КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2012, том 50, № 5, с. 394-402
УДК 629.7
ДИНАМИКА ОСЕСИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГРАВИТАЦИОННОГО И АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО МОМЕНТОВ
© 2012 г. В. А. Сарычев, С. А. Гутник
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 25.05.2011 г.
Исследуется динамика вращательного движения осесимметричного спутника на круговой орбите под действием гравитационного и аэродинамического моментов. Численно определены все положения равновесия спутника в орбитальной системе координат, получены достаточные условия устойчивости положений равновесия.
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим движение спутника—твердого тела относительно центра масс на круговой орбите под действием гравитационного и аэродинамического моментов. Введем две правые прямоугольные системы координат.
ОХУХ — орбитальная система координат. Ось OZ направлена вдоль радиуса-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника. Ось ОХ направлена вдоль вектора линейной скорости центра масс О спутника.
Оху1 — связанная со спутником система координат; Ох, Оу, О1 — главные центральные оси инерции спутника.
Определим ориентацию связанной со спутником системы координат Оху1 относительно орбитальной системы координат углами тангажа (а), рыскания (в) и крена (у). Тогда направляющие косинусы осей Ох, Оу, О1 в орбитальной системе координат задаются выражениями [1]
а11 = ео8(х, X) = ео8 а ео8 р, а12 = ео8(у,X) = ау - ео8 ар ео8у, а13 = ео8(г, X) = а ео8 у + ео8 а р у,
21
= ео8(х,Т) = р,
а22 = ео8(у,Г) = ео8 р ео8 у, а23 = ео8(г,Т) = - ео8 р бш у, а31 = ео8(х, X) = - а ео8 р, а32 = ео8(у, X) = ео8 а 8Ш у + а 8Ш р ео8 у, а33 = ео8(г,X) = ео8 аео8 у - 8Ш а8т р 8Ш у,
(1)
а уравнения движения спутника относительно центра масс запишутся в виде
2
Ар + (С - Б)дг - 3ю0(С - В) а32а33 -
-ю^НРи - ^а^) = 0, ВС + (А - С)гр - 3ю0(А - С) а33а31 -
- ю2(Л3а11 - А1а13) = 0, Сг + (В - А)рс - 3ю0(В - А)а31а32 -
-©0(^12 - Н^йц) = 0;
р = (а + ю0)а21 + у = р + ю0а21, С = (а + ю0)йоо + |3 8т у = С + ©оа^, г = (а + ©сОа^ + (3 ео8 у = Г + ю0а23. В уравнениях (2), (3)
(2)
(3)
Н -- Яа
Н1 - 2,
®0
Н2 --Щ, Н3 --ОС.
2 ®0
2 ®0
А, В, С — главные центральные моменты инерции спутника; р, q, г — проекции абсолютной угловой скорости спутника на оси Ох, Оу, ю0 — угловая скорость движения центра масс спутника по круговой орбите; О — действующая на спутник сила сопротивления; а, Ь, с — координаты центра давления спутника в системе координат Оху1. Точкой обозначено дифференцирование по времени.
Уравнения (2) получены при следующих предположениях:
1) действие атмосферы на спутник сводится к силе сопротивления, приложенной в центре давления и направленной против скорости центра масс спутника относительно воздуха;
2) влияние атмосферы на поступательное движение спутника пренебрежимо мало;
3) увлечением атмосферы вращающейся Землей пренебрегается.
Предположение 1) достаточно точно выполняется для формы спутника, близкой сферической.
Для системы (2)—(3) справедлив обобщенный интеграл энергии
1(Ар2 + Вд2 + Сг2) + - ю0 [(А - С)а31 + (В - С)а12 ] +
+ 1 а20[(В - А)а221 + (В - С)а223] -
2
-а2(к1а11 + Н2аи + к3а13) = сош!
