научная статья по теме ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ ЕГО ГРАНИЦЫ Математика

Текст научной статьи на тему «ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ ЕГО ГРАНИЦЫ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 76. Вып. 6, 2012

УДК 539.3

© 2012 г. М. В. Долотов, И. Д. Килль

ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ ЕГО ГРАНИЦЫ

1

Рассматривается динамическая задача для упругого полупространства при несимметричной нормальной нагрузке его границы. Получены простые выражения для компонент тензора напряжений в виде сходящихся при малых значениях времени рядов, обладающих асимптотическими свойствами. Оценены погрешности приближенного решения, определяемого частичными суммами рядов.

К основным работам по изучению колебаний упругого полупространства относят исследования, проведенные в первой половине прошлого века [1—6]. Были получены [2—6] решения задач о колебаниях упругого полупространства в перемещениях в замкнутом виде для сосредоточенных воздействий. Применялись метод функционально-инвариантных решений [2, 3] и различные модификации метода интегральных преобразований [4—8]. Исследовались поля перемещений для больших значений времени асимптотическими методами (метод перевала) [7, 8]. Имеется детальное описание методов [9]. Использование сосредоточенных нагрузок и решение задач в перемещениях предопределило сейсмологическую направленность получаемых результатов.

При изучении процессов разрушения необходимо определить поля напряжений, учитывающие размер и форму нагрузки. Также, в связи с небольшим, как правило, временем действия нагрузки до разрушения, желательно получить простое и достаточно точное решение при г ^ 0. Использование точных решений [3, 6] для получения требуемых полей напряжений сопряжено с большими трудностями, связанными с весьма сложным видом решения.

В продолжение предыдущих исследований [10, 11], рассматриваются граничные условия, зависящие более чем от одной пространственной координаты. Для определения потенциалов упругих перемещений используется вариант метода разделения переменных. Предлагаемый метод позволяет получить компоненты тензора напряжений в виде рядов без использования интегральных преобразований по пространственным координатам. Рассматривается нормальная нагрузка, при этом оказывается возможным выразить компоненты векторного потенциала упругих перемещений через одну скалярную функцию.

1. Постановка задачи и определение потенциалов упругих перемещений. В декартовых координатах х, у, г рассмотрим упругое полупространство % ^ 0, которое до момента времени t = 0 находится в покое. При / > 0 на границе % = 0 действует нормальная нагрузка

Т = ^/(х, у)Ь(1)

1Килль Игорь Давидович (16.04.1938—06.03.2012), кандидат технических наук, Заслуженный работник МГГУ (Московского государственного горного университета). Окончил механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова и аспирантуру в Институте проблем механики. Автор ряда научных работ, в том числе восьми статей в журнале ПММ, посвященных решению неодномерных задач термоупругости. Строгое решение задачи термоупругости для полупространства, полученное им в 1964 г., позволило выяснить природу механизма разрушения горных пород при высокотемпературных воздействиях. В 1984 г. он совместно с коллегами получил ранее считавшееся невозможным решение задачи термоупругности для несимметрично нагреваемого полупространства. С 1964 г. он был одним из ведущих преподавателей кафедры высшей математики в Московском горном институте (с 1993 г. МГГУ), пользовался заслуженным авторитетом у коллег и студентов за высокий профессионализм и принципиальность. При его непосредственном участии подготовлены кандидаты и доктора наук в области механики деформируемого твердого тела и физических процессов горного производства.

где Т0 — постоянная, /(х, у) — функция, имеющая частные производные любого порядка, Ь(г) — оригинал [12]. Требуется определить компоненты тензора напряжений с^п(х, У, г) (£, П = х, у, г) в полупространстве.

Для определения скалярного Ф(х, у, г, г) и векторного ¥(х, у, г, г) (Ух, Уу, Уг} потенциалов упругих перемещений требуется решить краевую задачу

Л!Ф = 0, Л^ = 0, г > 0, г > 0, £ = х, у, г

дФ дТЕ

г = 0: Ф = дф = Т Е = —^ = 0 дг ^ дг

z = 0: о 77 = 20

ГУ у д2Чх

дхдг дудг

= Г0/(х, у)Ь(г)

° хг = 0

дх дг дх дг дхду дудг

= 0

(1.1)

