ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2007, том 43, № 1, с. 109-116
УДК 551.46
ДИНАМИКА ГРАВИТАЦИОННО-КАПИЛЛЯРНЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ НЕОДНОРОДНО НАГРЕТОЙ ЖИДКОСТИ
© 2007 г. А. В. Кистович, Ю. Д. Чашечкин
Институт проблем механики РАН 119526, Москва, просп. Вернадского, 101, корп. 1 E-mail: chakin@ipm.net.ru Поступила в редакцию 26.09.2005 г., после доработки 16.02.2006 г.
Методом медленно меняющихся амплитуд рассчитано отражение поверхностных капиллярно-гравитационных волн от областей регулярной поверхностной конвекции в приближении идеальной и однородной вязкой жидкости. Используется модель квазистационарного распределения температуры. Выделенные условия слабого (нерезонансного), когда волна практически полностью проходит через конвективную зону, и сильного резонансного взаимодействия. Когда взаимодействие является сильным, перед областью конвекции формируются стоячие волны, меняется спектральный состав у волнового пакета. Вязкость и сопутствующие пограничные слои приводят к расширению запрещенных зон. Их ширина увеличивается с ростом номера резонансной гармоники.
Исследованию динамики коротких волн, длина которых существенно меньше толщины слоя жидкости, по поверхности которой они распространяются, посвящено большое число теоретических, экспериментальных и наблюдательных работ [1, 2]. В последние годы интерес к углубленному изучению генерации, взаимодействия с другими типами течений и распада коротковолновой части спектра волнения в море стимулируется поиском физических механизмов формирования сигналов, индицирующих топографию и процессы в толще океана (внутренние волны, вихри, течения) в картинах оптического и радиолокационного изображения свободной поверхности [3, 4]. Обзор современного состояния теории гравитационно-капиллярных волн в окрестности минимума фазовой скорости приведен в [5]. Анализ влияния эффектов вязкости и поверхностного натяжения в предположении постоянства соответствующих коэффициентов в затухании и генерации коротких волн проведен в [6, 7]. При изучении динамики волнения основное внимание обычно уделяется анализу нелинейных эффектов.
В реальных условиях термодинамические параметры - температура среды, концентрации поверхностно-активных веществ - не являются постоянными в пространстве и изменчивыми во времени. Процессы приповерхностной температурной конвекции создают градиенты коэффициентов кинематической вязкости и поверхностного натяжения, в свою очередь возбуждающих специфические типы приповерхностной конвекции (конвекции Ма-рангони), влияющей на коротковолновое волнение [6]. Особый интерес представляет изучение взаимодействия волн с регулярными структурами, воз-
никающими вследствие приповерхностной конвекции или падения капель дождя [3]. Целью данной работы является построение математической модели распространения гравитационно-капиллярных волн в вязкой температурно-неоднород-ной среде на основе полных уравнений движения [8] с учетом как регулярных (волновых), так и сингулярных (погранслойных) элементов течения.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается задача распространения одномерных гравитационно-капиллярных волн по поверхности бесконечно глубокой вязкой жидкости, в определенной области которой х е [0, D] (конечной или полубесконечной) присутствует периодическая пространственная неоднородность, которая характеризуется неоднородным распределением температуры Т(х) с пространственным периодом Ь и числом ячеек N. Как следствие, указанная область характеризуется пространственно-периодическими распределениями коэффициентов кинематической вязкости 'ИТ(х)) и поверхностного натяжения а(Т(х)).
В отсутствие капиллярно-гравитационных волн вся свободная поверхность жидкости считается плоской и задается соотношением г = 0, где г - вертикальная ось, направленная против вектора силы тяжести g. Такая модель является приближенной, поскольку в области неоднородного распределения коэффициента поверхностного натяжения плоскость не является равновесным состоянием среды [8]. В то же время правомерность использования такого приближения обусловлена меньшей значимостью эффектов рассеяния волн на малых
а, [эрг/см2] 75
70
65
60
55
0 10
100
T, °C
Рис. 1. Зависимость коэффициента поверхностного натяжения пресной воды от температуры.
V, 10-2 [см2/с] 2 г
10
30
60 T, °C
Рис. 2. Зависимость кинематической вязкости пресной воды от температуры.
1
возвышениях поверхности по сравнению с эффектами, вызванными вариациями термодинамических параметров.
Распределение температуры в области конвекции при распространении по ней капиллярно-гравитационной волны считается квазистационарным и задается соотношением
Т (х) = То +
АТ^ cnsin(2|пх), х е [0, D]
n = 1
(1)
о, х е {(0) и [D, + ~]>.
ния V и а внутри области х е [0, D] в виде разложений вблизи базовой температуры Т0
v(х) = V Т0 + АТ^ cnsin(2|nx)
V n =1
- V( Т0) + VТ(Т0 )АТ £ cn sin (2 |nx),
n = 1
Т0 + АТ^ cnsin(2|nx)
а( х) = а
n=1
Здесь Т0 - постоянная температура, АТ - характеристический температурный перегрев внутри ячейки, ц = пД, - характерное волновое число температурного распределения с пространственным периодом L, сп - спектральные коэффициенты, D = NL - ширина области конвекции.
