ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 3, с. 350-351
УДК 539.2172:66.084
ДИФФУЗИЯ В ИСКРИВЛЕННЫХ КАПИЛЛЯРАХ
© 2009 г. Ю. И. Бабенко, Е. В. Иванов*
Российский научный центр "Прикладная химия", Санкт-Петербург *Санкт-Петербургская химико-фармацевтическая академия babenko@npd.ioffe.ru Поступила в редакцию 12.12.2007 г.
Исследуется процесс диффузии в плоском капилляре, ограниченном дугами концентрических окружностей. Поток вещества в криволинейном капилляре оказывается большим, нежели в прямолинейном канале такой же длины. Однако для поровых структур, встречающихся на практике, это различие оказывается незначительным.
Многочисленные математические модели, описывающие процесс переноса в поровых структурах используют предположение о прямолинейности капилляров, в том числе и ветвящихся (см., например, [1-4]). Однако в реальных условиях капилляры являются многократно искривленными, и до настоящего времени оставалось неясным насколько корректно использование "прямолинейного" приближения. Настоящая работа в значительной мере дает ответ на поставленный вопрос.
Искривленный капилляр. Рассмотрим плоский капилляр, ограниченный дугами концентрических окружностей с радиусами а и Ь (Ь > а). Поместим начало полярной системы координат г, ф в центр указанных окружностей. Положим, что концентрация диффундирующего вещества у входного отверстия (ф = 0) на отрезке г е [а, Ь] поддерживается постоянной и равной С0. У выходного отверстия (ф = Ф) концентрация равна нулю для г е [а, Ь]. Вещество не проникает через стенки г = а и г = Ь. Требуется найти полный диффузионный поток через сечение ф = 0. Данной постановке соответствует следующая математическая модель:
1 _э гдс = 0
г дг дг г2 дф2 С = С(г, ф), г е [а, Ь], фе [0, Ф], С(г, 0) = Со, С(г, Ф) = 0,
дС д г
дС дг
= 0.
(1)
(2)
г = Ь
Система (1), (2) имеет точное решение
С = ЧФJ, (3)
| чем можно убедиться прямой подстановкой.
Локальный диффузионный поток чс через отрезок г е [а, Ь], ф = 0, согласно (3), дается формулой
чс = -р
1 дС г Эф
ф = 0
С Р1 Ф г.
(4)
Полный диффузионный поток через указанный отрезок получается интегрированием выражения
(4):
Ос = | Чс (г) dr =
С0 ш ь.
Ф а
(5)
Удобно ввести в рассмотрение величину Н = Ь - а (ширина капилляра). Тогда из (5) находим
Ос = Со - (1+Н
с0 р
Ф
Н 1 (НЛ2 1(Н
(6)
а 21 а
3 V а
Сравним найденное выражение с таковым для прямолинейного канала, имеющего длину I = (а + + Ь)Ф/2. Локальный диффузионный поток ^ в сечении х = 0 равен
пд С
^ = -Р дХ
х = 0
Со
I
2С о Р (а + Ь) Ф.
(7)
Для полного потока имеем выражение
Qd = |qddy =
2СРЬ - а 2С0Р Н
Ф а + Ь
Ф 2а + Н
(8)
С0 Р
Ф
Н 1(НЛ2 1(Н
а 2 V а
4 V а
Сопоставление (8) и (6) показывает, что в криволинейном канале диффузионный поток больше,
ь
а
Ь
а
ДИФФУЗИЯ В ИСКРИВЛЕННЫХ КАПИЛЛЯРАХ
351
нежели в прямолинейном. Отношение потоков дается формулой
Q
Qd
ln ( 1 + £ ) е/(1 + £/2)
1 ° 1 + 12' £ =
(9)
Видно, что для поровых структур, встречающихся на практике, различие между потоками незначительно. Даже в случае Н = а погрешность при расчете по формуле прямолинейного канала составляет всего 8.3%. Для £ < 1/2 она становится пренебрежимо малой.
