ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 3, 2014
УДК 531.36
© 2014 г. А. В. Карапетян, М. А. Муницына
ДИНАМИКА НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Рассматривается задача о динамике эллипсоида вращения со смещенным центром масс на горизонтальной плоскости с трением. Предполагается, что центр масс эллипсоида лежит на оси его динамической симметрии. В рамках общей теории инвариантных множеств механических систем с симметрией исследуются стационарные движения эллипсоида, дается геометрическая интерпретация результатов с помощью обобщенных диаграмм Смейла.
В частном случае, когда экваториальный и осевой радиусы эллипсоида равны, он является простейшей моделью волчка тип-топ, локальный анализ динамики которого [1, 2] и глобальный качественный анализ [3, 4] были даны ранее.
1. Постановка задачи. Рассмотрим тяжелый неоднородный динамически симметричный эллипсоид вращения массой т на горизонтальной плоскости. Пусть а и с — экваториальный и осевой радиусы эллипсоида, я — расстояние между его геометрическим центром О и центром масс £. Предполагается, что центр масс эллипсоида располагается на его оси симметрии и уравнение поверхности эллипсоида в его главных центральных осях Бх1х2х3 имеет вид
2 2 ( ) 2 д х) = ^Ц^ + ^^ -1 = о а с
Введем следующие переменные: и — скорость центра масс эллипсоида, ш — его угловая скорость, у — единичный вектор восходящей вертикали. Скорость скольжения эллипсоида определяется соотношением и = и + [ш, г], где г — радиус-вектор точки касаний эллипсоида с плоскостью, определяемый равенством
у = -рта/ г )/^га/ г )| Запишем компоненты радиус-вектора в системе Бх1х2х3
2 2 2 2232 1/2
= -а У1 / р, г2 = - а у 2 / р, Гз = 5 - с у 3 / р, р = ((с - а )у 3 + а )
На эллипсоид действует сила тяжести Р = —т^у, нормальная составляющая реакции опорной плоскости N = N4 и сила трения скольжения Р. Уравнения движения эллипсоида, отнесенные к главным центральным осям инерции, имеют вид
ти + [ ш, ти ] = (N - mg)у + Г (1.1)
J Ш + [ ш, J ш] = [г, N + Г] (1.2)
у + [ ш, у] = 0
(1.3)
(U + [W, Г], у) = 0 (1.4)
где J = diag(A, А, С) — центральный тензор инерции эллипсоида. Уравнение (1.1) выражает теорему об изменении импульса эллипсоида, уравнение (1.2) — теорему об изменении кинетического момента относительно центра масс, уравнение (1.3) — условие постоянства вектора у в абсолютной системе отсчета, а уравнение (1.4) — условие контакта эллипсоида с опорной плоскостью. Если сила трения задана в виде
F = F(u, ю, у, N),
то система (1.1)—(1.4) замкнута относительно переменных и, ю, у и N.
Будем считать, что сила трения скольжения удовлетворяет естественным условиям
(F, u)< 0 при u Ф 0, F = 0 при u = 0, (1.5)
которым удовлетворяют, например, классическая модель вязкого трения или обобщенные модели сухого трения [5—7].
Система (1.1)—(1.4) допускает энергетическое соотношение H = (F, u) < 0, где H = 1 ти2 + 1 (Jw, w) - mg(г, у) - mgc (1.6)
есть полная механическая энергия. Кроме того, изменение величины K = (Jw, г) на решениях рассматриваемой системы имеет вид
2
K = (Jw, r + [w, г]) = —-(c2 - а2)(®2Yi - Y2)[(Jw, у)уз - Ca>3] (1.7)
P
Заметим, что в случае шара (а = с) имеет место интеграл Желле и величина K не меняется.
