ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 73. Вып. 2, 2009
УДК 531.36
© 2009 г. А. В. Борисов, И. С. Мамаев ДИНАМИКА САНЕЙ ЧАПЛЫГИНА
Рассматривается задача о движении саией Чаплыгина по горизонтальной и наклонной плоскостям. Исследуется возможность представления уравнений движения в гамильтоновой форме и интегрирования по теореме Лиувил-ля (с избыточной алгеброй интегралов). Для случая наклонной плоскости указаны асимптотики для прямолинейных равноускоренных скольжений саней вдоль прямой наибольшего ската. С помощью численных расчетов построены области на плоскости начальных условий, соответствующие разному поведению саней. Границы этих областей имеют сложный фрактальный характер, что позволяет сделать вывод о вероятностном характере динамического поведения.
1. Уравнения движения. Чаплыгин [1] рассмотрел движение твердого тела, опирающегося на плоскость двумя (абсолютно) гладкими ножками и острым колесиком (диском или лезвием), таким, что тело не может двигаться перпендикулярно плоскости колесика (сани Чаплыгина). Выберем две системы координат - неподвижную Оху и жестко связанную с телом О'^п, начало отсчета которой О' расположено на пересечении прямой, проходящей через точку контакта колесика 2 перпендикулярно его плоскости, с прямой, проходящей через центр масс С параллельно плоскости колесика (фиг. 1); а - расстояние от точки О' до центра масс, Ь - расстояние от точки О' до точки контакта колесика. Пусть ю - угловая скорость тела, и1, и2 - проекции скорости точки 2 на подвижные оси. Тогда уравнение связи (выражающее условие равенства нулю проекции скорости точки 2 на ось О'п) имеет вид
и2 = 0 (1.1)
Уравнения движения саней Чаплыгина в потенциальном поле с потенциалом и(х, у, ф) можно получить методом Гамеля
2 д и ди . , т 2, . ди
ть, = таю ---г-соъ ф-■■--—81п ф, (I + та )ю = - таю и - ■=—
1 дх ду 1 дф (1.2)
ф = ю, X = 1^008 ф, у = и^т ф
где т - масса саней, I - их момент инерции относительно центра масс, х, у - координаты точки О' в неподвижной системе координат, ф - угол поворота подвижных осей (фиг. 1).
Уравнения (1.2) имеют интеграл энергии
Е = (ти2 + (I + та2)ю2)/2 + и(х, у, ф) (1.3)
Заметим, что при таком специальном выборе подвижных осей параметр Ь не входит в уравнения движения.
Рассмотрим частные случаи системы (1.2), при которых появляются дополнительные симметрии.
Фиг. 1
2. Движение по горизонтальной плоскости. Гамильтонова форма и интегрируемость. При отсутствии внешнего поля система (1.2) обладает инвариантной мерой pdu1 a dra а ¿ф a dx a dy с сингулярной плотностью р = га-1. При этом уравнения, описывающие эволюцию проекции скорости и1 и угловой скорости га, отделяются и могут быть представлены в гамильтоновой форме на разрешимой двумерной алгебре Ли
со = {га, H}, U = {и1; H}
„ m, 2 2 . 2 2Ч .2 1 I r , га H = - (ul + а А га), A =1 + —{ra, u1} =--2
2 та аА
Это было отмечено ранее [2] и указана аналогия между движением саней Чаплыгина и динамикой двумерной незамкнутой цепочки Тоды.
Оказывается, что система (1.2) может быть представлена в гамильтоновой форме и для расширенного набора переменных и1, га, x, y, ф, таких, что справедлива следующая теорема, которая доказывается прямой проверкой уравнений движения и тождества Якоби.
