МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 539.3:534.1
© 2008 г. С.Н. КУКУДЖАНОВ
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ БЛИЗКИХ К ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ, НАХОДЯЩИХСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ МЕРИДИОНАЛЬНЫХ УСИЛИЙ
Исследуются собственные колебания и динамическая устойчивость орто-тропных оболочек вращения, близких по форме к цилиндрическим, находящихся под действием меридиональных усилий, равномерно распределенных по торцам оболочки. Рассматриваются оболочки средней длины, у которых форма образующей срединной поверхности описывается параболической функцией. На основании теории пологих оболочек получено разрешающее уравнение колебаний соответствующей предварительно напряженной оболочки. В изотропном случае приведенное уравнение отличается от известного [1] дополнительным членом, который может иметь такой же порядок, как и другие учтенные члены. Рассмотрены оболочки как положительной, так и отрицательной гауссовой кривизны. Предполагалось, что края оболочки свободно оперты. В безразмерной форме приведены формулы и универсальные кривые зависимости наименьшей частоты, формы волнообразования и границ областей динамической неустойчивости от параметров ортотропии, предварительного напряжения, гауссовой кривизны и амплитуды отклонения оболочки от цилиндра. Получено, что при наличии предварительных напряжений параметры ортотропии и отклонение оболочки от цилиндрической формы (порядка толщины) могут существенно изменить низшие частоты, форму волнообразования и границы областей динамической неустойчивости соответствующей предварительно напряженной ортотропной цилиндрической оболочки.
При этом отмечено, что для выпуклых оболочек при наличии предварительного сжатия сильнее влияние упругого параметра в осевом направлении в сравнении с упругим параметром в окружном направлении, тогда как для вогнутых оболочек имеет место обратное явление. При наличии же предварительного растяжения ведущая роль того или иного параметра ортотропии может измениться в зависимости от величины предварительного напряжения и гауссовой кривизны.
1. Собственные колебания. Рассматривается оболочка, у которой срединная поверхность образована вращением квадратичной параболы вокруг оси г прямоугольной системы координат х, y, г с началом в середине отрезка оси вращения (фиг. 1). Предполагается, что радиус R поперечного сечения срединной поверхности оболочки определяется равенством
R = r + 50 [ 1- £2 (r/l)2 ] (1.1)
где r - радиус торцевого сечения, 50 - максимальное отклонение (при 50 > 0 оболочка выпуклая, при 50 < 0 вогнутая), L = 21 - длина оболочки, £ = z/r. Рассматриваются оболочки средней длины [2], [3] и считается, что
(5о/r)2, (5о/1)2 ^ 1 (1.2)
N
z
-0.8
0
Фиг. 1
0.8
За основные уравнения колебаний принимались уравнения теории пологих оболочек [4]. Для рассматриваемых оболочек средней длины формы колебаний, соответствующие низшим частотам, сопровождаются слабовыраженным волнообразованием в продольном направлении в сравнении с окружным, поэтому справедливо соотношение
д2f/д^2 < Э2//Эф2, f = w, у
(1.3)
где V, у - соответственно функции радиального перемещения и напряжения.
В результате система уравнений для рассматриваемых оболочек приводится к следующему уравнению
38w Ei
£ ~+ E
Í-.4
Эф
-,4
д w
д w .о _
7Г4 + 45Ц , 2, 2 д^ д^ дф
4
2д w
е = й2/12 г2( 1- Vi v2), 5i
+ 451 д 4 дф
= §о r/l2,
-1
о д w
1 д^2 дф'
од6 w pr2 д
4 — h—6 + E7 ^ дф e2 дг
2 2 4
д w
дф
0
(1.4)
Ti / E h
(i = 1, 2)
где Е1, Е2, V!, V2 - модули упругости и коэффиценты Пуассона в осевом и окружном направлениях (Е^2 = E2V1), Н - толщина оболочки, ф - угловая координата, Т0, Т2 - меридиональное и окружное усилия исходного состояния, I - время, р - плотность. Дополнительным членом в этом уравнении, в сравнении с уравнением, приведенным в [1] для изотропной оболочки, является четвертый член, который в силу неравенства (1.3) будет одного порядка с третьим членом этого уравнения.
