ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 4, с. 717-737
УДК 519.633
ДИНАМИЧЕСКИ АДАПТИРУЮЩИЕСЯ СЕТКИ ДЛЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ1)
© 2007 г. П. В. Бреславский, В. И. Мажукин
(125047 Москва, Миусская пл., 4, ИММ РАН) e-mail: immras@orc.ru Поступила в редакцию 13.11.2006 г.
Рассматривается дальнейшее развитие метода динамической адаптации для газодинамических задач, описывающих многократное взаимодействие ударных волн, волн разрежения и контактных границ. На примере тестовых задач Вудварда-Колеллы и неравномерно ускоряющегося поршня показана эффективность предлагаемого метода для задач газовой динамики с явным выделением ударных волн и контактных границ. Управляемое распределение узлов сетки осуществляется с помощью диффузионного приближения. Обоснован выбор коэффициента диффузии для получения в каждой из подобластей решения как квазиравномерных, так и сильно неравномерных сеток. Взаимодействие разрывов между собой разрешается при помощи задачи о распаде произвольного разрыва. Применение метода динамической адаптации к решению задачи Вудварда-Колеллы позволило получить решение на 420 ячейках, практически совпадающее с результатами WENO5м-метода на 12800 ячейках. В задаче о неравномерно ускоряющемся поршне при помощи выбора соответствующего коэффициента диффузии в функции преобразования построены сильно неравномерные расчетные сетки. С их помощью выполнено моделирование взаимодействия серии ударных волн с явным выделением ударных волн и контактных разрывов. Библ. 50. Фиг. 17.
Ключевые слова: газодинамические задачи, численный метод динамической адаптации разностных сеток, многократное взаимодействие разрывов, контактные границы.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в научной литературе имеется большое количество работ, посвященных проблемам построения и адаптации расчетных сеток [1]-[7]. Под адаптацией понимается процесс построения сеток с оптимальным по отношению к искомому решению распределением узлов. Обычно построение оптимальных сеток для той или иной задачи математической физики связано с наличием априорной информации о решении. Но если подобная информация отсутствует или структура и особенности решения быстро меняются с течением времени, что характерно для нестационарных задач, то построение оптимальных сеток сталкивается с рядом трудностей. Практическая возможность решения данной проблемы заключается в представлении поиска численного решения и построения расчетной сетки в виде единого процесса. По количеству опубликованных работ выделяются два основных направления построения адаптивных сеток для нестационарных задач: адаптивно встраивающиеся и динамически адаптирующиеся.
Адаптивно встраивающиеся алгоритмы (см. [8]-[10]), получившие в последние годы широкое распространение (см. [11], [12]), используются для повышения точности численного решения посредством дробления ячеек исходной сетки в областях резкого изменения решения. Дробление может применяться многократно, что определяет появление измельченных ячеек высоких (от 3-го до 6-го) уровней. Адаптивно встраивающиеся сетки отличаются сложным алгоритмом построения, связанным с переменным числом узлов и наличием зон сшивания разномасштабных ячеек.
В методах динамической адаптации (см. [13]-[21]), менее сложных алгоритмически и позволяющих работать как с постоянным (см. [19]), так и с переменным числом узлов (см. [18]), управляемое распределение узлов достигается посредством использования информации о динамике искомого решения. Это позволяет концентрировать большое количество узлов в зонах резкого изменения решения (см. [13]). Тесная взаимосвязь между динамикой решения и положением узлов сетки приводит к необходимости переопределения координат узлов на каждом временном слое. Это обстоятельство вынуждает предъявлять более жесткие требования к согласованию
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 04-01-00701, 06-07-89191-a).
динамики численного решения с движением узлов и к степени автоматизации построения сетки, из-за чего преимуществом обладают алгоритмы, в которых отсутствуют любые подгоночные параметры (см. [15]). Наиболее ярко эти особенности проявляются при построении адаптивных сеток для нестационарных задач газовой динамики (см. [16]-[22]), описывающих быстроменяющиеся процессы. Решение дифференциальных уравнений гиперболического типа, лежащих в основе газодинамических задач, накладывает дополнительные требования к механизму адаптации, которые заключаются в необходимости рассмотрения и учета разрывных решений, типа ударных волн и контактных границ.
Существующие методы решения задач газовой динамики можно условно разделить на два класса: методы сквозного счета (см. [23]) и методы с явным выделением границ (см. [24]). Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки.
