научная статья по теме ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОННЫХ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ИЗОЛЯТОРАХ Физика

Текст научной статьи на тему «ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОННЫХ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ИЗОЛЯТОРАХ»

Письма в ЖЭТФ, том 99, вып. 2, с. 110-114 © 2014 г. 25 января

Динамика электронных волновых пакетов в топологических

изоляторах

В. Я. Демиховский1), А. В. Тележников

Нижегородский государственный университет им. Лобачевского, 603950 Н.Новгород, Россия Поступила в редакцию 17 декабря 2013 г.

Изучается динамика волновых пакетов, сформированных из электронных поверхностных (краевых) состояний в топологических диэлектриках. Аналитически и численно рассчитаны электронная и спиновая плотности и осцилляции типа гШегЪе-тедипд при различных значениях параметров гамильтониана. Рассмотрено влияние основных параметров пакетов (размеров, спиновой поляризации) на расщепление и изменение формы пакетов и осцилляции их средней скорости.

БО!: 10.7868/Я0370274Х1402009Х

Квантовые состояния в топологических изоляторах подразделяются на так называемые объемные состояния, у которых энергетический спектр, как у обычных полупроводников, имеет запрещенную зону, и бесщелевые поверхностные состояния, локализованные вблизи границ двумерного или трехмерного электронного газа. В такой ситуации электроны, лежащие на поверхности 3D топологического изолятора, находятся в проводящем состоянии, а электроны в объеме не проводят электрический ток. С помощью адиабатически медленных внешних воздействий, не изменяющих значений топологических инвариантов, топологические изоляторы не могут быть переведены в состояния обычных изоляторов или полупроводников [1]. Необходимым условием существования фазы топологического изолятора является присутствие сильного спин-орбитального взаимодействия, а также наличие симметрии по отношению к инверсии времени. Квантовые состояния на поверхности 3D топологических изоляторов есть безмассовые 2D-фермионы с дираковским спектром (см., например, [1]). Чтобы эти состояния были топологически защищенными, необходимо, чтобы число ди-раковских конусов спектра было нечетным. Экспериментально (с помощью техники спектроскопии с угловым разрешением - ARPES) установлено, что в кристаллах Bi2Se3, Bi2Te3 существует только один дираковский конус.

В последние годы двумерные и трехмерные топологические изоляторы широко исследовались экспериментально (см. [2]). Изначально поведение, характерное для топологического изолятора, было обнаружено в квантовых ямах HgTe/CdTe. Эксперимен-

e-mail: demi@phys.unn.ru

тально свойства 3D топологических изоляторов были впервые исследованы в сплаве Bii_KSbK со сложной структурой, а также в кристаллах Bi2Se3 и Bi2Te3 (см. обзор [3]). Экзотические поверхностные состояния в этих материалах исследовались с помощью ARPES. В этой технике высокоэнергетичные фотоны служат для того, чтобы выбить электроны из кристалла и затем определить их импульс. Кроме того, при экспериментальном исследовании топологических изоляторов применялись методы СТМ, СТС и ряд оптических методов.

Помимо перечисленных выше топологических изоляторов, были предсказаны топологические изоляторы, в которых отсутствует спин-орбитальное взаимодействие. Это так называемые топологические кристаллические изоляторы [4]. Как установлено недавно в работе [5], к данному классу соединений относятся сплавы Pbi_K Sn^Se и кристаллы SnTe.

В настоящей работе изучается пространственно-временная эволюция электронных волновых пакетов, сформированных в тонких пленках и на поверхности 3D топологических изоляторов. Эволюция таких пакетов определяется спецификой граничных (поверхностных) квантовых состояний топологического изолятора, его энергетическим спектром, а также начальными размерами и спиновой поляризацией. Установлена роль основных параметров гамильтониана, определяющих форму электронной и спиновой плотности и характер осцилляций типа zitterbewegung (ZB). Для аналитических расчетов использован метод стационарной фазы.

В работе [6] показано, что гамильтониан для 3D топологического изолятора Bi2Se3, записанный как матрица 4 х 4, имеет вид

Й=(С — Bxdl + D2k2) +

h(Ai) A2k-ax A2k+ ax h(-Ai)

.(1)

где

где h(Ai) = (M + B1d2 — B2k2)oz — iA1dzox, oi - матрицы Паули, k± = kx ± iky и k2 = kX + k^. Параметры гамильтониана (1) следующие [7]: M = 0.28 эВ, A1 = 2.2 эВ • A, AX = 4.1 эВ • A, B1 = 10 эВ • A2, B2 = 56.6 эВ •AX, С = —0.0068 эВ, D1 = 1.3 эВ • A.2, DX = 19.6 эВ • A2.

Анализ структуры волновой функции и спектра поверхностных состояний удобно проводить с помощью так называемого эффективного гамильтониана Hff. Чтобы установить вид эффективного гамильтониана в полубесконечном топологическом 3D-изоляторе, необходимо, положив kx — ky — 0, найти собственные функции гамильтониана (1), удовлетворяющие граничному условию Ф(0) = 0 [3]:

Й eff(k) = —hvF (kx Oy — ky Ox).

(2)

Нетрудно убедиться в том, что в этой модели поверхностные моды на границе массивного топологического диэлектрика существуют только при выполнении неравенства М/В\ > 0. Это неравенство выполняется, например, в Б12 8вз и Б12Те3. В данной ситуации волновые пакеты, как и стационарные поверхностные состояния, являются топологически защищенными, поскольку для них рассеяние назад на немагнитной примеси запрещено [8]. Таким образом, при выполнении указанного неравенства динамика электронных волновых пакетов на поверхности 3Б топологического изолятора будет иметь те же особенности, что и в двумерной системе со взаимодействием Рашбы [9]. Начальный пакет с произвольной ориентацией спина в процессе эволюции будет расщепляться на две части, распространяющиеся в противоположных направлениях со скростями ±гр. Если же параметры гамильтониана (1) таковы, что М/В\ < 0, то поверхностной волны со спектром, лежащим внутри запрещенной зоны диэлектрика, не существует.

