ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2011, № 4, с. 48-57
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 681.511.3
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
© 2011 г. Л. С. Гноенский, Е. А. Шишкин
Москва, МГУПИ Поступила в редакцию 08.10.10 г., после доработки 25.02.11 г.
Вводится понятие типового элементарного звена с запаздыванием. Изучаются зависимости динамических показателей качества звена первого порядка от его параметров.
Введение. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом [1—3] и, в частности, уравнения с запаздыванием широко используются в качестве математических моделей систем автоматического регулирования. Если такие уравнения линейны, обладают постоянными коэффициентами и постоянными запаздываниями, то для их исследования могут применяться некоторые (далеко не все) методы линейной теории автоматического регулирования, ориентированной в основном на обыкновенные (без запаздывания) системы.
Представляется естественным и полезным распространить на уравнения с запаздыванием понятие типовых элементарных звеньев (ТЭЗ). Так принято в [4] называть математические модели, с одной стороны, легко поддающиеся аналитическому исследованию, а с другой — описывающие поведение большого числа встречающихся на практике элементов. ТЭЗ с запаздыванием также описывают большое число элементов (систем), но их аналитическое исследование затруднительно тем, что соответствующие им мероморфные передаточные функции (ПФ) имеют на комплексной плоскости бесконечное число полюсов. Поэтому основной инструмент исследования в данном случае — численный анализ.
1. Математическая модель ТЭЗ с запаздыванием. В настоящей работе рассматривается модель первого порядка
Ту'(?) + у (? -т) = х(?), Т, т> 0. (1.1)
Ей соответствует ПФ
= ^ (Р) = . (1.2)
X (р) Тр + е-рт
Модель (1.1), (1.2) "порождается" "обыкновенным" апериодическим звеном
Ту' (?) + у (?) = х (?) (1.3)
с ПФ
Хл - е (р) = ттг • (1.4)
X (р) Тр +1
Модель (1.3) "порождает" и уравнение с отклоняющимся аргументом опережающего [1, 5] типа
Ту' (? -т) + у (?) = х (?).
Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет бесконечную последовательность корнейрк, причем Яерк ^ +да при к ^ да и, таким образом, эта система неустойчива. Наконец, логически возможная "порожденная" модель
Ту' (? -т) + у (? -т) = х (?)
не является фактически уравнением с отклоняющимся аргументом. В силу этого в работе основное внимание уделено модели (1.1), (1.2).
2. Динамические характеристики. Поведение любого элемента зависит от его начального состояния и характера внешних воздействий. Далее предполагается, что
y(?) = 0 при t < 0. (2.1)
Напомним, что для однозначного определения дифференциального уравнения с запаздыванием требуется [1] задать не только начальные условия в момент t = 0, но и начальную функцию на отрезке [—т, 0]. Рассматриваются следующие варианты поведения внешнего воздействия и соответствующие им динамические характеристики.
1. Ступенчатый входной сигнал
X(t) = x0 > 0 при t > 0, X(?) = 0 при t < 0. (2.2)
При этом определяются следующие динамические характеристики. Перерегулирование:
а = Утах ~ Ууст, где ymax = max |y (t)|, УуСТ = lim y (t). (2.3)
Ууст t e (0' t
Время регулирования — момент времени t рег, для которого выполняются условия
|у (t рег) - Ууст| = А 0 у уст , |у (t) - Ууст| < А 0 у уст при t G (?рег, (2.4)
Здесь А0 > 0 — заданная доля ууст, например 0.01, 0.02, 0.05, определяемая техническими условиями работы системы. Предполагается, что система асимптотически устойчива, поэтому в силу (1.1) Ууст = X 0.
2. Гармоническое воздействие
X (t) = х0 cos (ю?) .
Это воздействие рассматривается здесь как возмущение. Известно [4] справедливое при t ^ да соотношение
Ууст (?) = A(ю)X0 cos (ю? + Ф(ю)), (2.5)
A (ю) = G |(/ю)|, ф (<а) = arg G (i<), ^^ = G (p)
„-p%
X (p) Tp + e~
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) А(ю) отражает реакцию системы на гармоническое возмущение. Помимо АЧХ А(ю) определяются величины
Amax = max A (ю), ю* = arg max A (ю). (2.6)
ше [0, да) ffle [0, да)
3. Неполная информация о в о з м у щ е н и и. Возмущение x(t) заранее неизвестная измеримая и ограниченная функция
X(?) е X0 = {x(?)||x(?) < X0}. (2.7)
Точность работы системы в этой ситуации (режим стабилизации) определяется [5, 6] глобальным точностным показателем качества (ТПК) — максимальным возможным отклонением выходного сигнала от состояния покоя
У = max max |y (?)|. (2.8)
t е [0, да) X(t) е X0
4. Неполная информация о входном сигнале. Подлежащий воспроизведению входной сигнал x(t) — заранее неизвестная функция времени, ограниченная лишь условием
X(?) е X1 = {x (t)|, X(0) = 0, X' (?)| < Xi}. (2.9)
Точность воспроизведения входного сигнала в этой ситуации (режим слежения) определяется [6, 7] глобальным ТПК — максимальной возможной ошибкой воспроизведения входного сигнала
1
Рис. 1
6 = max max |s (t)|, s (t) = x(t) - y (t). (2.10)
t e [0, о) x(t) e Xj
3. Результаты. Для "порождающей" системы (1.3), (1.4) описанные динамические характеристики имеют [4, 7] вид
а = 0, tpcr = 3T (при А0 = 0.05), ^max = 1, ю* = 0, y = x0, ё = Tx1. (3.1) Система (1.1) заменой переменных
t = t1T, y (t) = y (t1x) = y (t 1), x (t) = x (t1x) = x (t 1) (3.2) приводится к виду
I dM + y (t1 -1) = x (t1), X = T • (3.3)
Л dt1 i
В силу этого характеристики а, Amax, y будут функциями только одного параметра X.
