ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2013, том 49, № 5, с. 540-549
УДК 551.515.2:551.54
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДЕЛЕЙ АТМОСФЕРНЫХ
ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР
© 2013 г. Е. М. Добрышман, В. Г. Кочина, Т. А. Летунова
Институт физики атмосферы РАН 119017Москва, Пыжевский пер., 3 E-mail: masha@ifaran.ru Поступила в редакцию 22.02.2012 г., после доработки 27.12.2012 г.
Используются точные решения уравнений гидродинамики в цилиндрической системе координат для построения моделей вихревых структур и вычисления полей динамических характеристик моделей: скорости, вихря скорости и спиральности. В исходных уравнениях учитываются компоненты центростремительного ускорения и ускорения Кориолиса. Вводятся понятия внутренних и внешних решений. Для первых решений в правой части уравнений движения отсутствуют возмущения поля давления. Для вторых решений эти возмущения учитываются. Построение моделей осуществляется так, чтобы отчетливо было видно влияние учета пространственных координат на структуру указанных полей. Показано, что в моделях с центростремительным ускорением кинетическая энергия вращательного движения переходит в кинетическую энергию радиальной и вертикальной компонент скорости. В моделях с ускорением Кориолиса четко проявляется эффект Россби. Для построения внешних решений используется метод "обратной задачи" — каково может быть поле давления при заданных компонентах скорости. Вычисления показали, что основной вклад в модуль вихря скорости и спиральности на начальной стадии вносят их тангенциальные компоненты.
Ключевые слова: вихрь скорости, спиральность, центростремительное ускорение, ускорение Кориолиса, внутренние решения, внешние решения, пыльные дьяволы, торнадо, тайфуны.
DOI: 10.7868/S0002351513050027
ВВЕДЕНИЕ
1. При моделировании вихревых структур часто используются понятия вектора вихря скорости и спиральности. Числовые соотношения между компонентами этих величин в сильной степени зависят от отношений вертикального масштаба вихря (й0) к горизонтальному (X). Для торнадо и редко встречающихся водяных смерчей это отношение ~10—50, для пыльных дьяволов на Земле и на Марсе ~1, для тайфунов ~1/20—1/50 [1].
Компоненты вихря скорости имеют размерность 1/с. Эту размерность имеют и другие характеристики, используемые в гидродинамике и ее приложениях. Например, угловая частота, коэффициент ньютоновского трения, дивергенция и др. В последние годы стало использоваться понятие спиральности, определяемое как скалярное произведение вектора скорости на вектор вихря скорости [2]. Ее размерность м/с2 совпадает с природной характеристикой — размерностью ускорения свободного падения, что удобно при сопоставлении и сравнительном анализе различных моделей.
2. В естественных вихревых структурах число Маха обычно не превышает 1/2. Это позволяет использовать приближения несжимаемости и квазибаротропности среды.
I. СИСТЕМА УРАВНЕНИИ. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВИХРЯ, СКОРОСТИ И СПИРАЛЬНОСТИ
Общую систему уравнений для моделирования вихрей запишем в виде:
ди/д? - V1 /г + иди/дг + ( V/г)ди/50 +
-0
—д Н/дг'
д V/ д ? + и V/г + и д v/д г + ( V / г)д V/ д0 +
г0 (1.1)
—(1 / г )д н/ д0,
д w / д ? + и д ^/дг + ( V / г)д w / д0 +
-0
+ wдu/dz - vsin ф + w cos ф cos 0 =
+ w д v/dz + u sin ф — w cos ф sin 0 =
+ wд v/дz - (ucos0 - vsin0)cosф =
.- дн/д z
и, V, w — радиальная, тангенциальная, вертикальная компоненты скорости соответственно в локальной цилиндрической системе координат, центр которой помещен в центр вихря: г — радиус, 0 — полярный угол, отсчитываемый против часовой стрелки от радиуса, направленного на восток,
Z — вертикальная координата, совпадающая с осью вихря. Будем считать все переменные безразмерными (хотя характерный масштаб времени для пыльных дьяволов и торнадо определяется отношением радиуса вихря к максимальной скорости, а для тайфуна природной характеристикой — обратной величине угловой частоты вращения планеты ю). Поэтому в системе (1.1) перед компонентами ускорения Кориолиса опущен множитель 2ю. Для Земли ю = 7.29 х 10-5 1/с. Для Марса, где наблюдаются пыльные дьяволы, ю = 7.09 х 10-5 1/c, ф — географическая широта места; Н - отклонение геопотенциала от гидростатического баланса; дН/дг, (1/г) • дН/дО, dH/dz - радиальная, тангенциальная и вертикальная компоненты градиента геопотенциала H. Будем рассматривать два варианта: а) решения системы (1.1), где в правой части стоит ноль, будем называть внутренними; б) решения системы (1.1), где учитываются компоненты градиента геопотенциала, будем называть внешними.