(4)
2. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СПУТНИКА
Положив в (2) и (3) а = а0, в = в0, у = у0, где а0, в0, у0 — постоянные величины, получим при А Ф Ф В Ф С уравнения
(С - В)(а22а2з - -апа--) - ^а^ + Н-аи = 2, (А - С)(а23а21 - 3а33а31) - Н3а11 + Н1а13 = 2, (5) (В - А)(а21й22 - 3а-1а-2) - кап + Н&ц = 2, позволяющие после подстановки выражений для направляющих косинусов (1) определить неизвестные величины а0, в0, у0. В последующем исследовании удобнее использовать эквивалентную систему
Аа21а31 + Ва22а32 + Са23а33 = 2, 3{Аа11а31 + Ва12а32 + Са13а33) + + (к1а31 + к2а32 + к3а33) = 2, (Аапа21 + Вапа22 + Са^) - (к^ + к^й22 + к3й23) = 2,
(6)
которая получается проектированием уравнений (5) на оси орбитальной системы координат. Система (6) вместе с условиями ортогональности для направляющих косинусов
а^ + а12 + а^ = 1, апа21 + апа22 + апа23 = 2, а221 + а22 + а223 = I, а^ + апй32 + а^а- = 2, (7) + а\2 + а^3 = 1, + а22а32 + а^а- = 2
образует алгебраическую систему девяти уравнений для определения всех направляющих косинусов, определяющих положения равновесия спутника в орбитальной системе координат.
Система уравнений (6)—(7) решена для некоторых частных случаев. В [2, 3] для случая, когда центр давления аэродинамических сил расположен на одной из главных центральных осей инерции спутника (Н1 Ф 0, Н2 = к3 = 0), были определены все положения равновесия спутника. Для каждой равновесной ориентации получены как достаточные, так и необходимые условия устойчивости. Исследована эволюция областей устойчивости в зависимости от двух безразмерных параметров задачи. Более сложный случай, когда центр давления аэродинамических сил лежит в одной из главных центральных плоскостей инер-
ции спутника (Н1 Ф 0, к2 = 0, к3 Ф 0), рассмотрен в [4]. Здесь также определены все положения равновесия спутника в зависимости от трех безразмерных параметров задачи, получены достаточные условия устойчивости положений равновесия.
Аналитическое решение задачи определения положений равновесия спутника в общем случае (к1 Ф 0, к2 Ф 0, к3 Ф 0) невозможно. В [3], используя идеи работы [5], показано, что система уравнений (6)—(7) может быть сведена к одному алгебраическому уравнению 12-го порядка с действительными коэффициентами, довольно сложно зависящими от четырех безразмерных параметров задачи. Каждому действительному корню алгебраического уравнения соответствуют два положения равновесия спутника. Так как число действительных корней алгебраического уравнения не превышает 12, то из приведенных соображений следует, что спутник на круговой орбите, находящийся под действием гравитационного и аэродинамического моментов, может иметь не более 24 положений равновесия.
Основное внимание здесь будет уделено нерассмотренному ранее частному случаю исследования положений равновесия осесимметричного спутника, подверженного действию гравитационного и аэродинамического моментов. Пусть А Ф В = С, к1 Ф 0, к2 Ф 0, к3 Ф 0. Тогда система (6), упрощаясь, примет вид
(А - В)а21а31 = 2,
3(А - В)а11а31 + (к1а31 + к2а32 + к3а33) = 2, (8)
(А - В)апй21 - (ка21 + к2й22 + к3й23) = 2.
Из системы уравнений (8) и условий ортогональности (7) получаем следующие два случая:
Случай 1
а 21 = 2,
3(А - В)а11а31 + {,к1а31 + к2а32 + к3а33) = 2,
к2й22 + к3й23 = 2, Щ1 + а^2 + а\3 = 1,
2 2 л 2,2,2 ,
а22 + а23 = 1, а31 + й32 + а- = 1, апй22 + аиа23 = 2, а^ + 012032 + а^а- = 2, а22а32 + а23й33 = 2.
Случай 2
а31 = 2, к2а32 + к3а33 = 2, (А - В)апа21 - (ка21 + к2й22 + к3й23) = 2, + а^2 + ап = 1, а221 + а^2 + а^ = 1, Щ2 + Щ3 = 1, апа21 + апй22 + а^ = 2,
а12а32 + аиа33 = 2, а22а32 + й23й33 = 2.