Теорема. Если U = 0, то система (1.2) может быть представлена в гамильтоновой форме
4i = {£,-, H}, X = (Ui, ю, x, У, ф)
с гамильтонианом
тт m, 2 2.2 2. .2 1 I H = - (ul + а А га ), A = l + —
2 ma
и нелинейной скобкой Пуассона (содержащей произвольную постоянную Л)
2
г , га г , га г , га cos ф r , ^га sin ф
{га'и1} = ~а~А2' {Ю'ф} {га'Х} =-Ш ' {га'У} = 2H
аА (2.1) 22 и1 га u1cos ф U1sin ф
{и1,ф} = --jjHf. {U2,x} = —H-, {U1,y} = —^h-; {xу} = л = const
Замечание 1. Хотя Лиувиллем было показано, что при удвоении числа переменных система может быть представлена в гамильтоновой форме, такое представление редко используется на
практике. Это обусловлено тем, что получающийся гамильтониан - вырожденный по импульсам. B.C. Новосёловым, В.В. Козловым и Д. Дюистермаатом была поставлена проблема о возможности записи уравнений в гамильтоновой форме неголономных систем без удвоения числа переменных и с сохранением невырожденности гамильтониана. Именно такая постановка вопроса позволяет применить для исследования неголономных систем хорошо развитую технику анализа гамильтоновых систем.
При Л ф 0 ранг пуассоновой структуры равен четырем, единственная центральная функция имеет вид
F = 2-aictg-^- (2.2)
A aA—
Кроме того, имеются два (неинволютивных) интеграла, определяющих траекторию тела на плоскости:
ф Ф
Фх = x - aA J cos Z ctg SM, Фу = y - aA J sin Z ctg S(Z) dZ; {Фх,Фу } = Л (2.3)
где
i/гч Ф - Z t aA—
S(Z) = r^ + arctg —
Таким образом, система (1.2) при U = 0 обладает избыточным набором некоммутативных интегралов. При Л = 0 ранг скобки Пуассона (2.1) равен двум и Фх, Фу становятся функциями Казимира.
Соотношения (2.2), (2.3) задают интегрируемое отображение рассеяния, в частности:
Дф| +Г = п A
В другом частном случае a = 0 имеется стандартная инвариантная мера dv1 Ad— л л dф л dx л dy.
Пусть a = 0 и dU/dy = 0. Тогда система, описывающая эволюцию переменных и1, —, x, ф, отделяется. Сделав в ней замену времени и пространственных переменных
cos фdí = dT, x, = x, x2 = sin ф получим уравнения
du1 dU Td — dU , T 2 dxl dx2 ^
m —— = --г—, J — = —, J = I + ma,, -т- = и,, -r- = — (2.4)
dT d x, dT д x2 1 dT 1 dT
которые, очевидно, после преобразования Лежандра записываются в гамильтоновой форме.
Отметим, что замена времени имеет особенности в точках
cos Ф = 0 (2.5)
Таким образом, представление (2.4) справедливо лишь в открытой области фазового пространства, из которого были исключены точки, удовлетворяющие уравнению (2.5).
Замечание 2. Чаплыгин представил уравнения (2.1) в каноническом гамильтоновом виде с использованием квазикоординаты; они имеют четвертый порядок и удобны для применения теории возмущений [3]. Чаплыгин использовал эту систему для иллюстрации метода приводящего множителя, который он применил также к более сложным задачам.
Сани Чаплыгина с крутящим моментом. Другой случай, который приводит к системе (1.2), получается, если тело уравновешено и движется по горизонтальной плос-
кости, но имеется крутящий момент (dU/dx = dU/dy = 0, dU/Эф Ф 0). При этом отделяется система трех уравнений
Ú = ara2, Jra = - marav1- ЭU/Эф, ф = ra
обладающая интегралом энергии
E = (mv21 + J ra2)/2 + U (ф)
Эта система может быть сведена к одному уравнению второго порядка для функции ^(ф)
Jd2ví/dф2 = - ma2vt- a2(Э U/Эф)(dv1/dф) 1
3. Движение по наклонной плоскости. Направим ось Ox вдоль линии наибольшего ската, тогда
U = m ц( x + a cos ф), ц = g sin % (3.1)
где X - угол наклона плоскости к горизонту.
