ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 1, с. 21-35
УДК 551.511.61
ДИНАМИЧЕСКИЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, КРИВАЯ ТИПИЧНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ И ЛЯПУНОВСКИЕ ЭКСПОНЕНТЫ
© 2008 г. В. И. Кляцкин
Институт физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН 119017 Москва, Пыжевский пер., 3 E-mail: klyatskin yandex.ru Поступила в редакцию 19.04.2007 г., после доработки 29.05.2007 г.
В работе обсуждается связь статистического описания динамических стохастических систем на основе идей статистической топографии с традиционным методом анализа устойчивости динамических систем по Ляпунову с помощью анализа ляпуновских характеристических показателей (ляпуновские экспоненты).
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время внимание как теоретиков, так и экспериментаторов привлекает вопрос о связи динамики усредненных характеристик решения задачи с поведением решения в отдельных реализациях. Это особенно актуально для геофизических проблем, связанных с атмосферой и океаном, где, вообще говоря, отсутствует соответствующий ансамбль усреднения и экспериментаторы, как правило, имеют дело с отдельными реализациями.
Решение динамических задач для конкретных реализаций параметров среды практически безнадежно из-за их чрезвычайной математической сложности. В то же время исследователей интересуют основные особенности протекающих явлений, без отвлечения на частности. Поэтому очень привлекательной оказалась идея использовать хорошо развитый математический аппарат случайных процессов и полей, т.е. вместо отдельных реализаций исследуемых процессов рассматривать статистические средние по всему ансамблю возможных реализаций. В настоящее время, например, практически все задачи физики атмосферы и океана в той или иной степени основываются на статистическом анализе.
Введение случайности в параметрах среды порождает стохастичность в самих физических полях. Индивидуальные реализации, например, скалярных двумерных полей р(г, г), г = (х, у) напоминают сложный горный ландшафт со случайно распределенными пиками, провалами, хребтами и перевалами. На рис. 1 приведены примеры реализаций двух случайных полей разной статистической структуры.
Обычно используемые методы статистического усреднения (т.е. вычисления средних величин типа среднего значения - (р(г, г)), пространственно-временной корреляционной функции - (р(г, г)
р(г', г')) и т. п., где через (...) обозначено усреднение по ансамблю реализаций случайных параметров) сглаживают качественные особенности отдельных реализаций, и зачастую полученные статистические характеристики не только не имеют ничего общего с поведением отдельных реализаций, но даже на первый взгляд им противоречат.
Таким образом, статистические средние указанного типа обычно характеризуют "глобальные" пространственно-временные масштабы области, где осуществляются стохастические процессы, и ничего не говорят о деталях развития процессов внутри нее, а такие детали существенно зависят от характера флуктуаций параметров динамических систем.
В ряде случаев существуют, однако, физические процессы и явления, происходящие с вероятностью единица, называемые когерентными (см. [1, 2], где подробно обсуждается этот вопрос). Подобную "статистическую когерентность" можно рассматривать как некую организацию сложной динамической системы и выделение ее статистически устойчивых характеристик аналогично понятию когерентности как самоорганизации многокомпонентных систем, возникающих из хаотических взаимодействий их элементов (см., например, [3]).
Полная статистика (например, полная совокупность всех пространственно-временных «-точечных моментных функций), безусловно, содержит всю информацию о динамической системе. Однако на практике удается исследовать лишь некоторые простейшие статистические характеристики, связанные, главным образом, с одновременными и одноточечными распределениями вероятностей. Поэтому возникает вопрос - как, зная такого рода статистические характеристики и особенности системы, описать основные количе-
(а)
2 0
-2 140
140 120 100 80 60
КЛЯЦКИН 4
60 80 100 120 140
(б)
2 1 0
140 -1
-2
3
2 140
140
60 80 100 120 140
3 2 1
Рис. 1. Реализации гауссова поля с нулевым средним значением (а) и логнормального поля (б) и топографические линии уровня этих полей. Жирными кривыми на нижних рисунках обозначены линии уровня, соответствующие значениям 0 (а) и 1 (б).
ственные и качественные особенности поведения отдельных ее реализаций.
Ответ на этот вопрос дают методы статистической топографии (см., например, работу [4]). Методы статистической топографии позволяют переосмыслить "философию" статистического анализа динамических стохастических систем, что может быть полезно и для экспериментаторов, планирующих статистическую обработку экспериментального материала.
Ниже мы рассмотрим применение методов статистической топографии к задаче статистического описания диффузии и кластеризации частиц и поля концентрации пассивной примеси в случайных гидродинамических потоках. Традиционный метод анализа устойчивости по Ляпунову этих задач на основе анализа ляпуновских характеристических показателей (ляпуновские экспоненты) применялся в работах [5, 6].
Подробное изложение всех затронутых вопросов и проблем можно найти в [7-9].
1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТОПОГРАФИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ
Прежде всего обсудим понятие типичной реализации процесса г(0, характеризующих основные особенности поведения отдельной реализации процесса в целом на всем интервале времени.
