ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 6, 2012
УДК 539.3
© 2012 г. М. В. Долотов, И. Д. Килль
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ ЕГО ГРАНИЦЫ
1
Рассматривается динамическая задача для упругого полупространства при несимметричной нормальной нагрузке его границы. Получены простые выражения для компонент тензора напряжений в виде сходящихся при малых значениях времени рядов, обладающих асимптотическими свойствами. Оценены погрешности приближенного решения, определяемого частичными суммами рядов.
К основным работам по изучению колебаний упругого полупространства относят исследования, проведенные в первой половине прошлого века [1—6]. Были получены [2—6] решения задач о колебаниях упругого полупространства в перемещениях в замкнутом виде для сосредоточенных воздействий. Применялись метод функционально-инвариантных решений [2, 3] и различные модификации метода интегральных преобразований [4—8]. Исследовались поля перемещений для больших значений времени асимптотическими методами (метод перевала) [7, 8]. Имеется детальное описание методов [9]. Использование сосредоточенных нагрузок и решение задач в перемещениях предопределило сейсмологическую направленность получаемых результатов.
При изучении процессов разрушения необходимо определить поля напряжений, учитывающие размер и форму нагрузки. Также, в связи с небольшим, как правило, временем действия нагрузки до разрушения, желательно получить простое и достаточно точное решение при г ^ 0. Использование точных решений [3, 6] для получения требуемых полей напряжений сопряжено с большими трудностями, связанными с весьма сложным видом решения.
В продолжение предыдущих исследований [10, 11], рассматриваются граничные условия, зависящие более чем от одной пространственной координаты. Для определения потенциалов упругих перемещений используется вариант метода разделения переменных. Предлагаемый метод позволяет получить компоненты тензора напряжений в виде рядов без использования интегральных преобразований по пространственным координатам. Рассматривается нормальная нагрузка, при этом оказывается возможным выразить компоненты векторного потенциала упругих перемещений через одну скалярную функцию.
1. Постановка задачи и определение потенциалов упругих перемещений. В декартовых координатах х, у, г рассмотрим упругое полупространство % ^ 0, которое до момента времени t = 0 находится в покое. При / > 0 на границе % = 0 действует нормальная нагрузка
Т = ^/(х, у)Ь(1)
1Килль Игорь Давидович (16.04.1938—06.03.2012), кандидат технических наук, Заслуженный работник МГГУ (Московского государственного горного университета). Окончил механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова и аспирантуру в Институте проблем механики. Автор ряда научных работ, в том числе восьми статей в журнале ПММ, посвященных решению неодномерных задач термоупругости. Строгое решение задачи термоупругости для полупространства, полученное им в 1964 г., позволило выяснить природу механизма разрушения горных пород при высокотемпературных воздействиях. В 1984 г. он совместно с коллегами получил ранее считавшееся невозможным решение задачи термоупругности для несимметрично нагреваемого полупространства. С 1964 г. он был одним из ведущих преподавателей кафедры высшей математики в Московском горном институте (с 1993 г. МГГУ), пользовался заслуженным авторитетом у коллег и студентов за высокий профессионализм и принципиальность. При его непосредственном участии подготовлены кандидаты и доктора наук в области механики деформируемого твердого тела и физических процессов горного производства.
где Т0 — постоянная, /(х, у) — функция, имеющая частные производные любого порядка, Ь(г) — оригинал [12]. Требуется определить компоненты тензора напряжений с^п(х, У, г) (£, П = х, у, г) в полупространстве.