Если a = 0, то уравнение интегрируемо тривиально - имеется четыре интеграла,
определяющие закон движения и траекторию: ц .
ra = const, и + — sin ф = const 1ra
x - -1- |u1ra sin ф + ц sin2 ф| = const, y + -1- |u1 ra cos ф + ;-cos ф + ;-cos ф sin ф| = const ra2 V 2 ) ra2 V 22 )
Тело не соскальзывает вниз, но испытывает дрейф в горизонтальном направлении, а если тело отпущено без начального толчка (и1(0) = 0), то оно движется по циклоиде [5].
Методом усреднения были изучены [3] качественные закономерности движения саней Чаплыгина на наклонной плоскости c использованием канонической гамильтоно-вой формы уравнений, предложенной Чаплыгиным [1] и содержащей квазикоординату. Система (1.2) с потенциалом (3.1) имеет очевидные частные решения вида
1) ra = 0, и1 = u0 - цг, ф = 0, y = const, x = u0t - ц//2
2) ra = 0, u1 = u0 + цг, ф = п, y = const, x = - u0г - цг2/2 (3.2)
u0 = U1 |г = 0
которые соответствуют равноускоренному скольжению саней вдоль прямой наибольшего ската, так что при этом лезвие остается параллельным этой прямой. Уравнения движения не меняются при замене
a ^-a, ф^п + ф, и1 ^-и1
Поэтому без ограничения общности положим a > 0 и исследуем подробнее устойчивость решений (3.2) (по части переменных). Выполним замену времени и соответствующую замену скоростей по формулам
tdt = dT, u1 = tu, ra = г ra (3.3)
В новом времени получим неавтономную систему
du -2 1 ч dra ura 1 (_ ц . ^ dф
- = ara (u + цcosф), Tt = VraфJ, dx = ra
(3.4)
dx dy
— = u cos ф, -T = u sin ф dT dT
Первые три уравнения образуют замкнутую систему; решениям (3.2) соответствуют неподвижные точки этой системы й = -ц, ю = 0, ф = 0 и и = ц, ю = 0, ф = п соответственно. Линеаризуя систему (3.4) вблизи них, получим
-Аи 1 . _ -Аю Л 2 1 ^. _ . V2 -Аф 2 ц ,, сч
-Ж = -2ТАи' -" = Г-2-т>Ю± 2"тАф' -Т = Аю; у (3.5)
где верхний знак соответствует первому решению, а нижний - второму. Решения этой системы имеют вид
1) А и = Аф = ехр (-V2 т/а + В—егй^Тг)!
7х V v ;
Аю = В- v2exp (-V2 т)Га + В—егА^ТТ)
Я I V
2) А и = Аф = ехр (у2т/а + В—ег^,/с)1
7т V v ;
В -2--------2-)Г а + в
Аю = — + V exp(-V т)( A + 5—erf(vVx)) Jx
где A, В, C - постоянные интегрирования, a erf и erfi - вещественная и мнимая функции ошибок
г г
erf (г) = — [ exp (-t2) di, erfi( г) = -i erf (iz) = — [ exp (t2) dt
К К
Таким образом, получаем, что в линейном приближении неподвижная точка U = -ц, ю = 0, ф = 0 системы (3.4) неустойчива, а неподвижная точка U = ц, ю = 0, ф = п асимптотически устойчива.
Покажем, что в данном случае имеет место также асимптотическая устойчивость по Ляпунову. После замены переменных
u = р cos у, аАЮ = р sin у
уравнения движения (3.4) представляются в форме
dp = _р_ ц ( A c < >s ф c < > s у - s in ф sin у) dx = - 2x 2At
dy = sin у ц ( A cos ф sin у + sin ф cos у )
dx =- p О2 + 2ATP
d ф = sin у dx P aA
Исследуемая неподвижная точка имеет координаты
р = ц, у = 0, ф = п Пусть
X = р - ц, Y = у, Z = ф - п
Выберем функцию Ляпунова в окрестности неподвижной точки в виде определенно-положительной квадратичной формы
* = 2 (х2+у2+(7+!) Ч-Ц-/2) (3-6)
Эта функция однозначно определена лишь в окрестности неподвижной точки, так как не является 2п-периодической по ф, у.
Полная производная * по т в окрестности неподвижной точки представляется в форме
й* ^ О1 &2 т
йт =- ^Т-^ (3.7)
где О,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.