КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2010, том 48, № 2, с. 192-197
УДК 629.7
ДИНАМИКА ОСЕСИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА-ГИРОСТАТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГРАВИТАЦИОННОГО МОМЕНТА
© 2010 г. В. А. Сарычев
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 30.03.2009 г.
Исследована динамика осесимметричного спутника-гиростата, движущегося в центральном ньютоновом силовом поле на круговой орбите. Определены все положения равновесия спутника-гиростата в орбитальной системе координат, получены достаточные условия устойчивости положений равновесия.
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим задачу о движении осесимметричного спутника-гиростата (далее иногда спутник), представляющего собой твердое тело с расположенным внутри него статически и динамически уравновешенным ротором. Считается, что угловая скорость вращения ротора относительно корпуса спутника постоянна и центр масс спутник-гиростата движется по круговой орбите.
Введем две правые декартовы системы координат с началом в центре масс О спутника-гиростата:
OXYZ — орбитальная система координат. Ось OZ направлена вдоль радиуса-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника-гиростата; ось OX направлена вдоль вектора линейной скорости центра масс O.
Oxyz — связанная со спутником-гиростатом система координат; Ox, Oy, Oz суть главные центральные оси инерции спутника-гиростата.
Выразим направляющие косинусы осей Ox, Oy, Oz в орбитальной системе координат через углы тангажа (а), рыскания (р) и крена (у) с помощью соотношений [1]
an = cos (x, X) = cos a cos р, a12 = cos (y, X) = sin a sin у - cos a sin p cos у, a13 = cos (z, X) = sin a cos у + cos a sin p sin у, a21 = cos (x, Y) = sin p, a22 = cos (y, Y) = cos p cos у, (1)
a23 = cos (z, Y) = - cos p sin y, a31 = cos (x, Z) = - sin a cos p, a32 = cos (y, Z) = cos a sin y + sin a sin p cos y, a33 = cos (z, Z) = cos a cos у - sin a sin p sin y.
Тогда уравнения движения спутника-гиростата относительно его центра масс записываются в следующем виде [1—3]:
Ap + (C - B)qr - 3(C - B)
a 32 ^зз + h q — r — 0, Bq + (A - C)rp - 3(A - C)a33a31 + h1r - h3p — 0, (2) СГ + (B - A)pq - 3(B - A)a31a32 + h2p - h1q — 0;
p — (a + 1) a21 + у — p + a21, q — (a + 1 )a22 + psinY — q + a22, (3)
r — (a + 1) a23 + p cos y — r + a23.
В уравнениях (2), (3) A, B, C — главные центральные моменты инерции спутника; p, q, r — обезраз-меренные делением на ю0 проекции абсолютной угловой скорости спутника на оси Ox, Oy, Oz; h1 =
= М/Юо, h = h2 /®0, h = h3 /®o; h, h2, h3, - про-еции вектора гиростатического момента на оси Ox, Oy, Oz; ю0 — угловая скорость движения центра масс спутника по круговой орбите. Точкой обозначено дифференцирование по т = Ю0?.
Для системы уравнений (2), (3) справедлив обобщенный интеграл энергии
1(Ap2 + Bq2 + Cr2) + 3 [(A - C)a31 + (B - C)a232] +
+ 2- [(B - A)a21 + (B - C)a23 ] - (4)
- (h^1 + h2a22 + h3 a 23) — const.
Случай 1
2. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СПУТНИКА-ГИРОСТАТА
Положив в (2) и (3) а = а0, р = р0, у = у0 (а0, р0, у0 — постоянные величины), получим при А Ф В Ф Ф С уравнения
(С - В)(а22«23 - 3а32«33) + ¿3«22 - ^2«23 = Р = 0,
(А - С)(«23«21 - 3«33«31) + ¿1«23 - ¿3«21 = б = 0,
(В - А)( «21 «22 - 3 «31 «32 ) + ¿2«21 - ¿1«22 = Я = 0,
позволяющие определить положения равновесия спутника-гиростата в орбитальной системе координат. Здесь «у = ау(а0, р0, у0). В последующем исследовании удобнее использовать эквивалентную систему
Р«11 + б«12 + Я«13 = 0, Р«21 + б«22 + Я«23 = 0, Р«31 + б«32 + Я«33 = 0, которую можно представить в виде [2]:
4(А«21«31 + В«22«32 + С«23«33) + ¿1 «31 + ¿2 «32 + + к3«33 = 0, А«11«31 + В«12 «32 + С«13 «33 = 0, (5)
(А«11«21 + В«12«22 + С« 13 «23) + Й1«11 + ¿2«12 +
+ Н3 «13 = 0.