Для определения скалярного Ф(х, у, г, г) и векторного ¥(х, у, г, г) (Ух, Уу, Уг} потенциалов упругих перемещений требуется решить краевую задачу
Л!Ф = 0, Л^ = 0, г > 0, г > 0, £ = х, у, г
дФ дТЕ
г = 0: Ф = дф = Т Е = —^ = 0 дг ^ дг
z = 0: о 77 = 20
ГУ у д2Чх
дхдг дудг
= Г0/(х, у)Ь(г)
° хг = 0
дх дг дх дг дхду дудг
= 0
(1.1)
О уг = 0
д 2¥ у
д 2¥ г
0 д 2Ф д 2¥ х д ¥ х
2----2х +-2х +
дудг ду2 дг2 дхду дхдг
= 0
Л д2 д2 д2 1 д2 ! 0 ла = —+77 —та, а = 1,2
дх
N = -д; +
дг2 1 - 2v
ду дг са дг
д^ 2 ^2 ^2 __+ д + д
2 /■•» 2 /■•» 2 дх ду дг
где С1 и С2 — скорости распространения продольных и поперечных упругих волн, О модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона. Посредством подстановки
У х = -дф2, у у = дф2, у г = 0, Ф2 = Ф2(х, у, г, г)
(1.2)
ду дх
можно убедиться, что скалярный потенциал Ф и компоненты векторного потенциала У х, У у, У г из (1.2) — решение задачи (1.1), если Ф и Ф2 — решение задачи
Л аФ а = 0, а = 1,2; г > 0, г > 0
дФ
г = 0: Ф а =дфа = 0
а дг
(1.3)
z = 0: NФl + ЛдФ = ^ / (х, у)Ь(г), дг 20
2 дФ1 + АФ 2 -
дг
^ = 0
дг2
лта + fт, Ф1 = Ф(х,у,г,г)
дх ду
Из сравнения задач (1.1) и (1.3) следует, что представление (1.2) позволяет уменьшить число уравнений и граничных условий исходной краевой задачи. При этом дифференциальные операции по х и у содержатся в задаче (1.3) только в виде оператора А.
Будем искать решение задачи (1.3) в виде
Ф a(x, y, z, t) = X An(x, y^fc t), а = 1,2, A„(x, y) = Д nf(x, y), n = 0,1,... (1.4)
Здесь и далее, если не оговорено иное, суммирование ведется от n = 0 до n = да. Под-
(а)
становка разложения (1.4) в задачу (1.3) показывает, что функции фП (z, t) (а = 1, 2, n = 0,1,...) должны быть решениями следующих краевых задач:
Мa9na) + фПч = 0, a = 1,2; z > 0, t > 0
(a)
t = 0: 9na) = ^ = 0
дг
(1) ,, (2) гг ,, (1) (2)
г = 0: А-У.йЖ + _^фП)1 + ¿Ф^ = Т0ь^п, 2^ + ^ - Щ- = 0 (1.5)
1 - 2у дг 1 - 2у п1 дг 20 дг дг
п = 0,1,..., фЮ = 0, М а = - "Г Й
01 Са дг
5 тп — символ Кронекера.
Для получения функций ф(па)(г, г) в общем виде рассмотрим вспомогательную краевую задачу
маРа-р2ра = 0, а = 1,2; Ра = Ра(р2,г,г), г > 0, г > 0
г = 0: Ра =дра = 0 (1.6)
дг
г = 0: \_-vtA-^р2р -р2др2 = Т0Ь(г), 2М-рр-Щ = 0 1 - 2у дг 1 - 2у дг дг дг
Полагая
Ра(Р2, г, г) = X (-1)п р 2прПа)(г, г) (1.7)
и подставляя эти ряды в задачу (1.6), получаем краевые задачи, совпадающие с (1.5) при замене р^'>(г,г) на фПа)(г, г), т.е. Ра(р2,г, г) — производящие функции для систем
{(-1)пфПа)(г,г)} (а = 1,2, п = 0,1,...)
Для решения краевой задачи (1.6) применяется преобразование Лапласа. Изобра-
2
жения функций Ра(р , г, г) имеют вид
Ра*(р2,г,■) = (-1)а+1 Т0#(Р,■)е-^Ь*(*); ц*(р,■) = 4 ЯЯ ,#(р,■) = 4 (1.8)
20 Яа Я4 -ррЯ я4 -р2ЯЯ2
2 I 2
Л2 = ^ + Р2, Rl = \Г2 + Р2, argRa = 0 при s > 0, а = 1,2
2c2 )ca
w*(s) = Ls{w(t)} = J w(t)e ~stdt
GO
Найдем с помощью соотношений (1.8) ряды изображений, соответствующие рядам (1.7). Используя таблицы [13], разложение в ряд функции Бесселя /0(и) и бином Ньютона, получим
^ = X, ^ (* г - гУ (г - г+2г^
К I (п !)222
Сг
^а ^а
= У у (-1)п(2п - к)!Р2пс2:-кV е^ (19)
УУ п !(п - к)! к !22п-к ,2п-к+1 '
п=0 к=0 п !(п к)!к !2 5
П(«) — единичная функция Хевисайда, причем законность почленного перехода к изображениям в последнем равенстве следует из известных теорем [12].