2. Движения без проскальзывания. Найдем такие движения эллипсоида, на которых проскальзывание отсутствует (u = 0) и выполнены соотношения F = 0 и и = [r, ю]. Тогда уравнения (1.1) и (1.2) примут вид
т[ Г, w ] + т [ г, w ] + т[ w, [ г, w ]] = (N - mg) у (2.1)
J w + [w, J w] = [r, Ny] (2.2)
Из уравнения (2.2) следует, что
ю3 = const (2.3) Кроме того, уравнения (2.2) и (1.3) допускают интеграл
A (ю1 у1 + ю2 y2 ) + C ®3y3 = const (2.4) Из уравнений (2.1) и (2.2) соответственно следуют равенства
(®iYi + (¿2Y2)(« - —) + (C-z— (c2Y3Ю3 - —(1 - Y3)(№2Y2 + »1Yi))- ^ = 0
A (со i Yi + (Ó2 Y2) + (®2Yi - ®i Y2)( C - A)ю 3 = 0 совместные либо при условии
®2Yi - ®iY2 = 0 (2.5)
т.е. при у3 = const, либо при условии
C = _ a2 [ ( с2 - a 2 ) ( 1 - Y2 ) ( ю i Y 1 + ю 2Y2 ) + с2 ю 3Y з ] A р2(sр - с2Y3)юз
которое в силу интеграла (2.4) также означает что у3 = const.
2
При Y3 = 1 система уравнений (2.1), (2.2), (1.3) имеет решения
Yi = Y2 = 0, Y3 = ±i, (i = (2 = 0, ю3 = ю = const, N = mg (2.6)
которые соответствуют равномерным вращениям эллипсоида вокруг вертикально расположенной оси симметрии при наинизшем (у = 1) или наивысшем (у = —1) расположении центра масс.
2
При Y3 < 1 решения системы (2.1), (2.2), (1.3) имеют вид
Yi = Vi - Y2cos, Y2 = Vi - Y2sin
(i = Ю0 Yi, Ю2 = Ю0 Y2, (3 = (0Y3 + ^ (2.7)
N = mg
где
ю al((^ - al)Y3 - sP)mg n ю (^ - a )Y3- sP
Ю0 = - = const, И = ю 0- = const
(Ce - Aa )y3p - Csp a
и соответствуют регулярным прецессиям эллипсоида.
Заметим, что условие H = 0 эквивалентно условию движения без проскальзывания, а на таких движениях в силу равенств (1.7) и (2.5) выполнено условие K = 0.
3. Обобщенные диаграммы Смейла. Таким образом [8], множество всех стационарных движений можно представить на плоскости (k2, h), где k и h — начальные значения полной механической энергии H и величины K, соответственно, в виде кривых h = h(k2), все точки которых в силу вышеизложенного инвариантны относительно фазового потока рассматриваемой системы. При этом все остальные точки плоскости (k2, h) движутся в сторону уменьшения h.
Кривые h±(k2), соответствующие равномерным вращениям, выписываются явно: i к2
h± = --. + mgs (3.1)
2 C(с - s)2
40
q 20
5 10 р
Фиг. 1
а кривые h*(k2), соответствующие регулярным прецессиям, задаются параметрически в виде
И * = mg
- С - 5 у з + р - 1
л (1 - у2) + с
24
5 - (С - а )уз/р
с (С2 у з - 5 р) / а2 - А у зУ
к2 - т-\-Аа( 1 - ^з) + с(С2Уз- 5Р)2]2 (5 - (С2 - а2)Уз/Р) — mg
(3.2)
22 ар
с (С2 у з - 5 р) / а2 - А у з
Напомним, что в случае шара имеет место интеграл Желле и величина K не меняется, поэтому точки плоскости (Л2, И), не находящиеся на кривых стационарных движений, движутся в сторону уменьшения h вдоль соответствующей оси. Был проведен [1, 4] полный параметрический анализ задачи в этом случае: плоскость параметров шара разбита на семь областей, каждой из которых соответствует своя обобщенная диаграмма Смейла.