Вертикальная компонента скорости будет определяться из закона сохранения массы идеальной несжимаемой жидкости — равенства нулю трехмерной дивергенции (уравнение неразрывности):
(\/г)д(гы)/дг + (1/г)д v/дО + dw/dz = 0
(заметим, что если ы, v ~ гт, то w ~ гт - 1; где m > 1). Уравнение неразрывности не обладает инвариантностью относительно смены знака тангенциальной компоненты скорости.
Будем использовать два варианта формулы для вычисления вертикальной скорости.
1) Квазибаротропная модель
(под этим будем понимать формулу
w = -(ы/г + ды/дг + (1/г) • д^дО)).1
2) Когда ы, v зависят от z,
w = - |(ы/г + ды/дг + (1/г) • д v/дО)^.
В цилиндрической системе координат вектор вихря скорости определяется формулой
Q = rotV = е1((1/г) • дw/дО - дv/z) +
+ е2(ды/дz - дw/дr) + е3(дv/дг - (1/г) • ды/дО),
где е1, е2, е3 - единичные векторы вдоль осей г, О, z соответственно. Выражения в скобках - соответствующие компоненты rotV, которые будем обозначать Q, Qe, Qz соответственно.
Спиральность Б = Уго\У = ыОг + + Под завихренностью О будем понимать модуль вектора вихря скорости О = ТО+О+О).
Будем изучать влияние центростремительного ускорения и ускорения Кориолиса на скорость, завихренность и спиральность.
II. ВЛИЯНИЕ ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ НА ПОЛЯ СКОРОСТИ, ЗАВИХРЕННОСТИ И СПИРАЛЬНОСТИ
11.1. Внутренние решения 11.1.1. Осесимметричные модели (д/дв = 0) Рассмотрим систему уравнений:
ды/дг - v2/г = 0 дv/дt + ыv/г = 0.
(2.1)
h
1 /u , дu , 1 дv) , , ,„ ,,
- I - +---\---dz, где h — высота вихря. (прим.ред.).
hJ V r д r r dv■>
Отметим некоторые свойства этой квазилинейной системы. Первое: система имеет интеграл движения — кинетическую энергию Е = 1/2(ы2 + V2), пропорциональную квадрату горизонтальной компоненты скорости V, dE/dt = 0. Второе: знак V несущественен. Вихрь может вращаться в любую сторону. Поскольку имеется интеграл движения, то начальное условие достаточно задать для одной из функций ы или V. Удобно интерпретировать решения, задавая радиальную компоненту скорости ы.
Приведем простейшее решение системы (2.1):
Модель 1. ы = гV = г/еИ(0.
Это решение назовем основным, поскольку почти во всех моделях зависимость от времени горизонтальных компонент скорости будет выражаться через для ы и 1/сИ(0 для V. На рис. 1а представлены функции времени, которые встретятся в моделях.