Теперь рассмотрим эволюцию электронного пакета в тонкой пленке 3Б топологического изолятора. В этом случае эффективный гамильтониан, описывающий поверхностные состояния вблизи Г-точки зоны Бриллюэна, можно найти, также сначала полагая в (1) кх = ку = 0, а затем решая уравнение Шредин-гера с граничными условиями = ±Ь/2) = 0. В результате во втором порядке по кх и ку эффективный гамильтониан будет иметь следующую матричную форму [6]:

Й

eff :

h+(k) 0 0 h_(k)

(3)

hTz (k) = Eo — Dk2 — hvF (kxOy — ky Ox) + rz (A/2 — Bk2)dz.

(4)

Здесь кх, ку - хорошие квантовые числа, тх = ±1, что связано с двукратным вырождением спектра, а величины Ео, О, ур, В и Д являются функциями толщины пленки. Явную зависимость этих величин от толщины пленки Ь можно найти в работе [6]. Константа Д в эффективном гамильтониане (4) определяет энергетическую щель в спектре поверхностных состояний. Появление энергетической щели в спектре поверхностной моды (в Г-точке зоны Бриллюэна) связано, очевидно, с туннелированием носителей между двумя поверхностными состояниями, лежащими на противоположных границах пленки. Если волновые функции на двух противоположных границах перекрываются, то величина энергетической щели, вообще говоря, экспоненциально зависит от толщины пленки. Могут также наблюдаться слабые осцилляции энергетической щели при изменении толщины пленки 3Б топологического изолятора . Слагаемое Вк2 в (4) ответственно за спин-орбитальное взаимодействие.

Энергетический спектр гамильтониана (4) и его собственные функции с нормой ||^±(к)|| в этом случае имеют вид

E±,kx,ky = Eo — Dk2 ± hu(k),

exp(ikxx + iky y) \/2тг

\U (k))-_

\U (k))± =

(A/2 — Bk2)rz ± hu(k)

WU±(k)\\

—ihvpk

(5)

(6)

, (7)

+

где знаки " +" и " —" отвечают зоне проводимости и валентной зоне спектра, ш(к) = = — Вк2)2 + (Нурк)2 - частота перехода

между зоной проводимости и валентной зоной.

Спиновые плотности «¿(ж, г/,£) =

= |(1Р±,кх,ку(х,У)\аг\1Р±,кх,ку(х,У)) в поверхностных зонах могут иметь различный знак. При этом направление спина при малых значениях к, т.е. вблизи Г-точки зоны Бриллюэна, определяется знаком энергетической щели Д, а при больших значениях к зависит от знака квадратичной по к величины спин-орбитального взаимодействия. Точку обращения в нуль можно найти из условия |Д| = 2|В|к2, что реализуется лишь в случае, когда константы Д и В имеют одинаковый знак. Если толщина пленки

1

К (А"1)

Рис. 1. (а) - Спиновая плотность в,(кх,ку) стационарных состояний зоны проводимости гамильтониана (4) для т, = 1. (Ь) - Сечение этой функции плоскостью ку = 0. (с) - Энергетический спектр. Сплошная линия отвечает состояниям зоны проводимости, пунктирная - состояниям валентной зоны (на рис. а не показана). Параметры гамильтониана заимствованы из работы [6]: толщина пленки I = 32 А, Д = —0.045 эВ, В = — 11 эВ • А2, В = -12.2 эВ • А2

равна 32 А, то согласно результатам работы [6] смена знака происходит в точке к = 0.045 А.-1 (см. рис. 1).

Рассмотрим для простоты динамику одномерного пакета (ку =0, кх = к). Тогда эволюция произвольного начального состояния Ф(х) во времени дается выражением

= Е/" (8)

в котором коэффициенты С± (к) определяются функцией начального состояния:

C±(k)

1

:(U (k)\-_

exp(-гкж)Ф(ж, 0)dx. (9)

Пусть начальный волновой пакет имеет гауссову форму с поляризацией спина по оси г:

Ф(х, 0) =

1

\J dy/n

exp

2

x2 2d?

(10)

где d - ширина пакета. Согласно (8) эволюция такого пакета во времени описывается выражением

Ф1(х,*)

Ф2 (х, t)

d

2п3/2

exp

iE0t

(kd)

Ф±(к) = [(А/2 - Bk2)rz ± hw(k)] exp

1 / (А/2- Bk2)Tz±hw{k)

II U±(к) ||:2 [ —ihvpk

(12)

Интеграл в выражении (11) можно рассчитать с помощью метода стационарной фазы. Действительно, при больших значениях £ и х фаза в показателе экспоненты быстро изменяется при небольшом изменении переменной интегрирования к. Быстрые осцилляции действительной и мнимой частей подынтегральной функции приводят к взаимному сокращению вкладов. При этом основной вклад возникает от тех областей, где показатель экспоненты изменяется медленно. Такие экстремальные точки показателя экспоненты можно найти из условия

д

dk

Dtk2

кх -\---— =р toj(k)

h

0.

(13)

Тогда значение интеграла можно приближенно получить, вынося функцию Ф±(к) в экстремальной точке за знак интеграла. В частности, при А = 0, В = 0,

когда фаза экстремальна в точках к = име-

ем

Ф1(х^) = f+(x,t) + f-(x,t), Ф2(х, t) = if+(x,t) - f-(x,t)],

где функции f± (x, t)

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком