ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 73. Вып. 3, 2009
УДК 539.3:534.26
© 2009 г. Н. В. Ларин, Л. А. Толоконников
ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ НА НЕОДНОРОДНОМ ТЕРМОУПРУГОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СЛОЕ,
ГРАНИЧАЩИМ С НЕВЯЗКИМИ ТЕПЛОПРОВОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ
Рассматривается дифракция звука на радиально-слоистой изотропной термоупругой цилиндрической оболочке. Система уравнений для малых возмущений полого термоупругого цилиндра сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, краевая задача для которой решена методом сплайн-коллокации. Получены выражения, описывающие волновые поля вне цилиндрического слоя. Представлены результаты расчетов полярных диаграмм направленности амплитуды рассеянного звукового поля в дальней зоне.
Задача дифракции акустической волны на изотропном неоднородном твердом цилиндрическом теле решена ранее [1]. Исследовано рассеяние плоской монохроматической звуковой волны трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем [2]. Найдено решение задачи дифракции плоских звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в общем случае цилиндрической анизотропии [3]. Во всех указанных работах тепловые процессы в упругих неоднородных телах не учитывались.
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечный изотропный неоднородный термоупругий полый круговой цилиндр с внешним радиусом г1 и внутренним r2, имеющий в невозмущенном состоянии постоянную температуру T0. Источники тепла в цилиндрическом слое отсутствуют. Цилиндрическая система координат r, ф, г выбрана таким образом, что координатная ось г является осью вращения цилиндра. Модули упругости, температурный коэффициент линейного расширения и коэффициент теплопроводности материала слоя описываются дифференцируемыми функциями координаты r. Плотность материала слоя и его объемная теплоемкость описываются непрерывными функциями координаты r. Полагаем, что жидкость, окружающая цилиндрическую оболочку, жидкость, находящаяся в полости, - невязкие, теплопроводные, однородные и имеют температуру T0, плотности р1, р2 и скорости звука с1, c2 соответственно.
Пусть из внешнего пространства на термоупругий цилиндр наклонно падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой равен
= Л{exp[i(knr - юг)]
где Ai - амплитуда падающей волны, k11 - волновой вектор, r - радиус - вектор, ю -круговая частота. Временной множитель exp(-irat) в дальнейшем опускаем. Без ограничения общности полагаем, что вектор k11 лежит в плоскости ф = 0, п.
В цилиндрической системе координат потенциал падающей волны представим в виде [4]
= exp(ikznг) £ nmJm(krn r) cosтф (1.1)
m = 0
где к-п = кпео80о и кгп = кп8ш0о - проекции волнового вектора кп на оси г и г соответственно, к11 - волновое число звуковых волн в окружающей жидкости, 0о - угол между вектором к11 и осью г, Цт = А;(2 - 50т)гт, 50т - символ Кронекера, /ш(х) - цилиндрическая функция Бесселя порядка т.
Определим отраженные от цилиндра и возбужденные в полости волны, а также найдем поля смещений и температуры в термоупругом цилиндрическом слое.
2. Уравнения волновых полей. Малые возмущения изотропного термоупругого цилиндрического слоя описываются общими уравнениями движения сплошной среды [5] в цилиндрической системе координат
Эогг 1 Эог ф Эа 1
ИТ + "г "эф + иг + Г (а"- афф} = р иг
д_а_Ф+1 дафф+э-а-г+2 агф=ри-ф (2.1)
дг г Эф Э- г гф ф
Э агг 1Э афг Э агг 1
+ - + + -а = риг
Эг г Э ф Э- г г- -
и уравнением притока тепла [6]
. Э 2Т Л, МЭ Т хтЭ 2т . Э2т . ф ....
т-2 + (хт + -) л" + --1 + Хт-т- УЙ1уи = сит (2.2)
Эг V г JЭг г Эф Э-
где атк - компоненты тензора напряжений в цилиндрических координатах, которые связаны с компонентами тензора деформаций етк и изменением температуры т возмущенного слоя соотношениями Дюгамеля - Неймана [6]
агг = 2цегг + Хб1у и - в т, агф = 2цегф
афф = 2^£фф + х ¿1уи - р т, аг- = 2 цег-
а-- = 2 Цр-- + Х ¿1уи - р т' аф- = 2 Црф-
1 (Эф+и.) ■ р-- = <2.3)
Тф
Э иг
Эг' ефф
1 1 'Э иг
2 г V Эф
= £гг + р фф
uфJ + 1-7.