Положим ^ = с2р22. После преобразований получим
^(р,,) = (2с2)аXа(па) ^ ^ = ^ N0(1 + 20]
(2) 1 й , и ~
С=0
=1, п ]
п! йС,п
(1.10)
С=0
--2 , У2 = 4
(1 + 2О2 - 2 + С1
причем ряды (1.10) сходятся для достаточно больших |з|.
После подстановки выражений (1.9), (1.10) в соотношения (1.8) и перемножения
(а)*/ \ (а)*/ ч рядов получим с учетом равенств рп (г, 5) = ф„ (г, 5)
Ра*(р2, г,,) = X (-1)" р 2У„а)*(г,,)
Обращение изображений ф^^г, 5) приводит к соотношениям
1 Т п т С 2п-к+«+1^ ( \
Фпа (г, г) = (-2)а О ЕЕ (- 1)П+титка„ат (2т-к+1)(2-а) Ь2п-к+а+1 I г - ~ I
0 т-0 к=0 У V са/
т=0 к=0 У
г
(1.11)
итк =-(2т к)!2тк, Ь() = \Ьj-1(т)йт, ] = 1,2,..., Ь0(г) = Ь(г)
т!(т - к)! к!22т-к ' 0 '
Заметим, что Ьу(г) — оригиналы, они обращаются в нуль при отрицательных значениях аргумента.
2. Сходимость рядов. В случае Ап(х, у) = 0, п > N ряды (1.4) обращаются в конечные суммы и определяют точное решение задачи в замкнутом виде. В противном случае использование рядов (1.4) для получения решения поставленной задачи требует дополнительного обоснования.
Пусть 8 — линейный размер — масштабирующий коэффициент/(х, у). При исследовании сходимости рядов (1.4) ограничимся функциями /(х, у), удовлетворяющими соотношениям
д кАп(х, у)
дх ду
< С(2п +к + у)!, к,/ = 0,1,2,3, к > / (2.1)
8
где у — целое число, С — постоянная.
Для оценки фПх) (г, г) построим мажорирующие ряды по р2 для Pa(p2, г, г). Перейдем в рядах (1.9) и (1.10) к оригиналам и получим
. -Я л 2п 2п+1
-1 }е Яаг I ^Р С
( . 2Л
Яа ] (п !)22
2 _ г 2
V Са
2п 2п+1.2п
^^ г2 - ^ п| г - г-и = Ха(г)
Са ) (п !)22
2п+а-1 2п. 2п+а-1
¥(р,г)| < (2с2)аХ^Т2 р г п, = Ра(г) (2п + а -1)!
Оценка аЩ2 получается из соотношения, полученного ранее [11]:
¥(р, г) = Ц\з¥2*(р, ■)} = - 2с220ос8(с2р9г) - 8с2 | ^г >2 ^РМ^ (2.2)
1 -у П 1 г + 16^ г2
г2 = 2 - Г1 = V1 -у V, Г2 =71
0= 4(1 -у У)(1 -Э2)
Э6 - 6Э4 + 4Э2(3 - 2у2) - 4(1 - у2)
+г'р-Э — ненулевые корни уравнения Я4 -р2Я1Я2 = 0, 3 -л/5 < 92 < 0.9126... [10].
Сравнивая разложения изображений ¥ *(р, ■) и ¥2*(р, ■) в окрестности ■ = да и используя первую теорему разложения [12], найдем выражение а^ в виде суммы интеграла с конечными пределами и алгебраическими слагаемыми, которые при учете неравенств
8г4г1г2 < г8 +1 6г12г22 , 9 < 1, у < 1 легко оцениваются и приводят к соотношению
I (2)1 ^ а 1 , © , 1 п
К I -~2п+2, а = ~ + Т + — (2.3)
2 4 4п
Величины а.п и а^ связаны равенствами
п , (2)
« = ^ (-1) 2т ] ап т, п = 0,1,... (2.4)
т=0 (т!)222т(2т - 1)
получающимися я-кратным дифференцированием тождества
ю(0(1 + 20 = \ ^л/Т+С -~(=
\ л/1 + £
+ с
Используя неравенства для т!, следующие из формулы Стирлинга [14], получаем из соотношений (2.3) и (2.4)
К1 ^ (2.5)
у
Осуществляя свертку %а(г), ва(г) и Ь(г) и оценивая интегралы свертки, имеем с учетом соотношений (2.3) и (2.5)
2п 2п+а+1.2п+а
г
| Ра(р2* г, г) |< 4
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.