ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 3, 2004
УДК 532.591
© 2004 г. Л. А. Ткачева
ДИФРАКЦИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН НА ПЛАВАЮЩЕЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ КОСОМ НАБЕГАНИИ
Исследуется дифракция плоских поверхностных волн на плавающей полубесконечной пластине при косом набегании в жидкости конечной глубины. Построено точное решение этой задачи методом Винера - Хопфа. Получены аналитические формулы для потенциала скоростей жидкости, коэффициентов отражения и прохождения. Исследовано поведение пластины на волнах - распределение смещений и деформаций в зависимости от безразмерных параметров задачи: угла падения волны и приведенных жесткости и глубины.
Поведение плавающей упругой пластины на волнах ранее изучалось применительно к ледяному покрову. В настоящее время интерес к этой задаче возрос в связи с проектированием искусственных островов, плавающих аэропортов и платформ различного назначения. Существует множество разработанных численных методов решения таких задач (обзоры [1.2]). Однако применимость численных методов в случае коротких волн вызывает сомнения. Большинство таких методов требует измельчения сетки для коротких волн, что приводит к матричным уравнениям высокого порядка, сходимость численных алгоритмов ничем не обоснована. Поэтому возникла необходимость развития таких методов, которые пригодны и для коротких волн. Строилось [3-6] аналитическое решение этой задачи для полубесконечной пластины методом Винера - Хопфа. Техника Винера - Хопфа допускает множество различных подходов к решению задачи, и в каждой работе использован свой подход.
Особенность краевой задачи, возникающей в гидроупругости - это высокий порядок производной в одном из краевых условий, вследствие чего в методе Винера - Хопфа решение зависит от двух постоянных, определение которых в явном виде затруднительно. Так, в случае косого набегания была получена [3] система линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой представляют собой ряды по корням дисперсионного соотношения (трансцендентного уравнения). Рассматривался [4] случай стратифицированной жидкости, условия свободного края в кромке не ставились, а постоянные полагались равными нулю без обоснований. Был рассмотрен [5] случай нормального падения волны в бесконечно глубокой жидкости, однако полученные формулы настолько сложны, что провести по ним расчеты не решились даже авторы.
Численные расчеты по полученным формулам содержатся только в работе Бэлмфорта и Крастера [6] и только для коэффициентов отражения и прохождения. В этой работе упругая пластина описывается уравнением Тимошенко - Миндлина. Решение зависит от двух постоянных, но дополнительно к ним введены еще две постоянные, и для них получена система четырех уравнений. По-видимому, неудачно введены безразмерные переменные, в результате чего малый член в уравнении стал единицей. Приведена простая приближенная формула для коэффициента отражения, которая получена в предположении, что обе постоянные равны нулю. Полученные по этой формуле значения коэффициента отражения очень хорошо совпадают с соответствующими значениями, найденными с учетом ненулевых постоянных.
Автором был предложен другой подход [7, 8]. Показано, что в случае нормального набегания, если отбросить малый член, систему удается обратить, даже не вычисляя ее коэффициентов, а приближенная формула, полученная в [6], на самом деле является точным решением задачи. Ниже излагается подход, который позволяет определить постоянные и получить точ-
ное решение задачи для косого набегания волны на полубесконечную пластину, плавающую на поверхности жидкости конечной глубины.
1. Постановка задачи. Поверхность идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины Н0 частично закрыта тонкой упругой полубесконечной пластиной. Плоская волна малой амплитуды набегает под углом 0 к пластине, причем длина волны значительно больше толщины пластины. Введем декартову систему координат (х, у, г) с центром О в кромке пластины и осью Ох, направленной перпендикулярно к кромке, осью Оу вдоль кромки, осью Ог, направленной вертикально вверх. Осадкой пластины в жидкость будем пренебрегать, граничные условия сносятся на невозмущенную поверхность жидкости. Задача решается в линейной постановке.
Потенциал скоростей жидкости ф удовлетворяет уравнению Лапласа
Дф = 0
Граничные условия можно записать в виде
. дф =
г = -Н0 . ^ = 0; г = 0 . =
= 0 . дф = дп
дг
д г д (
(1.1)
(1.2)
г = 0 . ОД^ + р0йд-3 = Р (х > 0), р = -р(дф + ет) дф + = 0 (х < 0) (1.3)
Здесь п - вертикальное смещение верхней поверхности жидкости (пластины), g - ускорение свободного падения, О - цилиндрическая жесткость пластины, Н - ее толщина, р и р0 - плотности жидкости и пластины, t - время. Индекс Н у оператора Лапласа означает, что он берется только по горизонтальным переменным. На краю пластины должны обращаться в нуль момент и перерезывающая сила
= 0 . дЛ! + ^ =
2 д у2 дх
г = 0, х = 0 . ^ + V ^ =
д х 2
22 д_П + (2- V) Э-Л
дх ду
= 0
(1.4)
где V - коэффициент Пуассона.
Зависимость всех искомых функций от времени и координаты у периодическая и выражается множителем е'(ку - где к - волновое число по координате у в набегающей волне, ю - частота. Введем безразмерные переменные
ф
ф
А 4^1
V
у
у V
V
t = ю, Н
Н-0
I,
к' = к1
где А - амплитуда падающей волны, I = g/ю - характерная длина. Штрихи в дальнейшем будем опускать.
Представим потенциал ф в безразмерных переменных в виде
ф = ф е
I (ку -1)
ф = ф0 + ф0
г(х еЬ ( ц (г + Н)); еЬ (цН) ;
у = ц ео8 0, к = ц 0
где ф0 - потенциал падающей волны, ф1 - дифрагированный потенциал, у и к - волновые числа по координатам х и у в набегающей волне, а значение ц определяется из дисперсионного соотношения для волн на поверхности жидкости глубины Н: ц Ш( цН) - 1 = 0.