Для этого решения, У = */( и2 + V2) = г, вычислим компоненты вихря скорости и спиральности:
Ог = 0, Ое = 0, О, = дv/дг = 1/сИ(0;
Б = wдv/дг = -2&^)/сИ(0.
Простота этих формул не нуждается в иллюстрации. Обратим внимание на то, что вычисление w из уравнений неразрывности в неосесим-метричных моделях будет зависеть от знака тангенциальной компоненты скорости V.
Поскольку производные по полярному углу и высоте входят только в уравнения неразрывности, то для системы (2.1) эти пространственные переменные являются параметрами. Легко проверить, что можно написать более общее решение системы (2.1):
ы = гТ(г, 0, г)А(?Т(г, 0, ,)), V = гТ(г, 0, г)М(?Т(г, 0, ,)), У = гГ(г, 0, ,).
о
(а) 1.00
0.75
0.50
0.25
0
0.25 0.50
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
t
(б)
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0
r r
u v V
6 ------- 6 --------11 6
Z/9 /
4 ' /' \ , 4 /V 4 —
.X \12
2 8 2 - _________ _ _ 2 -
-----\ 13
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 r
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 r
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 r
14
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 r
Рис. 1. а — Некоторые функции, встречающиеся в моделях, при г = 1: и = гШ(г) (1), V = г/сИ(г) (2), ди/дг = г/сИ2(г) (3),
дv/дt = -п>И(0М2(0 = -uv/г (4), 1п(сИ(0)/Г (модель 4) (5), V = «2 + V2) = г (б). б - К модели 1: (1), (2), (3) - радиальная компонента скорости и при ^ = 0.25, г2 = 0.75, гз = 1.25 соответственно. (4), (5), (б) — тангенциальная компонента скорости V для тех же моментов времени; (7) — модуль горизонтальной компоненты скорости V для любого момента времени. К модели 2: (8), (9), (10) — и при ^ = 0.25, г2 = 0.75, гз = 1.25 соответственно; (11), (12), (13) — V для тех же моментов времени; (14) — Vдля любого момента времени.
1
1
0
0
0
Использование уравнения неразрывности и возможность получать аналитические решения в явном виде накладывают некоторые ограничения на функцию / Примем общий вид функции / в форме/=/1(г)/¡(О/зСг). Конкретный вид/1, / и/з будет указан в последующих моделях. Они будут подбираться так, чтобы было отчетливо видно влияние учета каждой из пространственных координат на вихрь скорости и спиральность. Другое точное решение системы (2.1): и = гт ггт — 1), V = гт/сИ(ггт — 1). Чтобы избежать особенностей в точке г = 0, будем считать, что т > 1.
Модель 2. Приведем результаты расчетов для случая т = 2: и = ЛИ^г), V = г2/сИ(гг). = 0, =
= -dw/dr = 3th(tr) + 5rt/ch2(tr) - 2r2t2sh(tr)/ch3(tr), Qz=dv/dr = 2 r/ch(tr) - r2t ■ sh(tr)/ch2(tr), ^ = vQ0 + wQz.
На рис. 1б приведены изолинии радиальной, тангенциальной и горизонтальной компонент скорости для моделей 1 и 2.
В модели 1 оператор (1/r)d(ru)/dr = 2th(t), следовательно, w = -2th(t). Заметим, что при t —да w —-2, т.е. не зависит от радиуса. Это стандартная ситуация для задач в цилиндрических координатах, при этом константа зависит от постановки задачи. Например, в классической задаче о вращении диска бесконечного радиуса в вязкой несжимаемой жидкости w —» const, где const = wx (w —- wx при z—- да). [3-6].
(а)
1.0
0.5
-0.5 -1.0
1.5 1.0 0.5 0 0.5 1.0 1.5
/ /
/
V 4 _ 50 0 1000 ..
—---^5005
\
| ' | |
1.0
0.5
0
(в)
0.5
1.0
1
0
1
1.5 1.0 0.5 0 0.5 1.0 1.5
1.0 |
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.