МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2010
УДК 531.01
© 2010 г. М.В. ИШХАНЯН, А.В. КАРАПЕТЯН
ДИНАМИКА ОДНОРОДНОГО ШАРА НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ, ВЕРЧЕНИЯ И КАЧЕНИЯ
Проведен анализ динамики однородного шара на горизонтальной плоскости с учетом всех видов трения — скольжения, верчения и качения. Качественно-аналитическое исследование динамики шара дополнено численными экспериментами.
Задача о движении однородного шара по горизонтальной плоскости с трением впервые была исследована, по-видимому, в 1758 году И. Эйлером (сыном Леонарда Эйлера) с учетом трения скольжения в рамках модели Кулона. И. Эйлер показал, что за конечное время скольжение шара прекращается, после чего шар равномерно катится вдоль неподвижной прямой, равномерно вращаясь вокруг вертикали. Этот результат давно стал классическим и описан во многих учебниках по теоретической механике.
В 1998 году В.Ф. Журавлев рассмотрел задачу о движении однородного шара по горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения и верчения в рамках модели Контенсу—Журавлева [1, 2] и показал, что за одно и то же время прекращаются и скольжение и верчение шара, после чего шар равномерно катится вдоль неподвижной прямой. Дальнейшее развитие теория Контенсу—Журавлева получила в [3—7].
В данной статье задача о движении однородного шара по горизонтальной плоскости изучается с учетом всех видов трения в рамках модели, предложенной в [8]. Показано, что за одно и то же конечное время обращаются в нуль и скорость скольжения, и угловая скорость шара. Исследование основано на результатах работы [2], свойствах модели трения, предложенной в [8], и методе качественного анализа динамики диссипативных систем [9, 10]. Качественно-аналитическое исследование дополнено результатами численного интегрирования уравнений движения шара.
Ключевые слова: сухое трение, трение скольжения, качения и верчения.
1. Взаимосвязанная модель трения и ее свойства. Рассмотрим задачу о движении однородного шара массы m и радиуса a по неподвижной горизонтальной плоскости. Следуя [1], заменим точечный контакт шара с плоскостью пятном контакта, которое, в отличие от [1], будем предполагать не кругом, а сферическим сегментом.
Пусть R — радиус сферы, сегмент которой задает пятно контакта, а r — его радиус (см. фиг. 1, где слева указан вид пятна контакта сбоку, а справа — сверху). Введем безразмерные параметры пятна контакта 8 = a/R, s = r/a и ц = 8s = r/R. Положение произвольной точки P пятна контакта (сферического сегмента Z) определяется углами а е [0, 2п] и ß е [0, ß0], где ß0 = arcsinр (см. фиг. 1, где точками O, S и C обозначены, соответственно, центр сферы, сегментом которой является £, центр шара и центр пятна контакта).
O
Фиг. 1
Введем правый ортонормированный репер е1е2е3 такой, что орт е1 направлен вдоль скорости скольжения и = ие1 (скорости точки С) шара, орт е2 ортогонален скорости скольжения и и, как и е1, лежит в горизонтальной плоскости, а орт е3 направлен вдоль восходящей вертикали. Угловую скорость шара обозначим через ы = ю1е1 + ю2е2 + ю3е3.