В случае эллипсоида, близкого к шару, т.е. при c/a = 1 + е, е < 1, справедливо равенство К < е, т.е. точки плоскости (Л2, И), не находящиеся на кривых стационарных движений, движутся в сторону уменьшения h внутри узкой полосы, параллельной этой оси.
На фиг. 1 представлены численно построенные траектории этих точек (жирные кривые) для эллипсоида с параметрами
m = 1 кг, a = 0.1 м, c = 0.09 м, 5 = 0.05 м, A = C = 3.62 • 10-3 кг • м2 в случае модели вязкого трения, т.е. при
- к и, N Ф 0
Г —
0, N — 0
с коэффициентом вязкости k = 3 Нс/м. Начальное положение оси симметрии эллипсоида почти вертикально (у3(0) = 0.9), центр масс неподвижен и располагается ниже
4
3
0
Фиг. 2
геометрического центра эллипсоида, а угловая скорость направленна вертикально вверх. Ее значение в экспериментах 1—5 равномерно меняется от 20 до 100 с-1.
Оси абсцисс соответствует квадрат безразмерного значения величины K (р2 = k2/(Cmgs)), а оси ординат — безразмерное значение полной механической энергии q = h/(mgs). На фиг. 1 изображены также соответствующие вращениям прямые (3.1) (прямая, проходящая через точку (0, —1) соответствует вращениям с наинизшим расположением центра масс, а проходящая через точку (0, 1) — с наивысшим), и их соединяющая кривая прецессий (3.2). Таким образом, в экспериментах 1—3 финальное движение эллип-
соида — прецессия; а в экспериментах 4 и 5 — равномерные вращения вокруг вертикали, при которых центр масс эллипсоида расположен выше его геометрического центра.
На фиг. 2 представлены зависимости косинуса угла нутации эллипсоида, силы трения и отношения величины нормальной составляющей реакции опорной плоскости к весу эллипсоида от времени t при максимальной начальной угловой скорости эллипсоида (кривая 5 на фиг. 1). Во время переворота сила реакции обращается в нуль и происходит отрыв эллипсоида от опорной плоскости. Заметим, что при численном интегрировании плоскость считается абсолютно жесткой. Когда при интегрировании исходной системы (1.1)—(1.4), (3.3) сила реакции опорной плоскости обращается в нуль, интегрируется система (1.1)—(1.3), (3.3) (при N = 0). При этом вычисляется высота нижней точки эллипсоида над плоскостью; когда она становится равной нулю, происходит переключение на исходную систему.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (14-01-31467, 14-01-00432, 13-01-00230).
ЛИТЕРАТУРА
1. Contensou P. Couplage entre frottemeuz et frattement de pivotement dans la theoric de la toupee // Kreisel-probleme. Berlin, 1963 = Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // Проблемы гироскопии. М.: Мир, 1967. С. 60—77.
2. Magnus K. Kreisel. Theorie und Anwendungen. Berlin: Springer, 1971 = Магнус К. Гипоскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 526 с.
3. Карапетян А.В. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-топ) // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 33-41.
4. Карапетян А.В. Инвариантные множества механических систем с симметрией // Проблемы устойчивости и управления. Сборник научных статей, посвященный 80-летию академика Владимира Мефодьевича Матросова. М.: Физматлит, 2013. С. 184-210.
5. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 762-767.
6. Карапетян А.В. Двухпараметрическая модель трения // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 515519.
7. Муницына М.А. Модель трения в случае плоского эллиптического контакта тела с опорной плоскостью // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 4. С. 705-712.
8. Карапетян А.В. Обобщенные диаграммы Смейла и их применение к задачам динамики систем с трением // Аналитическая механика, устойчивость и управление: Тр. 10-й Междунар. Четаевской конф. Т. 1. Секц. 1. Аналитическая механика. Казань, 2012. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. С. 247-258.
Москва
e-mail: avkarapetyan@yandex.ru munitsyna@gmail.e
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.