение первого и второго адиабатических инвариантов. Поэтому в уравнении (1) / является функцией распределения частиц с постоянными значениями этих инвариантов. БЬЬ - коэффициент радиальной диффузии (диффузии по координате Ь), 5 - интенсивность источника.
Уравнение (1) рассматривается в некотором интервале ЬтЬ < Ь < Ьтах, на концах которого должны быть заданы граничные условия.
На основе качественного анализа решений уравнения стационарной диффузии с внутренними источниками и потерями в [1] сделан вывод о том, что полученное по экспериментальным данным радиальное распределение (см. рисунок) убедительно свидетельствует о наличии внутреннего источника высокоэнергичных протонов в магнитосфере Сатурна. Кроме того, можно считать установленным, что Мимас, кольцо ^ и спутники вблизи Ь = 2.5 эффективно поглощают такие частицы, а на Ь а 4.1 существуют потери или заметно уменьшается интенсивность источника и/или существенно увеличивается значение коэффициента радиальной диффузии.
В настоящей работе получено аналитическое описание радиального профиля / посредством решения уравнения (1) с коэффициентом диффузии вида
df =
dI2
-к, к = —-
к S0
Ir2 IRD0
> 0,
(7)
которое рассматривается в интервале !тЬ < I <
< Imax, причем 0 < 1т1п = ^^ах , 1тах = ^т^п <
Параметр к является постоянным.
Общее решение уравнения (7) представляет собой квадратный трехчлен
/(I) = (II2 + ы+а. (8)
Здесь а = -к/2, а постоянные Ь и а могут быть найдены из граничных условий. Если, например,
Л^п) = Л^ах) = 0, (9)
то
-b ±7b2-4ad
2 a
(10)
4ad - b
Введем обозначения 4 = - — = - , /р =
2 а К 4а
запишем функцию распределения (8) в виде
/=/р + ((I - !р)2. (11)
Поскольку а < 0, то /р - максимальное значение /, ^ - положение максимума по координате I. Графиком функции распределения (11) является часть параболы (от точки с абсциссой !тЬ до точки с I = !тах) с вершиной в точке (!р,/р). Ось симметрии параболы параллельна оси /, а ее ветви направлены вниз.
mm. max
386
ГУБАРЬ
Вернемся от I к Ь по формуле (6). Из (11) находим следующую радиальную зависимость функции распределения:
(ЬР - Ь^2 / = /р + ^^
(12)
где а = а12к = -к = --^0-. Формула (12) содержит
2 2 Б 0
три параметра: /р, Ьр и а. Радиальный профиль ДЬ), описываемый формулой (12), изображается частью (в интервале Ьтп < Ь < Ьтах) кривой третьего порядка (см., например, [5]). При Ь > 0 и й < 0 функция /(Ь) имеет максимум, положение которого дается значением Ьр, а значение функции в максимуме равно /р. Если граничные значения / нулевые, то
/
шт. тах
= 2 ь
(-Ь ±4ЬГ-4ай)
(13)
3. СРАВНЕНИЕ МОДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НАБЛЮДАЕМЫМ РАДИАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ВЫСОКОЭНЕРГИЧНЫХ ПРОТОНОВ В МАГНИТОСФЕРЕ САТУРНА
Функция распределения (12) качественно описывает наблюдаемые радиальные профили, представленные на рисунке. Проведем количественное сравнение.
Подбираем значения параметров Ьр, /р и а в (12). Тем самым решаем своего рода обратную задачу: по известной из наблюдений функции /(Ь) находим параметр а, а также границы интервала с соответствующими граничными значениями. В случае нулевых граничных условий Ьт^ тах выражаются через а, Ь и й формулой (13). При ненулевых граничных условиях более сложные выражения можно получить из формулы (12).
Начнем с самого внутреннего пояса, для которого / практически обращается в нуль на кольце ^ и вблизи Ь = 2.5. Согласно [1], Ьр = 2.42. Экспериментальное значение /р = 3 (в условных единицах, принятых в [1]). Взяв эти значения Ьр и /р и положив, что внешняя граница по Ь, на которой / = 0, равна, в согласии с наблюдениями, Ь = 2.5, получаем с помощью формулы (12) а = -1.7 ■ 104. Найденное значение а удовлетворяет сильному неравенству |а| > /р, которое связано с неравенством Ьр -
Ьш1ах ^ 1. Из формулы (12) с данными параметрами определяем положение внутренней границы ДЬ^л) = 0. Получаем ¿т)п = 2.34. Полученное таким образом распределение можно рассматривать как решение краевой задачи с указанными границами и нулевыми граничными условиями.
Рассмотрим следующий пик. Разделяем его на два - по обе стороны от кольца О. Для внешней границы первого из этих поясов возьмем Ь = 2.83, где наблюдается частичное поглощение. Как и в предыдущем случае, значения Ьр и/р берем такие, при которых теоретический и экспериментальный максимумы / совпадают: Ьр = 2.68, /р = 19.8. Положение внутренней границы с нулевым значением / примем равным ЬтЬ = 2.58. При этом а = -9.47 ■ 104. Это значение почти на порядок выше, чем для самого внутреннего пояса в соответствии с тем, что значения/ для двух пиков различаются примерно на порядок величины. Неуниверсальность параметра а означает, что Б0 и/или ¿0 меняются при переходе от первого пояса ко второму.
Третий пик определяем как имеющий в качестве внутренней границы Ь = 2.83, где находится локальный минимум /. Максимум теоретической кривой совмещаем с наблюдаемым максимумом, что дает значения Ьр = 2.88 и / = 9.12. Внешняя граница этого пояса, на которой / = 0, проходит на орбите Мимаса вблизи Ь = 3.1. Взяв Ьтах = 3.07, получаем а = -1.98 ■ 104, что близко к значению а для самого внутреннего пояса. Таким образом, для этих двух поясов
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.