Далее для упрощения черточки над выражениями для направляющих косинусов будут опущены.
Исследуем положения равновесия осесиммет-ричного спутника-гиростата, когда, например, А Ф В = С. В этом случае система (5) значительно упрощается и принимает вид
4(А - В)«21«31 + Н1«31 + Н2«32 + Н3 «33 = 0, (А - В)«11«31 = 0,
(А - В)«п«21 + к 1 «11 + ¿2 «12
+ Н3 «13 = 0.
(8)
«11 = 0,
4(А - В)«21 «31 + Н1 «31 + Н2«32 + Н3«33 = 0,
¿2 «12 + ¿3 «13 = 0,
22 «12 + «13 = 1,
222 «21 + «22 + «23 = 1,
222 «31 + «32 + «33 = 1,
«12«22 + «13«23 = 0,
«12«32 + «13«33 = 0,
«21 «31 + «22 «32 + «23 «33 = 0;
Случай 2
«31 = 0,
к2 «32 + Н3 «33 = 0, (А - В)«11 «21 + Н1 «11 + к2«12 + Н3«13 = 0,
222 «11 + «12 + «13 = 1,
222 «21 + «22 + «23 = 1,
22 «32 + «33 = 1 ,
«11 «21 + «12 «22 + «13 «23 = 0,
«12«32 + «13«33 = 0,
«22 «32 + «23«33 = 0.
Рассмотрим вначале систему (8). Из третьего и
(9)
четвертого уравнений получаем а12 = ± -
к
(6) а1з = +
7Н2 + ¿3
Учитывая, что а22 = —а13а31, а23 =
= а12а31, а32 = а13а21, а33 = —а12а21, ^2а32 + ^3а33 =
= а21(Й2а1з - ^а^) = Та2^,1к 2 + Н3, система (8) мо-
Подставляя в (6) выражения для направляющих косинусов из (1), получим три уравнения с неизвестными а0, р0, у0. Второй более удобный способ жет быть представлена в виде замыкания уравнений (6) заключается в добавлении шести условий ортогональности направляющих косинусов
«11 = 0, «12 = ±
к3
л/к2 + к3
«13 = +
л/к2 + к3
«11 + «12 + «13 = 1, «11 «21 + «12«22 + «13 «23 = 0, «21 + «22 + «23 = 1, «11 «31 + «12«32 + «13«33 = 0, (7) «31 + «32 + «23 = 1, «21 «31 + «22«32 + «23 «33 = 0.
«22 = -«13«
13 31
«23 = «12«
12 31
«32 = «13«
13 21
«33 = -«12«
(10)
12 21
/ 2 2
4(А - В)«21 «31 + к1 «31 + «21Л/к2 + к3 = 0,
22 «21 + «31 = 1 .
Далее будем исследовать положения равновесия осесимметричного спутника-гиростата, используя системы (6) и (7), в зависимости от пара- Определив направляющие косинусы а21 и а31 из метров А—В, Ьъ Н2, к3 (прямая задача). Возможны последних двух уравнений, можно получить все
следующие два случая:
решения системы (8).
Рис. 1. Взаимное расположение окружности и ветвей гипербол (т = п = 1).
Рис. 2. Взаимное расположение окружности и ветвей гипербол (т = п = л/2).
Используя аналогичный подход, представим систему (9) в следующем виде:
а12 = -а21а33, а13 = а21 а32, а22 = а11 а33, а23 = —ацаз2,
аз1 = 0, а32 = ±
Ы
, а33 =
Щ+к] ^2 + к\ (11)
(А - В) а 11 а21 + Й1 а 11 ± а2^н\ + к3 = 0,
'11 ± "21'
22 а11 + а21 = 1.