Трехмерный случай. Положим, что искривленный капилляр имеет прямоугольное сечение. Диффузионная задача становится трехмерной. В урав-
д2С
нение (1) следует добавить слагаемое —т, а :
dz
си-
стему (2) условие
дС
dz
= 0. При этом
г = ± с/2
решение (3) и последующие рассуждения сохраняют силу, в том числе и оценка (9).
Нестационарный случай. Положим, что первоначально вещество в капилляре отсутствует. В момент времени г = 0 концентрация на границе ф = 0 возрастает скачком до величины С0, а у границы ф = Ф в течение всего процесса поддерживается равной нулю. Очевидно, что при достаточно малых временах искривленность канала не оказывает влияния на скорость процесса, иначе говоря 0,с/0,л = 1. В последующие моменты времени 0,с/0,л > 1, однако в силу монотонной зависимости решений уравнения параболического типа с постоянными коэффициентами от времени, эта величина не может превысить значения, даваемого формулой (9). Таким образом, и в нестационарном случае выражение (9) позволяет оценить максимально возможную погрешность при расчете по формулам прямолинейного канала.
Дважды искривленная пора. Рассмотрим 8-об-разный капилляр. Возникает естественный вопрос -как изгиб в "другую сторону" скажется на увеличении диффузионного потока по сравнению с прямолинейным капилляром. Качественное рассмотрение удобно выполнить на примере вырожденной конфигурации, описанной ниже. Вообразим однократно изогнутый капилляр Ф = п/2 ("колено") с радиусом внутренней стенки а —► 0. Согласно (5), для такого капилляра Qc —«- <». (Этот результат не является парадоксальным, так как в точке 0 входное и выходное отверстия совпадают.) Присоединим к этому капилляру такой же, но изогнутый в "обратную сторону". В данном (составном) канале диффузионный поток является конечной величиной и по порядку величины равен Qc ~ С0ВЪ/Ъ = С00. Отсюда следует, что
разворот капилляра в "обратную сторону" уменьшает диффузионный поток. Поэтому оценка (9) становится завышенной.
Таким образом, показано, что в самых разнообразных условиях, встречающихся на практике, использование для капиллярно-пористых сред приближения прямолинейного канала является правомерным.
ОБОЗНАЧЕНИЯ a - радиус внутренней стенки капилляра, м; b - радиус внешней стенки капилляра, м; С - концентрация, кг/м3; c - толщина канала в направлении оси z, м; D - коэффициент диффузии, м2/с; h - ширина канала, м; l - длина прямолинейного канала, м; Q - полный поток вещества через входное сечение капилляра, кг/(м с);
q - локальный поток вещества через входное сечение капилляра, кг/(м2 с); r - радиальная координата, м; t - время, с;
х, y, z - декартовы координаты, м; е - отношение ширины канала к радиусу внутренней стенки капилляра;
Ф - угловая координата выходного сечения капилляра;
ф - угловая координата.
ИНДЕКСЫ
0 - относящийся к входному сечению капилляра; c - относящийся к криволинейному капилляру; d - относящийся к прямолинейному капилляру.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акселъруд Г.А., Лысянский В.М. Экстрагирование (система твердое тело-жидкость). М.: Химия, 1974.
2. Акселъруд Г.А., Алътшуллер М.А. Введение в капиллярно-пористую технологию. М.: Химия, 1983.
3. Абиев Р.Ш., Островский Г.М. Моделирование процесса экстрагирования из капиллярно-пористой частицы с бидисперсной структурой // Теорет. основы хим. технологии. 2001. Т. 35. № 3. С. 270.
4. Бабенко Ю.И., Иванов Е В. Математическая модель экстрагирования из тела с бидисперсной пористой структурой // Теорет. основы хим. технологии. 2005. Т. 39. № 6. С. 644.
2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ том 43 < 3 2009
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.