Эиф~1 1 ^Э и- Эиг) 1 /Эиф 1Э и -
2 (Эг + Э - )' £ф- 2 ( Э - + г Эф
Здесь иг, иф, и- - составляющие вектора смещения и по осям координат, р = р(г) - плотность материала слоя, X = Х(г) и ц = ц(г) - модули упругости материала слоя, Р = Р(г) = 3атК, ат = ат(г) - температурный коэффициент линейного расширения материала слоя, К = X + (2/3)ц - изотермический модуль объемного расширения, Хт = Хт(г) и еь = с „(г) - коэффициент теплопроводности и объемная теплоемкость материала слоя соответственно, у = тор. Штрихом обозначена производная по г.
Так как неоднородность материала цилиндра проявляется лишь в радиальном направлении, то зависимость составляющих вектора смещения и изменения температуры от координаты -, согласно закону Снеллиуса [7], имеет вид ехрО'к^ -). Поэтому функции иГ, иф, и-, т будем искать в виде
ur(r, Ф, z) = U,(r, Ф)exp(ikz11z), и„(r, ф, z) = U2(r, ф)exp(ikznz)
(2.4)
uz(r, ф, z) = U3(r, ф) exp(ik11z), T(r, ф, z) = U4(r, ф) exp(ik^xz)
В рассматриваемом случае ur, uz, T - четные функции координаты ф, и иф - нечетная функция ф. Функции Ua (а = 1, 2, 3, 4) могут быть представлены следующими рядами Фурье:
Uа(r, ф) = £ Uаш(r)cosшф, а =1, 3, 4; U2(r, ф) = £ U2Ш(r)sinmф (2.5)
m=0 m=0
Введем безразмерные величины
r* = r U* = Uam a = 12 3 U* = U4m X * = X
r = H' Uam = """H"' a = 1, 2, 3' U4m = ^' X =
u* = ü 0* = -P a* = X* = — c* = ^
U = Mo' P = Po' a* = a 0' A* = X0' c* = co
г О 10 l^t u
Здесь H = r1 - r2 - толщина цилиндрического слоя, X0, и0, p0, aT, XT, c0 - характерные величины.
Подставляя выражения (2.3) - (2.5) в уравнения (2.1), (2.2) и используя условия ортогональности функций cos шф и sin шф, получим систему линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций U*m (a = 1, 2, 3, 4) для каждого значения m = 0, 1, 2, ....
A U'' + BU' + CU = 0 (2.6)
где
U = (U*m, U2m, U3m, U4m)
A = dmg{aw a22, a33, a44}' B = ||baß||' C = IIca^l; ^ в = 1, 2 3, 4
a11 = IX * + 2 m *, a22 = a33 = и*, a44 = X*
IX* + 2и * /X* + M*
bn = IX *' + 2 M*' + IX +*2M- ' bi2 = -b2i = m—T^—, bi3 = Й31 = ^ (/X* + и *)
bi4 = -Iiß*
* X*
b22 = b33 = M*' + M--**' b23 = b24 = b32 = b34 = b42 = b43 = 0' b41 = sß*' b44 = X**' + "—-T
1 (,-* IX * + 2 и * 2|*J 2 * *
cii = -*(1X*---¡^ - m r*J + S1 и* + ?0p*
C12 = m r* (iX *'-/X * +3 11 * J, C13 = S1IX*', C14 = -I1 ß*'
1 ( * IX*' + 3M*J 1 ( и* 21X* + 2M*J 2 „ *
c21 = -m-*I и* + —-г1--J' c22 = - -*(и* + r* + m —r*J + siи* + ?0p*
'31
IX * + ц * _ ¿1р *
с23 = -с32 = -т^1 г* , с24 = т г*
^ц* + ), С33 = - т2 Ц2 + (/X* + 2 ц*) + д0р *, С34 = ^р*
Р* Р* Р* 2Х* 2Х* *
с41 = ^ с42 = ^г*' с43 = ^1р*' с44 = - т ^ + Х* + ?1с*
Р* = 3 а* (/Х* + | Ц *), I = Ц0, /1 = а°тт0
„2 0 „2 2 „2 0
юн атЦ0 .,- „ РоН Ю ЮН си
* = I--о-' = 1к11н' = —ц-, ?1 = I ——
Хт ^0 Хт
Штрихом обозначена производная по г*.
