КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2013, том 75, № 4, с. 538-540
КРАТКИЕ ^^^^^^^^^^^^^^ СООБЩЕНИЯ
УДК 541.182.213:621.928.95
ДИФФУЗИОННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗМЕРОВ ВЗВЕШЕННЫХ В ГАЗЕ НАНОЧАСТИЦ
© 2013 г. И. Б. Стечкина, А. А. Кирш
НИЦ "Курчатовский институт" 123182 Москва, пл. Академика Курчатова, 1 Поступила в редакцию 26.11.2012 г.
Рассмотрено диффузионное осаждение взвешенных в газе частиц в диффузионных батареях, состоящих из цилиндрических волокон. Принимается, что спектр размеров частиц описывается логарифмически нормальным распределением. Аналитически показано, что кривые зависимости коэффициента проскока частиц с одинаковым среднегеометрическим размером, но с разной степенью полидисперсности, от параметров диффузионной батареи и скорости течения, пересекаются практически в одной точке. Показано также, что при малых размерах наночастиц г (порядка единиц нанометра), когда коэффициент диффузии В ~ г-2, точка пересечения соответствует коэффициенту проскока, равному примерно 0.37. Полученные результаты согласуются с численными данными.
Б01: 10.7868/80023291213040137
1. Диффузионный поточный метод определения размеров взвешенных в газе наночастиц с помощью диффузионных батарей (ДБ) много лет используется в аэрозольной практике. Этот метод стал особенно широко применяться в связи с развитием нанотехнологий. История метода насчитывает целое столетие. Еще Таундсенд определял этим методом диффузионную подвижность ионов. Суть метода состоит в измерении коэффициента проскока (далее — проскока) — доли частиц, прошедших через так называемые диффузионные батареи, в качестве которых вначале использовались цилиндрические трубки. Для таких систем была получена формула, связывающая проскок частиц с расходом газа, диаметром трубки и коэффициентом диффузии частиц. По найденной величине коэффициента диффузии определялся размер сферической частицы по формуле Милли-кена—Каннингема [1]. Затем формула для проскока частиц была получена для щелевых батарей, причем, как и в случае трубок, формула была выведена для установившегося течения, и применять обе формулы можно было только при малых расходах, когда длина входного участка, на котором устанавливается пуазейлевский профиль течения, была много меньше длины ДБ. Для очень мелких частиц это было не совсем удобно. Но метод получил распространение благодаря простоте и доступности, а также работе [2], в которой было показано, что для логнормального распределения частиц по размерам кривые зависимости проскоков, рассчитанных для аэрозолей с разной степенью полидисперсности частиц, в зависимости от параметра, включающего характеристики бата-
реи и скорость течения через нее, пересекаются почти в одной точке, близкой к n/n0 ~ 0.41, где n0 — концентрация частиц на входе, n — на выходе из ДБ.
Чтобы исключить влияние входного эффекта, авторы данного сообщения предложили в качестве ДБ использовать так называемый "веерный" модельный фильтр [3], составленный из слоев параллельных волокон, повернутых друг относительно друга на произвольный угол. Осаждение наночастиц в "веерном" модельном фильтре не зависит от угла поворота, а в случае высокопористых модельных фильтров не зависит и от плотности упаковки. Эти ДБ позволили расширить диапазон размеров изучаемых частиц как в меньшую сторону — за счет исключения входного эффекта, так и в большую — путем снижении скорости за счет увеличения площади ДБ (для щелевых батарей уменьшение скорости за счет уменьшения расхода методически неудобно). Для веерной модели была установлена простая зависимость проскока монодисперсных частиц радиуса r от скорости течения U, коэффициента диффузии частиц D и от параметров ДБ [4]:
л/ло = F(r) = exp(-sn). (1)
Здесь s = 2aH/na, а — плотность упаковки, Н — толщина фильтра, а — радиус волокна, п — коэффициент захвата частиц, равный
П = 2.7Pe-2/3, (2)
где Pe = 2aU/D — диффузионное число Пекле. В случае высокопористых моделей при а < 1 зависимость (2) выполняется при больших и промежуточных значениях Ре, вплоть до Ре, равных не-
ДИФФУЗИОННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗМЕРОВ
539
скольким единицам. Позднее численным методом было показано что, как и в случае щелевых ДБ, кривые проскока для полидисперсных аэрозолей в зависимости от параметра ДБ также пересекаются примерно в одной точке (п/п0 = 0.37) [5].
Диффузионный метод, основанный на использовании формул (1) и (2), на протяжении трех десятилетий применяется для анализа дисперсности атмосферных аэрозолей [6], при исследовании аэрозолей субнанометрового диапазона, таких как дочерние продукты распада радона [7], для характеристики наночастиц в технологических газах, например, гигроскопических и химически активных, размер которых другими методами трудно определить. При этом для характеристики спектра размеров частиц аэрозолей часто используется логнормальное распределение, для которого, как показано ниже, кривые проскоков полидисперсных частиц пересекаются почти в одной точке, причем эту область (точку) пересечения кривых проскока частиц с разной полидисперсностью можно оценить аналитически. Этот результат можно использовать для разных задач физико-химической гидродинамики, включая определение диффузионной подвижности молекулярных примесей в газах и т.д.