Вычислительные методы решения уравнений с отклоняющимся аргументом запаздывающего и нейтрального типа, основанные на использовании разностных схем Эйлера, Адамса, Рунге— Кутты и их модификаций, рассмотрены в [8] и используются в настоящей работе.
Если в (1.1) x(t) — подлежащий воспроизведению входной сигнал, то этому уравнению и ПФ (1.2) можно поставить в соответствие структурную схему астатической системы на рис. 1, где коэффициент усиления к = 1/ T.
Наличие запаздывания в цепи обратной связи приводит к использованию в законе управления u (t) = к (x (t) - y (t - т)) "устаревшей" информации о текущих значениях выходного сигнала. Это, конечно, не способствует улучшению динамических характеристик системы (1.1) по сравнению с их значениями у "порождающей" системы (1.3). Применяя критерий Найквиста [4] к схеме на рис. 1, нетрудно установить, что необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости системы (1.1) имеет вид
1.5708, (3.4)
T 2
в то время как "порождающая система" (1.3) асимптотически устойчива при любом T > 0.
На рис. 2 изображена зависимость перерегулирования а из (2.2), (2.3) от X = т/T. Следует отметить сравнительно низкую степень чувствительности а к наличию запаздывания т. Вплоть до уровня X = 0.5 перерегулирование, как и в случае X = 0, отсутствует. С приемлемой в прикладных задачах точностью можно считать, что
0.5, . (3.5)
Представленная на рис. 3 функция T = ф (X) обладает интересной (на взгляд авторов) особенностью. Она возрастает, когда X е (0.51, я/2), причем lim ф(X) = да, чего и следовало ожи-
Х^П 2
дать. Однако эта функция убывает при X е [0, 0.51). Мы имеем здесь дело с достаточно редкой ситуацией, когда наличие запаздывания (не очень большого) улучшает важную динамическую характеристику системы.
Следует отметить, что Д. Маринова для конкретной линейной стационарной системы с запаздыванием показала [9] наличие интервала (т1, т 2) значений запаздывания т, такого, что система
а = X — 0.5 при X е
Рис. 2
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 1
..........I
г
1
1
1
1
..........I
г
1
1
п/21
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1
Рис. 3
асимптотически устойчива при т е (ть т2) и неустойчива в левой и правой окрестности этого интервала. Заметим еще, что разрывы первого рода функции ф на рис. 3 есть прямое следствие особенностей определения величины tрег в (2.4). Действительно, возможна ситуация, когда для сколь угодно близких значений X и Х + А А
-Fl (W ) = Х0 С1 - А 0 ) , У Х+АХ (t рег, Х+АХ ) = х о (1 + А 0 ) .
В силу непрерывности и ограниченности решения системы (1.1) и его производной при х (t) = х0, y (t) = 0 (t < 0) значения х+дх и х могут существенно отличаться при АХ ^ 0. Эта особенность функциональной зависимости от параметров обыкновенной линейной системы выше первого порядка отмечалась, в частности, в [10].
На рис. 4 и 5 приведены зависимости величин ё/ (х{Г), y/x0 из (2.10), (2.8) от X = т/ Г. Они монотонно возрастают с ростом X и lim S = lim y = да. И здесь наблюдается сравнительно малая
X ^ П 2 X ^ П 2
чувствительность ё/(х1Г) к изменению X. До уровня X = 0.4 величина ё/(х1Г) практически не изменяется.
0
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
.......... 1
..........L
1
1
1
|
..........I
t
!п/21
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 X
Рис. 4
0
Рис. 5
Рисунки 6 и 7 изображают характеристики Amax, ю* из (2.5), (2.6) при гармоническом внешнем воздействии х (t) = х0 cos (rot).
Для "порождающей" системы (1.3), (1.4) A (го) = (T 2го2 + 1)-1/2 — монотонно убывающая функция, Amax = 1, ю* = 0. В исследуемой системе (1.1), (1.2) вплоть до уровня X = 0.51 также имеют место соотношения Amax = 1, ю* = 0. Однако дальнейший рост X вплоть до X = я/2 приводит к возрастанию Amax и Amax ^ да при X ^ п/2. Действительно, из (1.2) следует
A (го) = G (/го) = (1 - 2Tго sin (ют) + T 2го2)-1/2.
Положим Tro = z, B(z) = 1 - 2zsin (Xz) + z2, X = т/T, A(ro) = A(z) = (B(z))"^2. Необходимое условие существования экстремума А(ю) имеет вид
B' (z) = 0, т.е. 1 -X cos (Xz) = X Sln (Xz)
Xz
или
1 -X cos (&) = X , & = Xz = тго. (3.6)
0
A
^max 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 А
ю* 1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 А Рис. 7
/ 1
1
1
1
1
.........I
г .........L
1
1
1
1
1
п/2
Рис. 6
Т
.......... .........1-
.........1
1 I
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.