Полагая, что сила трения, действующая на элементарную площадку ёЕ (фиг. 1) и приложенная в точке Р, удовлетворяет закону Кулона, найдем результирующую силу трения Г, действующую на шар и приложенную в точке С, и главный момент МС сил трения относительно этой точки [8]:
Г = В1е1 + е2, Мс = Шх е! + М2 е2 + М3 е3 (1.1)
F = -kG J¿(p)dp Ju/upda, i = 1, 2 (1.2)
0 0
во 2п
Mj = -kG Jé(p)dp Jw/upda, j = 1, 2, 3 (1.3)
00
G = -^^-é(p) = (cosp - cosро)1/2sinp
4n( 1 - cosp0)3/2
Здесь k > 0 — коэффициент трения, N — нормальное давление
2 2 2 u1 = u (1 - sin p cos a) + R®1sin p sin a cos a +
22
+ R ю2 (1 - cos p - sin p cos a) - R®3sin p sin a
u2 = -u sin2 p sin a cos a - Rю1 (1 - cos p - sin2 p sin2 a) - (14)
2
- R ®2sin p sin a cos a + R ®3sin p cos a
u3 = u sin p cos p cos a + R sin p( 1 - cos p)(®1sin a - ®2cos a)
в
2
2 2 w1 = R [ u sin р sin a cos а + R®1 (1 - cos p) - R®3 (1 - cos p) sin p cos a]
w2 = R [ u(1 - cos p - sin2 p cos2 a) + R®2(1 - cos p)2 - R ю3(1 - cos p)sin p sin a] w3 = R sin p[ - u sin a - R (1 - cos p)(®1cos a + ®2sin a) + R®3sin p]
up = [u2(1 - sin2pcos2a) + R2(®2 + ®2)(1 - cosp)2 +
+ R ®3sin p + 2uR®1sin p sin a cos a + 2uR®2 (1 - cos p - sin ■p cos2 a)- (I-6) - 2 uR®3sin p sin a - 2 R2(®1cos a + ®2sin a)® 3( 1 - cos p) sin p]1/2 Как показано в [8], сила F и момент Mc могут быть представлены в виде F = F(u, и, ц), Mc = гФ(u, и, ц) (1.7)
где V = гы, причем функции (1.7) гладко зависят от параметра ц:
F¡ = F0) + цF 1) + ц2/2) + о(ц3), i = 1, 2 (1.8)
Mj = m(0) + цMj^ + ц2Mj2) + O(ц3), j = 1, 2, 3 (1.9)
При этом F0) = 0, M0) = M20) = M11) = 0, явные выражения функций и M30)
получены в [2], а функций F¡1'2) и Mj1'2) (i = 1, 2; j = 1, 2, 3) — в [11]. Заметим, что при ц = 0 предложенная модель трения переходит в модель Контенсу—Журавлева, в рамках которой учитывается только трение скольжения и верчения (F = F¡0) eb Mc = M3¡0) e3). В частности, это означает, что модель Контенсу—Журавлева обладает частичной диссипацией: полная механическая энергия шара (т.е. его кинетическая энергия) в рамках этой модели убывает только на движениях со скольжением и(или) верчением и сохраняется на движениях шара без скольжения и верчения (т.е. на качениях шара). Предложенная в [8] модель трения обладает полной диссипацией:
во 2 п
(F, u) + (Mc, ы) = -kG р(р)dp Jupda< 0 (1.10)
00
при любых u и ы (т.е. u и v), не равных нулю одновременно.
Отметим еще одно свойство предложенной модели, которое существенно используется при анализе динамики шара. Компонента F2 силы трения, ортогональная скорости скольжения шара, и компонента Ых момента сил трения, параллельная скорости скольжения, обращаются в нуль, если и только если угловая скорость шара ортогональна скорости его скольжения (ю: = 0). Действительно, интегралы
2п 2п
P2 = J u2 / upda, Q1 = J w1 / upda 00 входящие в выражения для F2 и Mx (см. (1.2) и (1.3)), имеют вид
Р2 = Р20(u, ®2, ®3) + ®1 Р21(u, ®1, ®2, ®3)
Q1 = Q10(u, Ю2, ®3) + ®1Qn(u, ®1, ®2, ®3)
При этом
2п 2п
P2 = j(-) dа = Jp( sin a) dsin а = 0
p ®i =0 о
о p
2n 2n
Q10 = ) dа = Jq( sin a) dsin a = 0
о p "
ffl, = 0
2. Уравнения движения шара и их свойства. Применяя основные теоремы механики, выпишем уравнения движения шара на горизонтальной плоскости
màs = (N - mg) e3 + F (2.1)
2
2/5ma à = [-ae3, F] + Mc (2.2)
Здесь us = u + [w, ae3] — скорость центра шара, g — ускорение свободного падения. Предполагая, что шар совершает безотрывное движение (т.е. (us, e3) = 0) и проектируя уравнение (2.1) на вертикаль, имеем N = mg. Учитывая, что репер e1, e2, e3 может поворачиваться вокруг вертикали, и обозначая через ft = Qe3 его угловую скорость, выпишем уравнения (2.1), (2.2) в проекциях на подвижные оси, связанные с этим репером:
ù + a(ю2 + ®1Q) = f1, иQ - a(cb1 - ю2Q) = f2
, . 5/2 5m1 . . „ч 5f1 5m2 . 5m3 (2.3)
a(co1 - ю2Q) = —2 + —1, a(co2 + ю1 Q) =--1 + —2, act>3 = —3
2 2a 2 2a 2a
Здесь f = F/m, m- = M/m, a Fi и Mj определяются соотношениями (1.2) и (1.3), в которых вместо N стоит mg (i = 1, 2; j = 1, 2, 3). Точка обозначает дифференцирование по времени.
