РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 1, с. 23-30
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.371.333;537.874.6
ДИФРАКЦИЯ МОДЫ ПЛАНАРНОГО ВОЛНОВОДА ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛА НА ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ЭКРАНЕ, РАСПОЛОЖЕННОМ ВБЛИЗИ ВОЛНОВОДА © 2015 г. Х. Т. Алероева, С. А. Маненков
Московский технический университет связи и информатики Российская Федерация, 111250, Москва, ул. Авиамоторная, 8а E-mail: mail44471@mail.ru Поступила в редакцию 09.12.2013 г.
При помощи метода продолженных граничных условий решена двумерная задача дифракции симметричной моды плоского волновода из метаматериала на цилиндрическом экране, расположенном вблизи волноведущего слоя. Метод проиллюстрирован на примере дифракции на экране в виде ленты и на экране параболической формы. Получены угловые зависимости диаграммы рассеяния, а также зависимости коэффициентов отражения и прохождения моды от нормированной ширины слоя.
Б01: 10.7868/80033849414100015
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время представляет большой интерес исследование дифракции электромагнитных волн на препятствиях, расположенных в средах, имеющих отрицательный коэффициент преломления, т.е. в метаматериалах. Как известно, при распространении волн в волноводах из метаматериала в данных структурах существуют так называемые прямые и обратные волны [1]. У прямых волн вектор Умова—Пойнтинга и вектор распространения моды направлены в одну и ту же сторону, а у обратных волн — в разные стороны.
В данной работе рассмотрена двумерная задача дифракции моды плоского волновода на идеально проводящем экране, расположенном вблизи волновода. Предполагается, что волновод состоит из плоского волноведущего слоя из метаматериала, окруженного одинаковыми диэлектрическими полупространствами. В качестве падающего поля рассматривалась симметричная мода низшего типа, распространяющаяся в исследуемой структуре [1]. В основе решения задачи лежит метод продолженных граничных условий (МПГУ), который предложен в [2]. Основная идея метода состоит в том, что граничное условие краевой задачи "переносится" на вспомогательную поверхность, расположенную на небольшом расстоянии от исходной поверхности в области, где определяется поле. При использовании функции Грина (ФГ) слоистого волновода задача сведена к решению интегрального уравнения 1-го рода относительно искомой функции (тока) с гладким ядром.
В работах [2—5] для решения соответствующего интегрального уравнения применен метод кол-локации, при этом искомый ток разлагается либо по кусочно-постоянным функциям, либо по базису, состоящему из сплайновых функций или вейвлетов. В данной работе также использован метод коллокации, причем неизвестные функции разлагаются по базису из кусочно-постоянных функций. Существенной особенностью рассматриваемой задачи дифракции является то обстоятельство, что в данном случае приходится учитывать слоистый характер среды. В такой ситуации в методе коллокации (при любом выборе базиса) возникает необходимость вычислять двойные интегралы. Это обусловлено видом ФГ для плоскослоистой среды. С целью ускорения работы численного алгоритма ФГ разбивали на два слагаемых, одно из которых представляет собой ФГ однородного пространства, а второе обусловлено наличием волновода. Двойные интегралы, упомянутые выше, обусловлены вторым слагаемым ФГ, которое является достаточно медленно меняющейся функцией координат. При интегрировании интегрального слагаемого ФГ можно использовать более грубую аппроксимацию; например, применять формулу Гаусса с небольшим числом узлов или использовать формулу прямоугольников. При нахождении ФГ возникает также проблема интегрирования в окрестности полюсов. Для преодоления указанной трудности применяли метод, основанный на выделении особенностей подынтегрального выражения ФГ, с последующим численным интегрированием гладкой функции.
(а) N
к2 2ё
/
(б)
у
у = —ё
Предполагаем, что полное поле вне поверхности Б экрана удовлетворяет уравнениям Гельм-
гольца с волновыми числами к1 = к^е^ и
к2 = к^б2ц2 (при этом Яе к2 < 0) среды вне и внутри слоя. Здесь к — волновое число в вакууме. Всюду в дальнейшем будем считать, что |к2| > к1. На верхней границе слоя волновое поле удовлетворяет условиям сопряжения, которые, имеют вид
и\ о = и\ 1 Ш
|у=+0 1у=-0 и
у=+0
1 йЕ
И 2 ду
(1)
у=-0
а на нижней (как было указано выше) поле удовлетворяет условию Неймана
ди
ду
= 0.
(2)
у=-й
На поверхности экрана Б выполнено условию Дирихле:
и\8 =
(3)
Рис. 1. Геометрия задачи.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим математическую постановку задачи. Пусть бесконечная незамкнутая цилиндрическая поверхность Б (экран) расположена симметрично в верхнем и нижнем полупространствах вне плоского слоя толщиной 2ё (рис. 1а). Предполагаем, что характеристики окружающей слой среды равны е1; а внутри слоя — б2, ц2, причем последние две величины могут быть отрицательными. В качестве первичного поля выберем низшую четную моду плоского волновода (см. ниже). С целью уменьшения объема вычислений будем рассматривать только полупространство, расположенное над серединой волновода. В этом случае на плоскости, проходящей через ось симметрии волновода, необходимо поставить условие Неймана для полного поля. Введем систему координат так, как показано на рис. 1б. Ось г направлена вдоль образующей цилиндрической поверхности. В силу того, что задача двумерная, можно рассмотреть отдельно случаи Е- и Н-поляриза-ции. В дальнейшем будем рассматривать только случай Е-поляризации.
