М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2014
УДК 532.59
© 2014 г. Д. Г. АРХИПОВ, Н. С. САФАРОВА, Г. А. ХАБАХПАШЕВ
ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ В КАНАЛЕ С ПОЛОГИМИ ДНОМ И КРЫШКОЙ
Предложен комбинированный подход для описания трансформации трехмерных возмущений границы раздела двух несжимаемых несмешивающихся жидкостей различной плотности, находящихся между неподвижными недеформируемыми крышкой и дном. Предполагается, что длины волн умеренно большие, их амплитуды малы, но конечны, крышка и дно могут быть слабонаклонными, а капиллярные эффекты невелики. Полученная система уравнений применима для моделирования возмущений, одновременно разбегающихся в произвольных горизонтальных направлениях. Численно найдены решения ряда характерных волновых задач и продемонстрировано влияние определяющих параметров.
Ключевые слова: гравитационные волны, двухслойная жидкость, длинные волны, нелинейные возмущения, распространение, пологие дно и крышка, трехмерные возмущения.
Задача о волнах в двухслойных жидкостях, находящихся между неподвижными недеформируемыми дном и крышкой, является стандартным объектом гидромеханики. Распространение линейных возмущений границы раздела несмешивающихся сред различной плотности изучено достаточно хорошо. Для волн малой, но конечной амплитуды исследованы в основном плоские и квазиплоские случаи (см. монографии [1—3] и обзоры [4, 5], а также процитированную в них литературу). Из недавних работ на эту тему следует отметить [6—8].
Для умеренно длинных возмущений получены, в частности, модельные уравнения типа уравнения Кортевега—де Вриза [9], расширенного уравнения Кортевега—де Ври-за [10], модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза [11], модифицированного уравнения Буссинеска [12] и их двумерных обобщений [13, 14]. Эти уравнения удобны для анализа, но при их выводе предполагалось, что нелинейные волны бегут преимущественно в одном горизонтальном направлении. В таких ситуациях векторы скоростей жидкостей, входящие в конвективные члены уравнений движения, можно выразить через возмущение границы раздела и свести задачу к одному уравнению для скалярной переменной.
Умеренно длинные волны конечной амплитуды, одновременно распространяющиеся под любыми углами друг к другу, могут быть описаны только системами уравнений, которые содержат как возмущения границы раздела, так и скорости сред. Причем в таких системах (см., например, обзор [15] и цитируемую в нем литературу) от скоростей жидкостей зависят как нелинейные, так и линейные члены всех уравнений.
Для случая неглубокого слоя однородной среды в [16] предложена новая комбинированная система уравнений, которая более удобна для анализа. Эта модель состоит из основного нелинейного волнового уравнения для возмущения свободной поверхности и двух обычных линейных вспомогательных уравнений, которые требуются для определения вектора горизонтальной скорости, входящего только в члены второго порядка малости главного уравнения. Поэтому она обладает основными достоинствами упомянутых выше подходов и свободна от их недостатков. В частном случае плоских
Фиг. 1. Волны на границе раздела и скорости возмущенного течения в неглубокой двухслойной жидкости с пологими неподвижными недеформируемыми дном и крышкой
волн в работе [17] полученная система сведена к одному новому уравнению, способному описать неупругое взаимодействие локализованных возмущений при их лобовом столкновении.
Цель данной статьи — обобщение метода [16] на случай волновых процессов в двухслойных жидкостях, находящихся между пологими дном и крышкой. Кроме того, продемонстрирована его пригодность для решения ряда плоских и пространственных гидродинамических задач.
1. Предположения и упрощение исходных уравнений. Будем считать, что жидкости являются несжимаемыми, несмешивающимися и невязкими. Тогда исходную систему уравнений гидродинамики (уравнение неразрывности и уравнения Эйлера) для любого слоя можно записать в следующей форме
Здесь u — горизонтальная компонента вектора скорости жидкости (см. фиг. 1), w — его вертикальная составляющая, x, у — горизонтальные координаты, z — вертикальная координата, t — время, р — плотность жидкости, p — давление, а g — ускорение свободного падения; индекс l равен единице для верхней жидкости и двойке для нижней.
Сделаем также ряд дополнительных предположений. 1) Стационарные составляющие движения равны нулю. 2) Возникающие течения потенциальны внутри каждого слоя (дul/дz = V ■ wl). 3) "Длина волны" X существенно больше, а амплитуда возмущения границы раздела ца значительно меньше равновесных глубин слоев h¡ ф/Х ~ е1/2 и Пи/^ ~ £, где е — малый параметр). 4) Неподвижные недеформируемые крышка и дно слабонаклонны ~ е3/2). 5) Капиллярные эффекты не велики — модифицированное число Бонда Во = (р2 — р1)gh1h2/ст > 1, где ст — поверхностное натяжение. Эти допущения (кроме предположения об отсутствии вязкости и пологости) соответствуют условиям проведения экспериментов в различных гидрофизических лабораториях (см., например, [18—20]).