О уг = 0

д 2¥ у

д 2¥ г

0 д 2Ф д 2¥ х д ¥ х

2----2х +-2х +

дудг ду2 дг2 дхду дхдг

= 0

Л д2 д2 д2 1 д2 ! 0 ла = —+77 —та, а = 1,2

дх

N = -д; +

дг2 1 - 2v

ду дг са дг

д^ 2 ^2 ^2 __+ д + д

2 /■•» 2 /■•» 2 дх ду дг

где С1 и С2 — скорости распространения продольных и поперечных упругих волн, О модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона. Посредством подстановки

У х = -дф2, у у = дф2, у г = 0, Ф2 = Ф2(х, у, г, г)

(1.2)

ду дх

можно убедиться, что скалярный потенциал Ф и компоненты векторного потенциала У х, У у, У г из (1.2) — решение задачи (1.1), если Ф и Ф2 — решение задачи

Л аФ а = 0, а = 1,2; г > 0, г > 0

дФ

г = 0: Ф а =дфа = 0

а дг

(1.3)

z = 0: NФl + ЛдФ = ^ / (х, у)Ь(г), дг 20

2 дФ1 + АФ 2 -

дг

^ = 0

дг2

лта + fт, Ф1 = Ф(х,у,г,г)

дх ду

Из сравнения задач (1.1) и (1.3) следует, что представление (1.2) позволяет уменьшить число уравнений и граничных условий исходной краевой задачи. При этом дифференциальные операции по х и у содержатся в задаче (1.3) только в виде оператора А.

Будем искать решение задачи (1.3) в виде

Ф a(x, y, z, t) = X An(x, y^fc t), а = 1,2, A„(x, y) = Д nf(x, y), n = 0,1,... (1.4)

Здесь и далее, если не оговорено иное, суммирование ведется от n = 0 до n = да. Под-

(а)

становка разложения (1.4) в задачу (1.3) показывает, что функции фП (z, t) (а = 1, 2, n = 0,1,...) должны быть решениями следующих краевых задач:

Мa9na) + фПч = 0, a = 1,2; z > 0, t > 0

(a)

t = 0: 9na) = ^ = 0

дг

(1) ,, (2) гг ,, (1) (2)

г = 0: А-У.йЖ + _^фП)1 + ¿Ф^ = Т0ь^п, 2^ + ^ - Щ- = 0 (1.5)

1 - 2у дг 1 - 2у п1 дг 20 дг дг

п = 0,1,..., фЮ = 0, М а = - "Г Й

01 Са дг

5 тп — символ Кронекера.

Для получения функций ф(па)(г, г) в общем виде рассмотрим вспомогательную краевую задачу

маРа-р2ра = 0, а = 1,2; Ра = Ра(р2,г,г), г > 0, г > 0

г = 0: Ра =дра = 0 (1.6)

дг

г = 0: \_-vtA-^р2р -р2др2 = Т0Ь(г), 2М-рр-Щ = 0 1 - 2у дг 1 - 2у дг дг дг

Полагая

Ра(Р2, г, г) = X (-1)п р 2прПа)(г, г) (1.7)

и подставляя эти ряды в задачу (1.6), получаем краевые задачи, совпадающие с (1.5) при замене р^'>(г,г) на фПа)(г, г), т.е. Ра(р2,г, г) — производящие функции для систем

{(-1)пфПа)(г,г)} (а = 1,2, п = 0,1,...)

Для решения краевой задачи (1.6) применяется преобразование Лапласа. Изобра-

2

жения функций Ра(р , г, г) имеют вид

Ра*(р2,г,■) = (-1)а+1 Т0#(Р,■)е-^Ь*(*); ц*(р,■) = 4 ЯЯ ,#(р,■) = 4 (1.8)

20 Яа Я4 -ррЯ я4 -р2ЯЯ2

2 I 2

Л2 = ^ + Р2, Rl = \Г2 + Р2, argRa = 0 при s > 0, а = 1,2

2c2 )ca

w*(s) = Ls{w(t)} = J w(t)e ~stdt

GO

Найдем с помощью соотношений (1.8) ряды изображений, соответствующие рядам (1.7). Используя таблицы [13], разложение в ряд функции Бесселя /0(и) и бином Ньютона, получим

^ = X, ^ (* г - гУ (г - г+2г^

К I (п !)222

Сг

^а ^а

= У у (-1)п(2п - к)!Р2пс2:-кV е^ (19)

УУ п !(п - к)! к !22п-к ,2п-к+1 '

п=0 к=0 п !(п к)!к !2 5

П(«) — единичная функция Хевисайда, причем законность почленного перехода к изображениям в последнем равенстве следует из известных теорем [12].