Тогда из задачи (1.1)-(1.4) можно получить краевую задачу для ф1
Э2 ф, Э2 ф, 2
—"2" + —у-к2ф, = 0, -Н < г < 0 Э х Э г
Эф,
г = - Н : — 0
Э г
дф,
г — 0 : т-^- ф! — 0 (х < 0), Эг
Г (
Эх2
2
- к
+ 1- 5
Эф1 ж п 'Ух, пч
--ф, — Бе (х > 0)
Эг
(1.5)
(1.6) (1.7)
г — 0, х — 0 :
Б
2
V Э Э х Э у
Р0 Ь
Эф — _Э_
Эг Эх
Э2 Э2 — + (2-V)—
Э х Э у _
22
Эф — 0
Эг
(1.8)
в — —4, 5 — ^ Б — 5 - Р(у2 + к) pgl4 р
Здесь в, 5, 0 и Н - безразмерные параметры задачи.
Кроме того, должны выполняться условия излучения при |х| ^ ^ и условия регулярности вблизи передней кромки (локальная ограниченность энергии). Ввиду сделанных предположений параметр 5 ^ 1, поэтому в дальнейшем положим 5 = 0; такое приближение использовано также и в ряде других работ ([5] и др.).
2. Дисперсионные соотношения. Рассмотрим, как распространяются волны в жидкости со свободной поверхностью и под пластиной. Ищем решения уравнения (1.5) вида
е'"">(а, г); ¥(а, г) — еЬ (7а 2 + к2 (г + Н))/еЬ (л/а2 + к2 Н)
(1.9)
с условием (1.6) на дне и соответствующим условием (1.7) на верхней границе.
Поверхностные волны. Для поверхностных волн значения а должны удовлетворять дисперсионному соотношению
цШ(цН) -1 — 0, ц — 7а2 + к2
Это уравнение имеет два действительных корня ±ц0 и счетное множество чисто мнимых корней ±ц/-( ] = 1, 2, ...), расположенных симметрично относительно действи-
тельной оси. Им соответствуют два действительных значения ±у(у = Л/ц0 - к ) и чис-
то мнимые корни ±у^(] = 1, 2, ...; у^ = ^/ц2 - к2).
22
Изгибно-гравитационные волны. Для волн, распространяющихся в пластине, так называемых изгибно-гравитационных волн, дисперсионное соотношение имеет вид
(вХ4+1 )Х Л (ХН) -1 — 0, X — л/а2 + к2
Это уравнение имеет два действительных корня ±Х0, счетное множество чисто мнимых корней ±Х/-( ] = 1, 2, ...), симметричных относительно действительной оси, и, кроме того, имеются четыре комплексных корня, симметричных относительно действительной и мнимой осей: - корень, лежащий в первом квадранте, и Х-2 - корень во втором квадранте. Этим корням дисперсионного соотношения соответству-
ют значения корней ±а;-( ] = -2, -1, 0, 1, ...; а^ = д/ц2 - к2). Если > к, то а0 имеет действительное значение, в противном случае - мнимое.
Действительные корни дисперсионных соотношений определяют распространяющиеся волны, а все остальные корни определяют краевые волны, экспоненциально затухающие вдали от кромки пластины. Критический угол падения волны соответствует = к и определяется формулой 0* = агс8т(^0/ц0). Если угол падения волны
больше критического, то в пластине существуют только краевые волны.
3. Аналитическое решение задачи. Решение задачи будем строить методом Вине-ра-Хопфа в интерпретации Джонса [9]. Введем в рассмотрение функции комплексного переменного а
~ 0
Ф+(а, г) = [ е ах фх( х, г )йх, Ф_ (а, г) = [ еах фх( х, г) йх
п (3.1)
0 —1эо
Ф(а, г) = Ф+(а, г) + Ф_(а, г)
Функция Ф+(а, г) определена в верхней полуплоскости {1т а > 0}, а Ф-(а, г) - в нижней полуплоскости {1т а < 0}. С помощью аналитического продолжения можно определить их во всей комплексной плоскости.
Исследуем поведение функций Ф±(а, г). При х ^ -э дифрагированный потенциал представляет собой отраженную волну вида Ке-'ух и множество экспоненциально затухающих волн. Наименее затухающая волна соответствует корню у:. Поэтому функция Ф-(а, г) аналитична в полуплоскости {1т а < |у:|} за исключением полюса при а = у. При х ^ э потенциал соответствует сумме волн: проходящей волны с волновым числом а0, волны с волновым числом у, компенсирующей ф0, и множества экспоненциально затухающих мод. Следовательно, функция Ф+(а, г) аналитична в полуплоскости {1та > с}, за исключением полюсов при а = -а0 и а = -у; число с равно наименьшей мнимой части из волновых чисел затухающих мод в пластине. Функция Ф(а, г) - образ Фурье для функции ф:(х, г) и удовлетворяет уравнению
д2?-(а2 + к2 )Ф = 0
дг2
Общее решение этого уравнения с условием (1.6) на дне имеет вид
Ф(а, г) = С(а)¥(а, г) (3.2)
Функция ¥(а, г) определена выражением (1.9).
Обозначим О±(а) выражения типа (3.1), где вместо функции под интегралом стоит левая часть первого краевого условия (1.7), а через ^±(а) - аналогичные выражения, в которых в качестве подынтегральной функции берется левая часть второго условия (1.7)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.