ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2013
МЕХАНИКА МАШИН
УДК 534.1
© 2013 г. Банах Л.Я., Бармина О.В.
ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА САМОПОДОБНЫХ СТРУКТУР В МЕХАНИКЕ1
Самоподобными называются структуры, в которых каждая ячейка в определенном масштабе повторяет структуру предыдущей. Рассматриваются механические колебания таких структур. В качестве примеров изучаются колебания систем, параметры которых меняются по длине с некоторым масштабом: продольные колебания стержня с сосредоточенными массами; балка ступенчатого сечения; двумерная самоподобная решетка. Выявлены характерные свойства при колебаниях таких систем: самоподобные системы представляют собой механический полосовой фильтр; способность усиления (уменьшения) передаваемого сигнала вдоль длины.
Самоподобные структуры в механике. Регулярные структуры, обладающие трансляционной симметрией, составляют достаточно ограниченный класс структур и не описывают многих природных и технических систем. Однако, его можно существенно расширить, дополнив классом самоподобных структур: структуры, в которых каждая ячейка в определенном масштабе повторяет структуру предыдущей (здесь трансляционная симметрия сопровождается преобразованием подобия (масштабирования) соседних ячеек — один из видов фракталов); структуры с винтовой симметрией с расположением ячеек вдоль винтовой линии с одинаковым шагом: системы с зеркальной симметрией; самоподобные структуры, для которых винтовая симметрия сопровождается преобразованием подобия соседних ячеек.
Именно такие структуры преобладают в биологии, химии полимеров и физике. Рост и формирование полимерных молекул, кристаллов сопровождается образованием фракталов. Многие ученые изучают фракталы, главным образом, как способ формообразования различных структур [1, 2]. Что же касается изучения таких структур в механических конструкциях, то их структура, созданная человеком, более простая, чем природных образований, но их изучение имеет свою специфику. Первостепенное значение для них имеют динамические и вибрационные свойства. Динамические свойства самоподобных структур исследованы значительно меньше и их изучению и посвящена настоящая статья.
В качестве наиболее распространенных в механике самоподобных структур можно указать такие, как стержень со ступенчато изменяющимся сечением, вал с дисками,
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (Грант № 11-08-90434 Укр_ф_а).
параметры которого меняются по участкам, коническая оболочка с оребрением, коленчатые валы (винтовая симметрия), конические пружины и т.п. [3].
Рассмотрим принципиальные динамические свойства таких структур и методы их исследования на достаточно простых системах.
Колебания самоподобных структур. Дисперсионное уравнение и формы колебаний. Математическое исследование динамических процессов в самоподобных структурах можно провести на основе единого подхода [4]. Исследуем продольные колебания стержня круглого сечения с закрепленными на нем сосредоточенными массами. Предположим, что геометрические параметры стержня (I — длина, г — радиус поперечного сечения) меняются с одинаковым масштабом у и также меняются величины масс (рис. 1, а). Тогда жесткость и масса для 5 + 1-го элемента системы
к,
Е¥,
5 + 1
+ 1
I.
+1
2 2 Е лу г5
у^ , т = ут+1-
(1)
Таким образом, парциальные частоты для каждой массы одинаковы и равны
22
= v2 = ... Vп = кБ/тБ. Условие (1) можно рассматривать как условие самоподобия. Уравнение самоподобной структуры (рис. 1, а) в матричной форме имеет вид
-т1 ю + к1 -к,
-к,
т2 ю + к1 (1 + у)
-Ук1
-Ук1
2
-т3ю + к1у( 1 + у)
2
-у к
2
-у к
X = 0,
(2)
где Xх = [х1, х2, х3...хи]; ю — частота собственных колебаний.
Эти уравнения можно рассматривать как уравнения в конечных разностях с переменными коэффициентами, зависящими от номера узла 5, т.е. от х. Тогда уравнение для 5-го узла
5_ 1 ^ 2 5_ 1 5
- к1У --1 + [- т1Ую + к1У (1 + УЖ - к1У - +1
0.
(3)
Проведем в (2) замену переменных X * = га, N = ^ [ 1/у 1/у2 ... 1/у" ],
(4)
что означает умножение матрицы ^ — ю^ОД справа и слева на матрицу N и В результате получим
[К - ю2М] * = К - ю2М]N,
- т1ю + — /У
к
(К - ю 2 М) *
/у
1 2 к1 (1 + у) —- - т,ю +-
л/у
/у
-/у
2 к1 (1 + у)
- т1ю + ------------------
-л/л/^ П /
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 1. Самоподобная стержневая структура с сосредоточенными массами (а) и эквивалентная периодическая структура, имеющая такие же собственные частоты (б) Рис. 2. Дисперсионная кривая для действительных волновых значений
Уравнение (5), очевидно, описывает регулярную структуру с трансляционной симметрией с одинаковыми массами шъ жесткость между которыми постоянна и равна £:у-1/2. При этом имеется дополнительное закрепление масс, равное кх(1 + у)у-1 - 2к1у—1/2 = к1(1 - у1/2)2у-1 = к* (рис. 1, б).