Графики зависимостей от температуры коэффициентов поверхностного натяжения и кинематической вязкости воды при атмосферном давлении, определяющих кинематику и динамику поверхностных волн, приведены на рис. 1 и 2 (по данным [9]). Коэффициент поверхностного натяжения обладает постоянной производной по температуре. Зависимость кинематической вязкости более сложная, что приводит к дополнительным затруднениям в случае, когда характеристический перегрев становится достаточно большим. Поэтому при создании модели предполагается, что величина характеристического перегрева не превышает АТ ~ 5.. .10°. Это соответствует реальным величинам, наблюдаемым, например, при конвекции Марангони, и позволяет представить распределе-
- а( Т0) + аТ (Т0 )А Т ^ cn sin (2 |пх) ,
n = 1
и v(x) = v(T0), а(х) = а(Г0) вне нее.
Анализ количественных данных [9] позволяет ввести два малых параметра, определяемых соотношениями
е = ^Т (Т0 )А Т / v( Т0 )| ^ 1, 5 = |а Т (Т0 )А Т /а( Т0 )| ^ 1,
имеющих смысл относительных вариаций кинематической вязкости и коэффициента поверхностного натяжения. Тогда пространственные распределения параметров задачи в области х е [0, D] представляются в виде
v( х) = v( 1+ ет( х)), а( х) = а( 1 + 5т( х)), т( х) = ^ cn sin (2 |пх) .
(2)
Для сокращения записи здесь и далее полагается V = V (Т0), а = а(Т0).
n = 1
Отклонение свободной поверхности £(?; х), возникающее при распространении по поверхности капиллярно-гравитационной волны, считается достаточно малым, чтобы линеаризовать граничные условия и привести их к уровню г = 0. Поскольку жидкость считается несжимаемой, а возмущение в виде падающей поверхностной волны - гармоническим с частотой ю, две компоненты скорости могут быть представлены одной скалярной функцией тока ¥(х, г, ?) = ¥(х, г)е-гюг, определяемой соотношениями и = ^, м = -^Х (и, м - горизонтальная и вертикальная компоненты поля скоростей).
Использование стандартной подстановки р = = Ро + Pg(Z - г) + Р для давления в среде (р, р0 и р' -полное давление, атмосферное давление и возникающее возмещение соответственно), а также учет того, что неравномерное распределение коэффициента поверхностного натяжения определяет, в первую очередь, форму поверхности конвекции [8], позволяет в приближении плоской поверхности свести систему уравнений и граничных условий задачи к виду
(г ю + уЛ)Лу = ve( 2 - Л(тЛу)), У(¥'г - ¥Х)| г = 0 = 0,
2 I А I . и IV ^ . ш
ю ¥ - г юуЛуг + g- - 2/ юууххг -
- Х|г = 0 =
(3)
отраженная и прошедшая волны описываются соотношениями
¥ =
Г екг(А+егкх + А_е-гкх) +екъ\в+егкх + В_е-гкх), х < 0 = 1 (4)
^ кг гкх ^ къг гкх „
^ С+е е + О+е е , х > О
к2ъ = к2 - гю/V, Reк, 1тк > 0, Rekъ > 0,
в которых собственные функции оператора Лапласа описывают падающие, отраженные и прошедшие поверхностные волны, бегущие в положительном и отрицательном направлениях оси х с амплитудами А+, А- и С+. Собственные функции оператора пограничного слоя 1ю + vЛ характеризуют сопутствующие волнам периодические пограничные слои с амплитудами В+, В и Э+. Выбор знаков действительных и мнимых частей волновых чисел k и ^ обеспечивает затухание возмущений при х —- и г —- -го. Условие разделения движения на волновую и погранслойную компоненты задается дисперсионным соотношением, которое формируется как условие совместности уравнений, возникающих при подстановке (4) в граничные условия (3)
2к (ю2 къ - gк2 - а к4 + 2 iюvkъ (3 к2 - к2ъ)) -- (кЪ + к2)(ю2- gk - ак3 + 2г'юvk2) = 0,
(5)
Здесь штрихи означают дифференцирование, а индексы - переменную, по которым оно производится; коэффициент поверхностного натяжения нормирован на среднюю плотность жидкости.
Если кинематическая вязкость и коэффициент поверхностного натяжения не зависят от температуры (е = 5 = 0), уравнения (3) переходят в известную систему для гравитационно-капиллярных волн в вязкой жидкости [8]. Задача состоит в определении формы колебаний жидкости при падении слева на неоднородную область поверхностной волны.
КОЛЕБАНИЯ ВНЕ КОНВЕКТИВНОЙ ЗОНЫ
Вне зоны конвекции, где вязкость постоянна (5 = 0), первое уравнение (уравнения движения) в (3) представляет собой мультипликативное действие двух коммутирующих операторов - оператора Лапласа Л и оператора типа пограничного слоя (гю + vЛ) [8], и потому требуется искать решение задачи вне области конвекции в форме, учитывающей все элементы движения, так что падающая,
причем, согласно граничным условиям, амплитуды волновой и погранслойной частей жестко связаны между собой, что означает неразделимость этих компонент течения вязкой жидкости.
Уравнение (5) имеет как регулярные, так и сингулярные по вязкости решения. Поскольку главный член сингулярного решения k = -а/(8у2) не удовлетворяет условию Rek0 > 0, интерес представляют только регулярные решения дисперсионного уравнения (4), которые имеют вид
к± к* +
4 юvk2
g + 3 ак*
±к* + г
2ю
1 + к*- '2ю
(6
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.