Перейдем от переменных щ к переменным Q по формулам Q 3 = 3, Q2 = аю2 + 5u/7 и перепишем систему (2.3) в виде
ù = f1 - 5m2/(2a), Q3 = 5m3/(2a) (2.4)
^ 7/2 5m1 • 5 m1 • 5 m2
uQ = — + —1, Q1 = QQ2 + —1, Q2 = - QQ1 + —2 (2.5)
2 2a 7a 7a
При ц = 0 система уравнений (2.4), (2.5) переходит в систему ù = 7/10/2, Q3 = 5m30/( 2a ) (2.6)
Q = 0, Q1 = 0, Q2 = 0 (2.7)
гдеf10 и m30 получаются из f и m3 при ц = 0. Уравнения (2.6), (2.7) описывают движение однородного шара по плоскости с трением в рамках модели Контенсу—Журавлева и с исчерпывающей полнотой исследованы в [2, 5].
Напомним сначала основные свойства [2, 5] динамики шара в рамках модели Контенсу—Журавлева и проинтерпретируем их с точки зрения метода обобщенных диаграмм Смейла [9, 10]. Прежде всего отметим, что в рамках модели Контенсу—Жу-
0
равлева скорость скольжения шара сохраняет свое начальное направление (Q = 0). Кроме того, уравнения (2.6), (2.7) помимо невозрастающей функции
H = 1 (2и + 7О? + 7О2 + 2ОЗ) ^ h (2.8)
допускают два первых интеграла
О? = c? = const, О2 = c2 = const (2.9)
Полагая, без уменьшения общности, начальный момент времени нулевым, имеем Cj = a®? (0), c2 = a ю2 (0) + 5 и (0)/7
h = и2 ( 0) / 2 + au( 0 )ю2( 0) + 7 a2(®2( 0) + ®2( 0)) /10 + a2®2 ( 0) /5
Очевидно, минимум функции (2.8) по u, Qj (j = 1, 2, 3) при условиях (2.9) равен
h = hc = 7 (c2 + c2)/10 (2.10)
Соотношение (2.10) задает в пространстве Смейла {сь c2, h} параболоид, все точки которого инвариантны относительно фазового потока системы (2.6), (2.7). Все остальные точки пространства Смейла, лежащие выше параболоида (2.10) (при h < hc движение невозможно), эволюционируют вдоль прямой c = const, c2 = const в сторону уменьшения h и достигают параболоида (2.10) за конечное время [2].
В общем случае это время tr имеет порядок [5] ( Jlh /kg)s-1, где h — начальное значение функции H.
Таким образом [2], если в начальный момент времени скорость скольжения шара равна нулю (u(0) = 0), а угловая скорость параллельна горизонтальной плоскости (ы(0) = ra(0)e, (e, e3) = 0), то шар равномерно катится вдоль неподвижной прямой:
u (t) = 0, ы (t) = ю 0e (ю0 = ю(0)) (2.11)
Если же в начальный момент времени скорость скольжения u(0) = u(0)e: и(или) угловая скорость верчения (ы(0), e3)e3 = ra3(0)e3 одновременно не равны нулю, то сначала (на отрезке времени [0, tr]) шар неравномерно скользит и(или) вертится и катится, а начиная с момента времени tr, равномерно катится вдоль неподвижной прямой:
u (t) = и (t) e?, w( t) = ю? (t) e? + ю2( t) e2 + ю3( t) e3 и(t) f 0 и (или) ю3(t) f 0 (t e[0, tr]); и(t) = 0, ю3(t) = 0 (t> tr) ю?(t) = ®?(0) (t e [0, +»))
®2(t) = ю2(0) + 5 (и(0) - и(t)), (t e [0, tr]); ®2(t) = ®2(0) + ^ (t > tr)
7a 7a
Следовательно, и в этом случае движение шара, начиная с момента времени tr, описывается формулой (2.11). При этом
®0 = [®2( 0) + (®2 ( 0) + 5 и ( 0) / ( 7 a ))2 ]1/2
е = КС 0) в! + (ю2(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.