(1.1)
(1.2)
(1.3)
В дальнейшем ограничимся членами второго порядка малости. Тогда сделанные предположения позволяют пренебречь обоими нелинейными слагаемыми в уравнениях (1.3) и вторыми нелинейными слагаемыми в уравнениях (1.2)
д"-+ у ("-+=0 (1.4)
дг V2 р/
д 1 др,
-дт!+ 1 + g = 0 (1.5)
д г р,дг
Далее используем обычные краевые условия — кинематические условия непротекания жидкости через твердые неподвижные крышку и дно; кинематические условия на границе раздела и динамическое условие для скачка давления на этой поверхности
+ (-1) и, • Vк, = 0 при г = (-1)' +1 к,(х, у)
м , = дп/дг + и, • Vn и р1 = р2 + аV п при г = п (г, х, у)
Здесь, как видно из фиг. 1, п — отклонение границы раздела, а ее кривизна учтена в первом приближении благодаря предположению длинноволновости.
2. Преобразование уравнений неразрывности и движения. Вначале проинтегрируем уравнения (1.1) по координате z от до п при l = 2 и от п до hl при l = 1. С помощью правила Лейбница о дифференцировании по параметру и кинематических условий на границе раздела имеем
+ V .«иЛп + (-1)%]) = 0 (2.1)
дг
где угловыми скобками помечены величины, усредненные по глубинам слоев. Конечно, данные законы сохранения массы выглядят сложнее, чем исходные уравнения неразрывности. Но соотношение (2.1) содержит легко измеряемую переменную п(^ x, у), а в уравнения (1.1) входят локальные значения компонент скоростей жидкостей x, у, z) и w(t, x, у, z).
Теперь применим скалярно векторный дифференциальный оператор V к горизонтальным компонентам уравнений движения в слоях (1.4)
2
| (v. „,)+^ ("2+а) =0
Заменив дивергенции скоростей V ■ ^ в первых слагаемых этих уравнений на —дwl/дz с помощью уравнений неразрывности (1.1), имеем
Ш - V2("2 + ") = 0 (2 2)
д г дг 4 2 р/
Для нахождения давления в слоях проинтегрируем уравнения вертикального движения (1.5) по координате z. Из динамического краевого условия на границе раздела жидкостей находим профили давления в слоях
р = рЛ + g(n - г) +
р, р, 1 д г
г
где индексом i помечены значения величин, относящиеся к границе раздела.
В приближении длинных волн небольшой амплитуды (ы1 не зависит от г) из уравнения неразрывности (1.1) и кинематических условий на границах имеем простые профили для вертикальных составляющих скоростей
- = (1+(-■ ^ И
Здесь опущены поправки третьего и более высоких порядков малости. Подставив данные выражения в формулы для давлений, получаем зависимости
Р = Р + ^ - г) - г (1 + (-1 )'£) ^
Р' Р' ( 2Н/ д{2
Таким образом, уравнения (2.2) можно переписать в виде
д -1 т-,2
д t дг
- V2
и + + г (1 + (-1)' -глйл
р I
2Н/ д t2
= о
Теперь проинтегрируем оба эти уравнения по координате г от — к2 до п при I = 2 и от Ну до п при I = 1. В результате приходим к уравнениям
I \к V2(ф]-[(-')Н+п]V2(«л+р) -Н2V2д;n = »
(2.3)
(-1)'+ч
В дальнейшем для ряда замен в членах второго порядка малости нам будут достаточны соотношения, которые получены из уравнений, учитывающих лишь главные слагаемые.
3. Законы сохранения массы и импульса в первом приближении. Рассмотрим задачу в первом приближении — очень длинные линейные волны, распространяющиеся в канале с горизонтальными дном и крышкой, без учета капиллярности. Тогда уравнения (1.4), (1.5) и (2.1) записываются как
£ +1V<" = о
дt р'
(3.1)
^ + « = 0
р' дг
(3.2)
|1 + (-1)1Н,V •<и) = 0
(3.3)
Из (3.2) и динамического краевого условия непрерывности давления на границе раздела слоев можно найти гидростатические профили давлений р1 = р1 + р1 g (п — г). Эти подстановки позволяют переписать (3.1) в форме
^ + 1V/. + «V п = о
д р'
(3.4)
Здесь учтено, что при сделанных предположениях локальные значения векторов горизонтальных составляющих скоростей жидкостей приближенно равны величинам этих векторов, усредненных по глубинам слоев [14].
Для исключения скоростей жидкостей из (3.3) и (3.4) продифференцируем законы сохранения массы по времени, а к уравнениям движения применим скалярно оператор V, умноженный на (-1)1, и вычтем вторые уравнения из первых. В результате получаем систему двух уравнений
^ - (-1Уgкl ^п - (-1 )lh--v2pi = 0
дг2 р,
(3.5)
Из условия их совместности при I = 1 и 2 определяем лапласиан давления ^р, = ^нр1р2у2п/X
(3.6)
Здесь Н = hl + h2, а % = р^2 + р2^. Тогда (3.5) принимает вид линейного волнового
22
уравнения д2п/д^ — с0 V2п = 0, где с0 = gh1h2(p2 — р^/% — квадрат вектора фазовой скорости бесконечно длинных линейных волн, бегущих в канале с горизонтальными дном и крышкой.
Если уравнение (3.6) один раз проинтегрировать, то имеем Ур, = —£Нр:р2Уп/%. Воспользовавшись этой формулой, запишем приближенные законы сохранения горизонтальных компонент импульсов (3.4) в следующем виде:
д_-Ц) + (у к V п = 0
дг к,
(3.7)
Соотношения (3.3), (3.6) и (3.7) будут использованы для замен в членах второго порядка малости.
4. Вывод системы модельных уравнений. Преобразуем первые части интегралов в уравнениях (2.3) с помощью правила Лейбница о дифференцировании по параметру, кинематических краевых условий и уравнений неразрывн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.