Методы решения гиперболических систем уравнений без выделения разрывов - так называемые методы сквозного счета - в последнее время постоянно развиваются и улучшаются. Основная проблема при построении разностных схем в методах сквозного счета заключается в желании повысить точность аппроксимации и одновременно обеспечить получение монотонных численных решений, что при наличии сильных и слабых разрывов является нетривиальной задачей. Теорема С.К. Годунова (см. [25]) говорит, что в линейном случае монотонность можно обеспечить только в разностных схемах первого порядка аппроксимации. Первоначально для получения монотонных решений вводили в модель искусственную вязкость (линейную, квадратичную или их комбинации). В последние годы методы с искусственной вязкостью, как правило, не используются. Связано это не в последнюю очередь с тем, что разработаны новые алгоритмы решения задач газовой динамики со сглаживанием разрывов.
На первом этапе развитие "монотонизированных" разностных схем повышенного порядка точности связано с работами [26], [27] и методом антидиффузии с коррекцией потока (FCT-ме-тод) (см. [28]-[30]). Следующим шагом в развитии разностных схем для решения систем уравнений гиперболического типа можно считать появление TVD-схем (см., например, работы [31]-[34]) и возникновение ENO- и WENO-методов (см. [35], [36]). Другое, достаточно близкое к указанным выше методам направление основано на монотонной или квазимонотонной интерполяции сеточных решений. Методы, использующие данную технику, получили название методов реконструкции сеточных решений. В том числе конечно-параболическая реконструкция, так называемый PPM-метод (piecewise parabolic method, см. [37]). Более детально с названными методами решения задач газовой динамики можно ознакомиться в монографии [38] или обзоре [39].
Основными недостатками всех методов сквозного счета является использование слишком большого числа узлов сетки для достижения требуемой точности и необходимость использования монотонных разностных схем. Существенного ослабления этих факторов можно достичь применением алгоритмов с процедурами управляемого сгущения узлов сетки в областях возникновения разрывных решений.
Необходимость применения методов с явным выделением границ диктуется в первую очередь рядом практических приложений, таких, как например выделение энергии или строгий учет кинетики различных реакций в области разрыва. Методы явного выделения разрывов (см. [40]-[42]), несмотря на некоторые затруднения, связанные с относительной сложностью определения места и момента возникновения разрыва и построением сетки в области с изменяющейся геометрией в многомерных постановках, обладают несомненным преимуществом для широкого класса задач. В последние годы активно развиваются методы отслеживания фронтов (front tracking method, см. [40], [43]), как правило применяемые совместно с AMR (adaptive mesh refinement) алгоритмами, и методы с адаптацией под градиенты, основывающиеся на вариационных подходах (см. [44]), гармонических отображениях (см. [45]) и динамической адаптации (см. [4]).
Целью данной работы является дальнейшее развитие метода динамической адаптации для газодинамических задач, содержащих взаимодействующие разрывные решения типа ударных волн, волн разрежения и контактных границ.
В основу рассматриваемого метода динамической адаптации положен переход к произвольной нестационарной системе координат, в которой неизвестными являются не только сеточные функции, но и координаты узлов сетки. Преобразование координат производится с помощью искомого решения, и в зависимости от особенностей решения получают то или иное распределение узлов сетки (см. [4], [15], [19], [46]). Указанный подход позволяет производить вычисления как методами сквозного счета с автоматическим сгущением узлов к особенностям решения, так и методами с явным выделением подвижных границ и разрывов, когда это необходимо. Обоими
этими способами ранее исследовалась задача о равномерно ускоряющемся поршне (см. [19]). Была оценена эффективность алгоритма и выход на автомодельное решение.
Особенности метода динамической адаптации будут показаны на примере решения тестовой задачи Вудварда-Колеллы (см. [37]), являющейся в настоящее время наиболее распространенным тестом для всех новых методов решения задач газовой динамики, и задачи о неравномерно ускоряющемся поршне.
Основные проблемы в рассматриваемых примерах связаны с выделением разрывов и их взаимодействием. Выделение разрыва требует разработки надежного средства определения момента и местоположения возникающего разрыва. Многократное взаимодействие разрывов отличается большим разнообразием, которое может быть сведено к рассмотрению ряда элементарных взаимодействий: столкновение двух встречных ударных волн, поглощение одной ударной волны догоняющей ее другой ударной волной и прохождение ударной волны через контактную границу.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Дальнейшее моделирование производится в приближении динамики идеального газа. Тогда математически задача сводится к решению системы уравнений газовой динамики: дифференциальных законов сохранения массы, импульса и энергии, дополненных соответствующими каждой из задач начальными и граничными условиями. Ниже прив
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.