Уравнение (5) можно записать как уравнение в конечных разностях, но с постоянными коэффициентами. Уравнение для 5-й массы
к
- -1 Х-1 +
2 к1 (1 + у)" - т1ю +
к
г * -1- 1- X- --X +1 = 0. (6)
л/у 1 ^ -I Ту
Частное решение уравнения (6) имеет вид [5]
X = СКШ-^. (7)
Решение (7) можно трактовать как волну, где ю — собственная частота, а ц — волновой параметр, характеризующий изменение фазы при переходе от элемента 5 к 5 + 1 и определяющий длину волны, равную = 2п/ац, где а — расстояние между соседними массами в исходной системе. Подставляя (7) в (6) находим дисперсионное уравнение, связывающее частоту колебаний и волновое число. Дисперсионное уравнение для системы рис. 1, б имеет вид для действительных ц
-т1ю2 + к-(1 + у)- 2^-008ц = 0; (8)
у Л
для чисто мнимых ц = ;ц'
- т1ю2 + к 1 ( 1 + У )- 2^оЬц' = 0.
1 У /у *
Действительные значения ц определяются из уравнения (8) при |ео8 ц| < 1. Отсюда следует, что данная система — это механический полосовой частотный фильтр, полоса пропускания гармонического сигнала ю0 < ю < ю* (рис. 2), где
юп
к*/т = к1 (1- л/у)2/ту при ц = 0,
2
ю
*2
= к1( 1 + „/у)2 / да у при ц = п.
Следовательно, полоса пропускания определяется как
Л 2 *2 2 -1/2
Аю = ю - ю0 = 4 ку .
Таким образом, полоса пропускания обратно пропорциональна параметру подобия у. Чем больше у, тем меньше полоса пропускания. Для механических систем этот параметр не очень велик, порядка 1,5—3, но для биологических может быть больше. Если у очень велико, то в пределе полоса пропускания становится очень узкой, что означает, что система настроена только на одну определенную частоту.
Вне полосы пропускания (рис. 2) колебания экспоненциально затухают (или возрастают) и решение имеет вид
-17* Л/ 1 \1 П1 П/ 1 \1 -П1
X* = A(-1) е + B(-1)е ,
ch n =
1-
ю
2v2 2 kj&
1-
ю
2 v,.
(1 - Jy ) 2
/у ■
Безграничное возрастание амплитуды собственных колебаний, очевидно, невозможно в реальной системе в силу отсутствия в ней источника энергии.
Поскольку линейное преобразование координат (4) не меняет частотных свойств, то структуры (рис. 1) имеют одинаковые частоты. Следовательно самоподобная система (рис. 1, а) является полосовым механическим фильтром частот.
Что касается форм колебаний, то в соответствии с преобразованием координат (4) они легко получаются из соответствующей формы колебаний регулярной структуры (рис. 1, б), путем пропорционального изменения амплитуды колебаний каждого участка в у раз. Рассмотрим в качестве примера построение высшей формы колебаний для самоподобной системы (рис. 1, а) при закрепленных концах. Для регулярной структуры (рис. 1, б) это синусоида и соседние массы находятся в противофазе. Следовательно, соответствующая форма колебаний исходной самоподобной структуры (рис. 1, а) получается путем увеличения амплитуды каждой массы в у раз. Таким образом, получаем форму колебаний с постоянно увеличивающимися амплитудами (рис. 3). Огибающая этой формы колебаний — прямая с углом наклона, равным у, а точки с максимальной амплитудой каждый раз сдвигаются вдоль оси x.
Рассмотрим еще один пример механической системы: продольные колебания балки ступенчатого сечения. Такие балки достаточно часто применяются в инженерных конструкциях. В частности, они используются в ультразвуковых колебательных системах для увеличения амплитуды колебаний, передаваемой от возбудителя колебаний к инструменту [6, 7]. В самоподобной балке ступенчатого сечения площадь поперечного сечения каждого 5-го участка меняется по степенному закону (рис. 4)
F(s) = у = ebs. (10)
Масса 5-го участка балки Ms = plFs. Примем, что эта масса разделена поровну между концами участка, равна Ms/2 и сосредоточена на каждом конце 5-го элемента. Тогда масса ms в 5-м узле равна полусумме сосредоточенных масс соседних элементов балки,
т.е. ms = 2Р;(Fs-1 + Fs).
Жесткость каждого участка при продольных колебаниях вдоль горизонтальной оси ks = EFs/l. Парциальные частоты vs = ks/ms для каждой массы одинаковы при l = const
2
vs = (ks -1 + ks)/ms = 2E/p l = const, т.е. для такой балки условия самоподобия (1) выполнены.
Рис. 3 Рис. 4
Рис. 3. Формы колебаний самоподобной структуры Рис. 4. Балка ступенчатого сечения
Уравнения продольных колебаний в конечных разностях для 5-го узла
Л_1 + (к*_1 + + + 1 = 0 5 = 1>---> (11)
Учитывая соотношения (10), запишем (11) в виде
5_ 1 5_ 1 5 2 5
к1У Х5_ 1 + (к0а + к1У5_т5®)Х5 + к1У X + 1 = ^ 5 = 1>-"> «•
Отсюда видно, что структура уравнений (11) полностью аналогична уравнениям (3). Таким образом, для данной балки справедливы все полученные результаты: она представляет собой полосовой фильтр с полосой пропускания (9) Лю2 = ю*2 — ю2 = 4^/л/у .
Формы колебаний характеризуются возрастанием амплитуды на тонком конце, аналогично рис. 3.
Для рассматриваемой балки ступенчатого сечения в пределе при п ^ да (п — количество участков) получим балку, поперечное сечение которой меняется по длине по экспоненциальному закону Дз) = ^ехр(р^0(5)/Р).
Покажем, что уравнение (11) в пределе для континуальной системы — это уравнение Клейна—Гордона. Действительно, можно показать, что волновое уравнение при экспоненциальном (степенном) законе изменения параметров можно привести в новых переменных к этому уравнению. Запишем волновое уравнение для продольных колебаний
д Г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.