Рассматривается свободно опертая оболочка, к краям которой приложены равномерно распределенные меридиональные усилия Р1. Исходное состояние предполагается безмоментным. На основании безмоментного решения и неравенств (1.2), (1.3) получаем следующие приближенные выражения:
Ti = Pi
i+r (*2 (r
-i
T° = -2 Pi8o-2
l2
Учитывая, что
(r/l)2 - i д^/д^2 < 2(r/l)2д^/дф2
(1.5)
(1.6)
5
получаем, что уравнение (1.4) принимает вид
д № Е1 Эф — 2
Э № .о Э № .5.2Э № —4+ 4 51:;:Т:Г2 + 451:П
+ 2Р1 5;Э № + рг Э
Э£ Э£ Эф Эф = 0
Р1 Э(
№
—2 ъЭ£2Эф4
2 2 4
Э№
(1.7)
—2Ъ Эф6 —2 ЭГ2
Эф
Сначала рассмотрим случай Р1 = сош1:. Принятым граничным условиям удовлетворяет выражение
Ат {еп4(п2 - 1 )2 + X4тк + 45(п2 + - 1.52тк + 452п4 -
- Р
- <
1-25_о
г
V
1 + 25о-
т
1 1 3 +-2
^3 (ткп) )\
г \\
11
3 +-2
V (ткп) уу
Х2ткп2(п2 + 1) - 25п4(п2 - 1 - \2ткп 2) [-
(тк п)
+ X Ат,\ 12т^2т1атт -
4 2 » 2 -2 2 5о
п (п -1- ) п )- —
/
\
11 3 +-2
(ткп) ,
V
2 2 2 X ткп (п + 1)
(1.8)
2 2 2 4 2 2 -2 8 50
(р + <)Л т;п (п +1) - <п (п -1- лт.п ) 2
' п г-
8т№к [ = 0
Подставляя выражение (1.8) в уравнение (1.7), получаем следующее равенство для определения собственных частот
РГ 2 4 Е1,л4 -4^5 1 2 -2 .~2. РЬЛ 2,
Е- ^ = еп + — (1™п +451 Хтп +451 ) + (Хт -251 п )
Введем безразмерные параметры
а! = Е1/Е, а2 = Е2/Е, р = -Р1/ЕН
Тогда уравнение (1.9) примет вид
ю2 = ——2 [а2еп4 + а! (клт п^ + 4 5!\2т п 2 + 4 52) - р(^-2 5! п2)] Рг
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Видно, что при р = 0 и 5! > 0 наименьшей частоте соответствует значение т = 1. Учитывая неравенство (1.2), (1.3), а также что ю2 > 0, можно также показать, что это условие имеет место и при 5! < 0. Поэтому первоначально будем рассматривать формы колебаний, при которых по длине оболочки располагается одна полуволна (т = 1), а в окружном направлении п волн. При сжатии р > 0, а при растяжении р < 0.
Представим выражение (1.11) (при т = 1) в безразмерном виде, для этого введем безразмерные величины 0, Р и некоторые обозначения
т ^ т
к
1/4 2 2 — I-
0 = (а2/а1) М, N = п /п0, Р = Р/„]а1 а2, Р = р/р*,
2 . -1/4 „ 1/2
п0 = Л1 е , р* = 2 е
5- , . Л/4Я о -1/2- ,-1/2 Н ^ г Л2 (1.12)
5* = (а1/а2) 5, 5 = е* 81, е* = (1- V!v2) ^I ^ I ,
= пг/Ь, ю* = е1/2^ Рг
где ю*, р* - соответственно наименьшая частота и критическая нагрузка для изотропной цилиндрической оболочки средней длины [2], [7]. В результате равенство (1.11) можно записать в следующей безразмерной форме:
ю2/ю* = Л/а1а"2[02 + 0-2 + 2.375*0-1 + 1.4045* - 2Р(1 - 1.1858*0)]/2 (1.13)
Наименьшая частота (при ю2 > 0) определяется из условия ю2(М)' = 0. При этом имеем
-1.1855*Р = 0 - 1.1858*0-2 - 0-3 (1.14)
Отсюда получаем
04 + 1.185 5 * Р03 - 1.185 5 *0 - 1 = 0 (1.15)
При Р = 0 (1.15) переходит в известное уравнение
04- 1.1855*0 - 1 = 0 (1.16)
корни которого в явном виде получены в [8]. Кроме того, из (1.15) при 5* = 0 находим
уравнение 04 - 1 = 0, с положительным корнем 0 = 1 (М = (а:/а2)1/4). Следовательно, для ортотропной цилиндрической оболочки средней длины наименьшая частота реализуется при N = (а!/а2)1/4, независимо от Р. Для изотропного случая, это полностью согласует— 1/2 1/2