Рассмотрим более подробно последние два уравнения системы (10), переписав их в виде
4а21 а31 + та31 + па21 = 0,
22 а21 + а31 = 1,
(12)
к1
л/к2 + к
где т = -, п =
А - В А - В
Систему (12) можно переписать несколько иначе:
16а21 + 8та21 + (т2 + п2 - 16)а21 - 8та21 - т2 = 0,
±па
а=
21
(13)
4а21 + т
Из системы (13) следует, что первое уравнение может иметь не более 4 действительных корней а21, зависящих от т, п. С учетом второго уравне-
ния число действительных решений а21, а31 системы (13) не может превышать 8.
Первое уравнение системы (12) для обоих знаков перед последним членом в левой части представляет собой уравнение гиперболы, одна из ветвей которой проходит через начало системы координат (а21 = 0, а31 = 0) в плоскости переменных а21, а31, а второе уравнение описывает в этой плоскости единичную окружность. Число действительных решений системы (12) зависит от характера пересечений гипербол и окружности. Ясно, что две ветви гипербол, которые проходят через начало координат, заведомо пересекаются с окружностью в четырех точках. Если и две другие ветви гипербол пересекаются с окружностью, то имеем еще четыре решения. В случае касания ветвей гиперболы с окружностью четыре решения сливаются в два (существуют два кратных корня). На рис. 1, 2, 3 представлены три различных варианта взаимного расположения ветвей гипербол и окружности. Таким образом, система (12), а, следовательно, и система (10), имеет либо восемь, либо четыре решения.
Определим границы в плоскости параметров т, п, разделяющие области с различным числом решений системы (12). Бифуркационными точками являются точки плоскости т, п, принадлежащие одновременно ветвям гипербол, не проходящих через начало координат, и окружности; в бифуркационных точках касательные к гипербо-
4 п
Рис. 3. Взаимное расположение окружности и ветвей гипербол (т = п = 1.6).
Рис. 4. Области существования 16, 12 и 8 равновесных ориентаций осесимметричного спутника-гиростата.
ле и окружности совпадают. Условие совпадения касательных имеет вид
31
й«
21
4 «31 + п 4«21 + т
21
или
4(«21 - «31) + т«21 ± п«31 = 0. Из первого уравнения (12) получаем
±п«21
(14)
«31 =
4«21 + т
Подставив это выражение для а31 во второе уравнение (12) и уравнение (14), получим систему
22
п«
21
(4«21 + т)
2
= 1 - «
21
(15)
тп
(4«21 + т)
= -(4 «21 + т).
ствуют также восемь решений, среди которых имеются четыре пары совпадающих решений, в области т2/3 + п2/3 > 42/3 существуют четыре решения.
Рассмотрим теперь последние два уравнения системы (11), записав их с использованием параметров т и п в виде
«11«21 + т«11 ± п«21 = 0,
22 «11 + «21 = 1 .
(17)
Систему (17) можно переписать в виде
«21 + 2т«\1 + (т2 + п2 - 1 )«21 - 2т«21 - т2 = 0,
«=
+П«21 «21 + т
Разделив левую (правую) часть первого уравнения этой системы на левую (правую) часть второго уравнения, получим после несложных преобразований соотношение а21 = -4-1/3т1/3. Подставив, наконец, выражение для а21 во второе уравнение системы (15), приходим к уравнению астроиды
т2/3 + п2/3 = 42/3. (16)
Внутри области т2/3 + п2/3 < 42/3 существуют восемь решений системы (12), на кривой (16) суще-
Применив использованный выше при исследовании системы (12) подход, можно показать, что и для системы (17) границей, отделяющей область существования восьми решений от области существования четырех решений, также является астроида
т2/3 + п2/3 = 1. (18)
Проведенные вычисления показывают, что границы (астроиды), разделяющие области с различным числом решений для систем (12) и (17), не зависят от знака перед последним членом в первом уравнении этих систем.
На рис. 4 представлены астроиды (16) и (18), выделяющие в плоскости т, п три области с различным числом положений равновесия осесимметрич-ного спутника-гиростата. В области т2/3 + п2/3 < 1
31
2
существуют 16 решений, в области m2/3 + n2/3 > 1, m2/3
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.