В формулах (1)—(3) и = и0 + и1, причем и1 — вторичное (рассеянное) поле, а падающее поле и0 определяется по формуле [1]
Е0 _ и 0(х, у) _ _ Гсо8(р2(у + й)) ехр(-/рх), -й < у < 0, (4) |со8(р2й)ехр(-р1у - /рх), у > 0,
где р2 = ^к2 - Р2, Р1 = л/р2 - к]2. В формуле (4) Р — постоянная распространения моды, которая удовлетворяет дисперсионному уравнению [1]
Р2й Ч(Р2й) = ^21 Рй, и21 = И2/^1. (5)
При этом в случае, если в среде есть потери, знак мнимой части Р отрицателен, а действительная часть может быть любого знака (для прямой или обратной волн). Заметим, что в рассматриваемой структуре, вообще говоря, также могут распространяться высшие моды дискретного спектра (см. ниже). Кроме указанных граничных условий, вторичное поле удовлетворяет условию излучения на бесконечности:
НшЕ 1 = 0, 1т к1, к2 < 0.
(6)
2. ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Получим интегральное уравнение относительно неизвестного тока на поверхности экрана. Будем искать решение рассматриваемой задачи в виде
и (Г) = и °(г) + Г)КГ)йё.
(7)
В формуле (7) Л?') — неизвестный ток на поверхности Б, О — ФГ рассматриваемой слоистой сре-
к
1
к
1
к
х
2
Л
ды. Нетрудно показать, что ФГ вне волноведуще-го слоя имеет следующий вид [6]:
0(х, у, х\ У) = 00(х, у, х', У) + 0](х, у, х', у) (8)
где
G
,(x,y,x\y') = 4h02) (k^ix - xf + (y - yf), (9)
Gi(x, y, x, y') =
= f f R(k)exp(-/Yi(y + y') - ik(x - x'))dk.
4n y,
d k (10)
R(k)
(11)
x -
yS
í
2 , .2 x + y
y6 = y +
xs
(14)
í
• 2 .2
x + y
где 8 — малый положительный параметр. Точка означает дифференцирование по параметру. Далее вводим сетку на интервале [0, г0]:
тn = (n - 0.5)n = 1,2,...,N. N
(15)
4к ^ у1
—от
В этих формулах введены следующие обозначения:
Н21У1 +1 у 2^) У1 =7£]_2 - к2, у2 =л[к[—К, (12)
причем 1ту1 < 0 при|к| > к1, 1ту2 < 0 при|к| > |к2|. Таким образом, в (8) мы выделили ФГ свободного пространства с параметрами б1, Добавочная ФГ обусловлена наличием границ раздела сред. Отметим, что функция Я(к) в формулах (10) и (11) представляет собой коэффициент отражения плоской волны от волноведущего слоя.
В соответствии с МПГУ подставим далее формулу (7) в граничное условие (3), которое будем считать выполненным на вспомогательной поверхности 55, расположенной на небольшом расстоянии от поверхности S экрана. В результате получим следующее интегральное уравнение:
Г')](?'№ = -иV), Г е 58. (13)
Заметим, что рассматриваемая задача дифракции сведена к нахождению неизвестного тока лишь на границе экрана, так как записанное выше выражение для поля удовлетворяет аналитически граничным условиям на верхней и нижней границах волноведущего слоя и условию на бесконечности. Таким образом, имеется выигрыш в объеме вычислений.
3. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Интегральное уравнение (13) решали числен-
но при помощи метода коллокации. Для этого
уравнение контура экрана задавали в параметри-
ческой форме х = х(г), у = у (г), г е [0, г0]. Уравнения
вспомогательного контура имеют вид [5]
Неизвестную функцию разлагаем по базису из кусочно-постоянных функций. Тогда в результате стандартной процедуры получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов е„:
N
Y
A c — h
m = 1,2,..., N,
(16)
n=1
в которой
Tn+h 2
Amn = J G(xs(Tm), y8(Tm), x(t), y(t))dt, (17)
тп-Н/2
hm = -U °(x5(Xm), y8(x„)), h = -0
N
(18)
Рассмотрим подробнее вопрос о численном нахождении ФГ волновода. Как видно из формулы (10), добавочная часть ФГ выражена в виде несобственного интеграла от функции, содержащей различные особенности на комплексной плоскости переменной к. В частности, подынтегральное выражение имеет полюсы, соответствующие собственным модам плоского волновода. При отсутствии поглощения в средах полюсы расположены непосредственно на действительной оси (в этом случае собственные волны распространяются без затухания). Кроме того, имеется медленная сходимость интеграла в формуле (10) на бесконечности, если точка наблюдения и точка источника расположены вблизи верхней границы слоя. Таким образом, формула (10) не может быть непосредственно применена для вычисления добавочной ФГ. Для преодоления трудностей, связанных с вычислением интеграла в (10), в нем была проведена замена переменной по формуле к = k1 sin у. В результате замены, используя четность подынтегральной функции, получаем
G(x, y, x, y') = 4(H02) (W(x - x)2 + (y - y')2) + + ^H02) ((x - x')2 + (y + y)2)) +
П 2+to
(19)
^ Г (R(y) - R,) exp(-ik1(y + y') cos y) x 2n J
x cos(k1(x - x')sin y)dy,
где R^ = ^—1. В формуле (19) выделено слагае-
Ц 21 +1
мое, являющееся резу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.