1.1. Кривая типичной реализации случайного процесса
Пусть z(t) - случайный процесс. Статистические характеристики процесса z(t) в фиксированный момент времени t полностью описываются либо ее плотностью вероятностей Р^, t), параметрически зависящей от времени t, либо интегральной функцией распределения, определяющей вероятность того, что в фиксированный момент времени t значение процесса z(t) < z:
z
z, t) = РгоЬ(z(I)< z) = | dz'Р(zt).
Назовем кривой типичной реализации случайного процесса z(t) детерминированную кривую z*(t), которая является медианой интегральной функции распределения.
Эта функция определяется как решение алгебраического уравнения
^(z*(t), t) = 1/2.
Основанием для этого является свойство медианы, заключающееся в том, что для любого интервала времени ^ случайный процесс z(t) как бы "обвивает" кривую z*(t) таким образом, что среднее время, в течение которого выполняется неравенство z(t) > z*(t), совпадает со средним време-
нем, в течение которого выполняется обратное неравенство z(г) < z*(г) (рис. 2), т.е.
< Tz(г)> z*(г)) = < Tz(г) <z*(г)) = 2 (г2 - г 1)'
Кривая z*(г) может, естественно, существенно отличаться от любой конкретной реализации процесса z(г), и она не описывает величину возможных выбросов. Таким образом, кривая типичной реализации z*(г) случайного процесса z(г), полученная с помощью одновременной плотности вероятностей, определена, тем не менее, на всем интервале времени г е (0,
Для конкретных типов случайных процессов можно получить дополнительную информацию, характеризующую выбросы относительно этой кривой.
1.1.1. Простейшие случайные процессы
Для гауссова случайного процесса z(t) со средним значением г)) и дисперсией а2(г) = ^2(г)) - ^(г))2 одновременная плотность вероятностей
Рис. 2. К определению кривой типичной реализации случайного процесса.
Если мы знаем поведение моментных функций логарифмически нормального случайного процесса у (г), т.е. функции (уп(г)) (п = 1, 2, ...), то тем самым мы знаем и статистические характеристики случайного процесса z(г) = 1п у (г). В самом деле, согласно формуле (2) при X = п имеем,
Р (^ г) =
1-ехриz- <z(г)))2
<уп( г)) = <еп 1пу (г)) =
л/2 па2( г)
2а2 (г)
и кривая типичной реализации совпадает со средним значением процесса z(г), т.е.
¿*(г) = Ш). (1)
Для гауссова случайного процесса производящая (или характеристическая) функция
<е*(г)) = | dzeXz(г)Р(^ г) =
= ехр к< z (г)) +1 а2( г)[.
(2)
;л/2гса2 (г)
ехр
2а2( г) .
и кривая типичной реализации определяется равенством
у* (г) = е < «г)) = е<1пу(г)).
(3)
2
п2
= ехр \п < 1п у (г)) + у а1пу( г)
и,следовательно,
1
< 1п у (г)) = 11ш-1п < уп (г)),
п ^ 0п
2_
2
п ^ ~п
а?пу (г) = 11ш^1п < уп (г)).
(4)
Для логарифмически нормального случайного процесса у(г), логарифм которого является гауссовым случайным процессом z(г),
у(г) = ег(г),
одновременная плотность вероятностей Р(у, г) имеет вид
Р(у, г) = уР(z = 1пу, г) =
1.1.2. Простейшие марковские случайные процессы
Винеровский случайный процесс
Винеровский случайный процесс определяется как решение стохастического уравнения
(г) = ^ г), * (0) = 0,
где z(г) - гауссов дельта-коррелированный во времени процесс (процесс "белого шума") с параметрами
<z(г)) = 0, <z(г)z(г')) = 2а2То8(г - г').
Такой подход называется приближение дельта-коррелированности процессов во времени. Относительно физического смысла параметров а2 и т0 см., например, в книгах [7] -[9].
Решение этого уравнения
ъ (t) = | dтz (т)
Соответствующая интегральная функция распределения, равная вероятности того, что м>(Г, а) < и>, равна
- непрерывный гауссов нестационарный случайный процесс с параметрами
<ъ(t)> = 0, <ъ(t)ъ(t')> = 2а2т0шт(t, t').
Отметим, что приращение процесса м>({) на интервале времени ^ц^, t2)
ъ(11; t2) = ъ(12) - ъ(11) = |dтz(т),
подобно самому процессу ъ(0, также имеет гауссову статистику с параметрами
< ъ (11; t2 )> = 0, <[ ъ (11; t1)] 2> = 2 а2То| Ч-
Винеровский случайный процесс есть
гауссов непрерывный процесс с независимыми приращениями. Это означает, что для неперекрывающихся интервалов ^ц^, t2) и (ц, приращения процесса на этих интервалах статистически независимы.
^(ъ, t; а) = | dwP(ъ, t; а) =
= Ф Ж + "V 1 •
(7)
где
4
ф(z) = -7= [ Лу ехр
у_
2
(8)
- интеграл вероятностей. При этом кривая типичной реализации винеровского случайного процесса со сносом, в соответствии с формулой (3), является линейной функцией времени
м>*(г, а) = -а^
С помощью винеровского случайного процесса можно конструировать различные другие процессы, удобные для моделирования различных физических явлений. Для положительных вели
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.