ся с [9]. Кроме того, из уравнения (1.15) при Р = 1 (Р = а1 а2 ) получаем, что положительный корень 0 = 1 не зависит от 5*. При ю = 0 из равенства (1.13) получаем
Р = (02 + 0-2 + 2.375* 0-1 + 1.4045*)/2( 1 - 1.1855 * 0) (1.17)
Наименьшее значение Р, как известно, называется критической нагрузкой. В частности, при 5* = 0, 0 = 1 из (1.17) получаем известную формулу критического сжимающего усилия для цилиндрической ортотропной оболочки Р = 1 [2]. Наименьшее значение Р (Р > 0) в зависимости от 0 реализуется при Р0 = 0. Отсюда
2(0 - 0-3 - 1.1855* 0-2)(1 - 1.1855* 0) =
= -1.1855* (02 + 0-2 + 2.37 5 *0-1 + 1.404 5*) (Ы8)
Упрощенное уравнение (1.18) является уравнением пятой степени, корни которого в явном виде получить не представляется возможным. Обозначим положительный корень уравнения (1.18) 0*. Это значение соответствует числу волн в поперечном направ-
Фиг. 2
лении, при котором реализуется критическая нагрузка потери устойчивости Р*. Подставляя равенство (1.18) в (1.17), получаем
-1.1855*Р* = 9* - 1.1855*9*2- 9*3 (1.19)
Нетрудно заметить, что из равенства (1.14) также следует равенство (1.19), когда ю = 0. Следовательно, значения Р, 9 удовлетворяющие равенству (1.14), при которых наименьшее значение выражения (1.13) обращается в ноль, являются критическими значениями Р * , 9*.
На основании равенства (1.15), при Р = 0, получаем уравнение (1.16), положительный корень которого 9 = 90 соответствует наименьшей частоте незагруженной оболочки [8],
а при Р = Р* уравнение (1.19), корень которого 9 = 9* соответствует ю = 0. Таким образом, при изменении Р в интервале
0 < Р < Р * (1.20)
наименьшая частота изменяется в интервале [ю(90, Р = 0), 0].
На основании рассуждений, аналогичных [7], можно показать, что при изменении Р в интервале (1.20) (для 5* < 0) значение 9, реализующее наименьшую частоту ю(9, Р), находится в интервале
9о <9 <9 * (1.21)
Для наглядности перейдем к значениям N = 9(а!/а2)1/4. В частности, при 5* = 0 неравенства (1.20), (1.21) принимают вид 0 < Р < 1, 90 = 9* = 1 (0 < Р < ах1/2а2'2, N0 = ^ = (а^а,)1^.
На фиг. 1, 2 приведены графики зависимости N = л2/ п0 и «(N0)/®* от параметра 5 для случаев а: = 1, а2 = 1 (0), а: = 2, а2 = 1(1), а2 = 2 (2) (ю*, л0 - наименьшая частота и соответствующее число волн для цилиндрической изотропной оболочки средней длины, ко-
торые определяются равенствами (1.12)). Соответствующие кривые обозначены и номером i (г = 0, 1, 2). Нетрудно видеть, что для выпуклых оболочек влияние упругого параметра в осевом направлении больше, чем в окружном, тогда как для вогнутых оболочек имеет место обратное явление.
2 2 2 2
На фиг. 3 приведены графики зависимости N,1 = п*/п0 и = р*/р0* от параметра 5 < 0 для выше рассмотренных случаев i = 0, 1, 2. Кривые обозначены соответственно N,0 и номером i. Нетрудно видеть, что для вогнутых оболочек ведущая роль принадлежит упругому параметру в окружном направлении в сравнении с осевым.
На основании равенства (1.14) нетрудно пос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.