Скорость частиц жидкости снаружи (/ = 1) и в полости (/ = 2) цилиндрической оболочки представим в виде
и; = grad(Ч; + Ф;), ' =1, 2
Потенциалы скоростей звуковых Ч. и тепловых Ф. волн - решения следующих уравнений:
АЧ. + к2!Ч. = 0, ДФ. + к22Ф. = 0; ; = 1, 2
где Ч1 = Ч; + Ч5, Ч5 - потенциал скоростей отраженной звуковой волны, ' и к;2 - волновые числа звуковых и тепловых волн соответственно. При этом
, 2 - М} - (-1 + 4 1 2
= —"—тж~— , 1 =12
где
2
Ч = "~2 У; М =
с
1-
; ( с; )
у., М- =
у. - отношение удельных теплоемкостей жидкости при постоянных давлении и объеме, X. - коэффициент температуропроводности жидкости.
Отраженные волны должны удовлетворять условиям излучения на бесконечности, а волны в полости - условию ограниченности. Поэтому функции Ч5, Ч2, Ф1, Ф2 будем искать в виде
Ч = ехр (Ик1п-) £ А1тНт(к11 г) С°8тф' Ч2 = еХР (г'к21 -) X А2т]т(к21 г) С°8тф
т = 0 т = 0 (2 7)
ф; = ехр (¿к--2-) £ 5;'т2;'т(кг2г) С°8тф' ' = 1 2; 21т(Х) = Нт(Х)' 22т(х) = ■т(Х)
т=0
где к/ и к/ (/, I = 1, 2) - проекции волнового вектора к/ на оси г и г соответственно, (кг/1 )2 + (к/ )2 = к/1, Нт(х) - цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка т.
Согласно закону Снеллиуса кг11 = к\2 = кг21 = кг22.
Коэффициенты А/т, В/т (/ = 1, 2) подлежат определению из граничных условий, заключающихся в равенстве нормальных скоростей частиц термоупругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях цилиндрического слоя, отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений, равенстве на них нормального напряжения и акустического давления, в непрерывности акустической температуры и теплового потока на поверхностях слоя:
Г = / -тиг = / Огг = О, Огф = О, Огг = -Р/
д Т дТ: (2.8)
Т = Т:, ХТд- = X: --т--7; / = 1, 2
Т дг дг
Здесь
Ujr = £ (ф + ф). Pj = iVPjWj + ф)
а j
i ®Y; i
-г (^ j + ф j) + ü j + ф j)
j = i, 2
где Ujr - нормальные компоненты скоростей частиц жидкости, Pj - акустические давления, Tj - акустические температуры, aj и Xj - коэффициенты температурного расширения и теплопроводности соответственно снаружи (j = 1) и в полости (j = 2) цилиндрической оболочки.
Подставляя выражения (1.1), (2.3), (2.4), (2.5), (2.7) в граничные условия (2.8) и используя условия ортогональности функций cos шф и sin шф, для каждого значения индекса m = 0, 1, 2, ... получим систему двенадцати уравнений, из которых находим выражения для коэффициентов Ajm, Bjm (j = 1, 2):
X j
Ej YI r* = r*,
j = 1, 2
(2.9)
и восемь условий для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (2.6):
(AU' + Gj U )| r
j = 1, 2
(2.10)
где
Xj = (Ajm, Bjm) , Y = ( U*m, U*,, Пш) ' DJ = (j 0' 0' ^4§1 jГ
Ej
l =1, 2, i = 1, 2, 3, G:
ga pi
а, в =1, 2, 3, 4
Здесь
i®P1 1 1
d1 = —Г— [ Jm (-11) + e 13 Hm( -11 ) + e23 Hm( -12 )]П»
d4 = -r* [^11-11 J'm(-11 ) + e13^11-11 H'm(-11) + e23^12-12H'm(-12)]ПИ
I _ 1т Н 2 Г * £} 2 1 Х}2 ) 1 'а Т 0 Х} 2 1 Х]2 )
е11 = ' е12 = --
II ^ 1/ ^
'13
^ ^ т ( Х 1 1 ) + 2 ' £ 1 1 Х 1 2 Нт ( Х 1 2 )
Н'т ( X 11) ™1 Хц Нт (Х1 1)
§11
1 Н'г Ч 112}т( Х11 ) 1 ' а / 0 Х112)т( Х11 ) 1 _ 2^11 §
е21 =--' е22 = ' е23 = §11
21 ^ ^ 11
* О ' 'X] г ®У)
Н аТохт т
= г 11Х12^)т(Х11 )^)т(Х]2) - £ 12Х ]1 ^]т(Х ]1 )^]т(Х12)
1 ¡X* 'тр1 Г 1 7 ( ) 1 7 ( )П 1 IX*
«11 = м Ге111Х11 ) + е21 1Х12)]
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.