(9)
(10)
Рассмотрим вначале систему (9). Из третьего и пятого уравнений системы (9) получаем
'11
Рис. 1. Взаимное расположение окружности и ветвей гиперболы (т = п = 0.75).
а
22 = ±
к
+ н2
, а23 = +
Н
'2
д/Н;2 + Н32
Учитывая свой-
«2 + ' '3 \"2 + ' '3
ства определителя матрицы направляющих косинусов, получаем
аи — а2 3а
а13 — аооа
а32 — а^ а
а
12
а23а
23"3Ъ
а
13
221 = 0, а22 = ±
л/н| + Н32
- а22а31 а23 = +
32
-а^а
23 11
33
а^а
д/Н + Н32
22 11
(11)
а32 = ±
»3
а/н2 + Н2
, а33 = +
»2
»2 т "3 а12 = aззaоl,
7н?2 + Н2
. Учитывая, что
»2 + ' »3
а13 = a30a01, a00 = а33а11,
а23 = -aзоall, Ноaоо + Aзaоз = +ап>/+ а3° систему (10) можно записать в следующем виде:
а
12
-а33а
33 21
а
13
a3оa
32 21
Введем безразмерные параметры т = —Н
п =
л/Нр2 + Нз2
А - В
. Тогда последние два уравнения си-
А - В
стемы (11) запишутся в более простом виде
2 2
3а11а31 + та31 ± па11 = 0, а11 + а31 = 1
(13)
или
4 3 1 2 2 \ 2 2
9а11 + 6та11 + (т + п -9)а11 -6та11 -т = 0,
+па,
(14)
31
азз — allaоо, Aоaзо + Назз — Тогда система (9) может быть представлена в виде
3(А - В)а11а31 ± ап^/к2 + Н32 + Н1а31 = 0,
2 2 а11 + а31 = 1.
Рассмотрим теперь систему (10). Из второго и шестого уравнения этой системы получаем
т+3а11
Решив систему (13) или (14), можно из первых семи уравнений системы (11) определить оставшиеся направляющие косинусы.
Первое уравнение системы (13) для обоих знаков перед последним членом в левой части представляет собой уравнения четырех гипербол, две ветви которых проходят через начало системы координат (а11 = 0, а31 = 0) в плоскости переменных а11, а31, а второе уравнение определяет в этой плоскости единичную окружность. Число действительных решений системы (13), а, следовательно, и системы (11) зависит от характера пересечений гипербол и окружности. Ясно, что две ветви гипербол, которые проходят через начало координат, всегда пересекаются с окружностью в четырех точках. Если и две другие ветви гипербол пересекаются с окружностью, то имеем еще четыре решения. В случае касания ветвей гипербол с окружностью четыре решения сливаются в два (существуют две пары кратных корней). Таким образом, система (13), а, следовательно, и система (11) имеет либо восемь, либо четыре решения. На рис. 1, 2, 3 представлены три различных варианта взаимного расположения ветвей гипербол и окружности.
Возможно и более детальное исследование свойств системы (13). Определим границы в плоскости т, п, разделяющие области с различным числом решений. Из приведенных выше рисунков следует, что точками бифуркации являются точки плоскости т, п, через которые проходят одновременно ветви гипербол и окружность и где касательные к этим кривым совпадают. Условие совпадения касательной к двум ветвям гипербол и окружности имеет вид
22
а33а
33 11
23
-а^а
32 11
2з1 = 0, аз2 = ±
7Н2чН3°
33
: +
7Н2Г+Н°
(А - В)апа21 ± ап>/к] + - Н^ = 0,
а°1 + а°1 = 1.
(12)
или
йа31 _ 3а31 ± п _ 0a11
йап
3аи + т
2а3
3 (а^ - а^) - та11 ± па31 = 0.
(15)
0.5 i N С— 1 1
-1.0 -0.5 1
-0.5 - J
41
Рис. 2. Взаимное расположение окружности и ветвей гиперболы (m = n =
11
Рис. 3. Взаимное расположение окружности и ветвей гиперболы (m = n = 1.25).
Подставив выражение для а31 из (14) во второе ура
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.