Положим ^ = с2р22. После преобразований получим

^(р,,) = (2с2)аXа(па) ^ ^ = ^ N0(1 + 20]

(2) 1 й , и ~

С=0

=1, п ]

п! йС,п

(1.10)

С=0

--2 , У2 = 4

(1 + 2О2 - 2 + С1

причем ряды (1.10) сходятся для достаточно больших |з|.

После подстановки выражений (1.9), (1.10) в соотношения (1.8) и перемножения

(а)*/ \ (а)*/ ч рядов получим с учетом равенств рп (г, 5) = ф„ (г, 5)

Ра*(р2, г,,) = X (-1)" р 2У„а)*(г,,)

Обращение изображений ф^^г, 5) приводит к соотношениям

1 Т п т С 2п-к+«+1^ ( \

Фпа (г, г) = (-2)а О ЕЕ (- 1)П+титка„ат (2т-к+1)(2-а) Ь2п-к+а+1 I г - ~ I

0 т-0 к=0 У V са/

т=0 к=0 У

г

(1.11)

итк =-(2т к)!2тк, Ь() = \Ьj-1(т)йт, ] = 1,2,..., Ь0(г) = Ь(г)

т!(т - к)! к!22т-к ' 0 '

Заметим, что Ьу(г) — оригиналы, они обращаются в нуль при отрицательных значениях аргумента.

2. Сходимость рядов. В случае Ап(х, у) = 0, п > N ряды (1.4) обращаются в конечные суммы и определяют точное решение задачи в замкнутом виде. В противном случае использование рядов (1.4) для получения решения поставленной задачи требует дополнительного обоснования.

Пусть 8 — линейный размер — масштабирующий коэффициент/(х, у). При исследовании сходимости рядов (1.4) ограничимся функциями /(х, у), удовлетворяющими соотношениям

д кАп(х, у)

дх ду

< С(2п +к + у)!, к,/ = 0,1,2,3, к > / (2.1)

8

где у — целое число, С — постоянная.

Для оценки фПх) (г, г) построим мажорирующие ряды по р2 для Pa(p2, г, г). Перейдем в рядах (1.9) и (1.10) к оригиналам и получим

. -Я л 2п 2п+1

-1 }е Яаг I ^Р С

( . 2Л

Яа ] (п !)22

2 _ г 2

V Са

2п 2п+1.2п

^^ г2 - ^ п| г - г-и = Ха(г)

Са ) (п !)22

2п+а-1 2п. 2п+а-1

¥(р,г)| < (2с2)аХ^Т2 р г п, = Ра(г) (2п + а -1)!

Оценка аЩ2 получается из соотношения, полученного ранее [11]:

¥(р, г) = Ц\з¥2*(р, ■)} = - 2с220ос8(с2р9г) - 8с2 | ^г >2 ^РМ^ (2.2)

1 -у П 1 г + 16^ г2

г2 = 2 - Г1 = V1 -у V, Г2 =71

0= 4(1 -у У)(1 -Э2)

Э6 - 6Э4 + 4Э2(3 - 2у2) - 4(1 - у2)

+г'р-Э — ненулевые корни уравнения Я4 -р2Я1Я2 = 0, 3 -л/5 < 92 < 0.9126... [10].

Сравнивая разложения изображений ¥ *(р, ■) и ¥2*(р, ■) в окрестности ■ = да и используя первую теорему разложения [12], найдем выражение а^ в виде суммы интеграла с конечными пределами и алгебраическими слагаемыми, которые при учете неравенств

8г4г1г2 < г8 +1 6г12г22 , 9 < 1, у < 1 легко оцениваются и приводят к соотношению

I (2)1 ^ а 1 , © , 1 п

К I -~2п+2, а = ~ + Т + — (2.3)

2 4 4п

Величины а.п и а^ связаны равенствами

п , (2)

« = ^ (-1) 2т ] ап т, п = 0,1,... (2.4)

т=0 (т!)222т(2т - 1)

получающимися я-кратным дифференцированием тождества

ю(0(1 + 20 = \ ^л/Т+С -~(=

\ л/1 + £

+ с

Используя неравенства для т!, следующие из формулы Стирлинга [14], получаем из соотношений (2.3) и (2.4)

К1 ^ (2.5)

у

Осуществляя свертку %а(г), ва(г) и Ь(г) и оценивая интегралы свертки, имеем с учетом соотношений (2.3) и (2.5)

2п 2п+а+1.2п+а

г

| Ра(р2* г, г) |< 4

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»