2. Рассмотрим проскок через ДБ полидисперсных частиц. Примем, что спектр размеров частиц описывается логарифмически нормальным распределением
Дг)йг =
1
Т2П 1п р
-ехр
^ (1п г - 1п г^2^ 21п2 РЕ
й 1п г, (3)
=Г
0.5
] Г(х, Гg)e
•ух
йх,
(4)
где х = 1п(г/гй), г = г%вх, Г(х,г%) = ехр[—п(г8ех— проскок монодисперсных частиц с радиусом г, п — коэффициент захвата. Так как у > 1, то подынтегральная функция в формуле (4) отлична от нуля только в небольшой области в окрестности х = 0. Поэтому для оценки интеграла воспользуемся методом асимптотического разложения [8]. Разложим функцию ¥(х, гё) около точки х = 0 и, проинтегрировав, получим следующее выражение:
п_
По 0.6
2 3
9 10 5
Зависимости проскока полидисперсных частиц с = 13 нм от параметра 5, рассчитанные для разных значений у: 1 — монодисперсные частицы, 2 — у = 11.6, 3 — у = 2.04, 4 — у = 1.
/■ \ п
V п0 У р
= Гг +■
+ г„
тЛ
д Г
дг
(5)
,(-)
4у [\дг/
Воспользовавшись формулой (1) для проскока монодисперсных аэрозолей, окончательно получим
где гъ — среднегеометрический радиус частиц, Рй — стандартное геометрическое отклонение. В случае логнормального распределения частиц по размерам средний радиус рассчитывается по формуле: (г) = г§ехр(0.51п2р§). Полагаем также, что степень полидисперсности частиц невелика, 1п Рй < <0.4, и параметр у = (21п2Рй)—1 > 1. Используя уравнение (1), проскок через ДБ полидисперсных частиц с функцией распределения, определяемой соотношением (3), можно представить в виде
/ л п
V п0 У р
/ л п
Vп0 У г=г.
1 + -
гл
4у
■ + -
дг \дг
' дг
(6)
Выражение в фигурных скобках обращается в ноль в одной точке, если функция п(г) монотонна (и в двух точках, если п (г) имеет минимум (максимум)). В этой точке пересекаются все кривые проскока для полидисперсных аэрозолей, и, следовательно, в этой точке можно определять г% с минимальной ошибкой (рисунок). В действительности, кривые пересекаются не точно в одной и той же точке, а приближенно, так как в формуле (4) мы пренебрегли следующими членами разложения. Уравнение
дц
- г„ 5
д 2П п
+ геТТ = 0 дг
(7)
(дп)
дг 6 \дг)
определяет связь между гъ и параметром 5 для точки пересечения кривых проскока. Определив гъ из этого уравнения, можно найти проскок частиц, соответствующий точке пересечения. Для случая простой зависимости п = Аг& из уравнения (7) легко получить, что яАгР = 1, и проскок частиц, соответствующий точке пересечения, будет равен
6
4
5
7
8
КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ том 75 № 4 2013
540
СТЕЧКИНА, КИРШ
Значения г%, рассчитанные по уравнению (7), и соответствующие коэффициенты проскока
F (rri) - F(rg) = (dF) 5.
\dr) г=r„
s 4.24 8.49 12.73 25.47
rg, мкм 0.013 0.022 0.030 0.052
F(rg) 0.357 0.348 0.340 0.321
F(rgl) - F(rg) = ^ ídF + r„^
(8)
Так как гё1 мало отличается от г%, то в формулах (8) и (9) во всех производных подставим измеренное г&1 вместо г%. Окончательно имеем
= ГЙ \dL + r dF 1 lídL
п/п0 = 0.37, вне зависимости от значений в, А и г%. Однако заметим, что зависимость п(г) не обязательно сводится к простой степенной, и точка пересечения кривых может несколько смещаться.
3. В качестве примера рассмотрим ДБ, представляющую собой веерный модельный фильтр, коэффициент захвата для которого определяется формулой (2). Результаты расчета показывают, что проскок в точке пересечения кривых тем больше отличается от 0.37, чем больше г, что и должно быть, поскольку только при очень малых г коэффициент диффузии В ~ г-2, а при увеличении радиуса эта зависимость отклоняется от степенной. Ниже приведена таблица, полученная численным определением г% как решения уравнения (7) для заданных значений ж, рассчитанных для следующих параметров фильтра: а = 15 мкм, а = 0.05, Н = 2000, 4000, 6000 и 12000 мкм. При решении уравнения (7) для вычисления п(г) (при скорости и = 1 см/с) использовалась формула (2), а для вычисления коэффициента диффузии В(г) — формула Милликена—Каннингема [1].
На рисунке представлено семейство кривых проскока, рассчитанных для частиц с одинаковым г% и разным значением Рй, откуда видно, что кривые действительно пересекаются в области, близкой к п/п0 = 0.37 (только кривая для самых полидисперсных частиц пересекает семейство кривых выше). Таким образом, при измерении среднегеометрического размера частиц с помощью ДБ типа веерного фильтра (сеток или слоев волокон) следует подбирать параметры ДБ или скорость так, чтобы проскок частиц был равен примерно 0.37, при этом ошибка в определении г% будет минимальной.
В случае, когда измеренное значение проскока не соответствует точке пересечения кривых проскока, но при этом и не очень сильно отличается от п/п0 = 0.37, можно оценить ошибку в определении г%. Для этого по экспериментально найденному проскоку частиц п/п0 = Е(гё1) находим г%ъ где Е(гё1) — проскок монодисперсных частиц с радиусом г%1. Если п/п0 Ф 0.37, то найденный ра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.