научная статья по теме ДИНАМИКА СИСТЕМ С БОЛЬШИМИ ГИРОСКОПИЧЕСКИМИ СИЛАМИ И РЕАЛИЗАЦИЯ СВЯЗЕЙ Математика

Текст научной статьи на тему «ДИНАМИКА СИСТЕМ С БОЛЬШИМИ ГИРОСКОПИЧЕСКИМИ СИЛАМИ И РЕАЛИЗАЦИЯ СВЯЗЕЙ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 3, 2014

УДК 531.01

© 2014 г. В. В. Козлов

ДИНАМИКА СИСТЕМ С БОЛЬШИМИ ГИРОСКОПИЧЕСКИМИ СИЛАМИ

И РЕАЛИЗАЦИЯ СВЯЗЕЙ

Изучаются лагранжевы системы с большим множителем N при гироскопических слагаемых. В первом приближении по малому параметру 8 = 1/N получены упрощенные уравнения движения общего вида с голономными связями. Исследована структура решений прецессионных уравнений.

1. Основной результат. Пусть х = (х1,..., хп) — обобщенные координаты механической системы с кинетической энергией

Т (X, х, г) = Г2 + Т + То

(Тк — однородная форма по обобщенным скоростям Хсъ ., Xп степени к; форма Т2 положительно определена при всех х и г), на которую действуют обобщенные силы

¥ = (¥ь ..., ¥п)

Обобщенные силы р зависят от положения и скорости системы, а также могут зависеть еще и от времени. Динамика такой системы описывается уравнениями Лагранжа

£ (Щ-ЭТ = ^ (1.1)

йг \дхI) дх,

Здесь и всюду далее, если не оговорено иное, I, у = 1,2,..., п, суммирование по / или у ведется от 1 до п.

Предположим, что на систему действуют дополнительные большие гироскопические силы, которые задаются 1-формой

/

N

X и (х)х I

V I

(1.2)

N — параметр, который затем будет устремлен к бесконечности.

Учет гироскопических сил с 1-формой (1.2) приведет к усложнению уравнений движения (1.1):

й- +^^ у=р (1.3)

йг\дх;) дх1 у у Здесь

. =ди1 г =_1

" дху дх,' р

Кососимметрическая матрица Л = (у|| называется матрицей гироскопических сил. Введем еще малый параметр е = 1/Ж. Все встречающиеся здесь функции предполагаются гладкими (бесконечно дифференцируемыми).

Ранг матрицы Л всегда четный. Он может зависеть от точки х. Однако в аналитическом случае почти всюду в конфигурационном пространстве ранг принимает максимальное значение. Будем полагать, что ранг постоянен во всей области конфигурационного пространства, где изучается движение системы.

Теорема 1. Уравнения (1.3) допускают семейство решений в виде формального степенного ряда

х °(0 + ж V) +... причем функция

г ^ х°(г)

вместе с некоторыми множителями ц у (г) удовлетворяет п уравнениям движения й (дТ\ дТ

(1.4)

йг \д±1) дх{

= Ъ + X Х № у

и п уравнениям связей I У±у = 0

(1.5)

(1.6)

Уравнениям (1.5) можно придать вид принципа Даламбера—Лагранжа. Введем по общему правилу возможные перемещения 8x1, которые удовлетворяют уравнениям

X Х У8хУ = 0

(1.7)

а также реакции связей

$ = X ^ у

(1.8)

Ясно, что для всех возможных перемещений

( \ ( \

X = XX у ъх = X ^у X ху5х = -Х ^у X хлдх1

= 0

Следовательно, связи (1.6) идеальные. Согласно принципу освобождаемости можно считать, что система свободна от связей, а их влияние заменяется дополнительными силами — реакциями связей:

£ \дТ

йг ^д хи

дТ_

дхI

= Ъ +

(1.9)

При учете соотношений (1.7) и (1.8) уравнения (1.9), конечно, эквивалентны (1.5).

2. Интегрируемость дифференциальных связей. Связи (1.6) представлены в дифференциальной форме. Поскольку их ровно п, то может показаться, что в типичной ситуации все скорости х1, .■■, х„ равны нулю и никакой содержательной динамики нет. Но это не так. Например, если число степеней свободы п нечетно, то эти уравнения линейно зависимы в каждом положении системы х.

Пусть

m = rank| |Х(у||

Будем считать, что m не зависит от x.

Теорема 2. Связи (1.6) интегрируемые: все конфигурационное пространство расслоено на гладкие (n - m)-мерные многообразия, по которым происходит движение системы.

Таким образом, уравнения (1.5) и (1.6) описывают динамику голономной системы с n - m степенями свободы. Множители ..., цn имеют смысл обычных множителей Лагранжа; в действительности среди них только n - m независимых. Имеется ([1], гл. II) доказательство теоремы 2, основанное на известной теореме Фробениуса.

Теоремы 1 и 2 дают способ реализации голономных связей большими гироскопическими силами. Он не универсален, поскольку таким способом можно реализовать движения систем, конфигурационное пространство которых имеет четную коразмерность.

Теорема 1 дополняет известные способы реализации связей, основанные на введении анизотропного поля упругих сил, сил вязкого трения и присоединенных масс (а также некоторых их комбинаций). Имеется обзор [2] работ в этом направлении с соответствующими ссылками.

3. Доказательство теоремы 1. Укажем схему доказательства теоремы 1. Для этого воспользуемся теоремой 2 и будем считать, что уже введены обобщенные координаты таким образом, что интегральные многообразия уравнений связей (1.6) задаются уравнениями

Xi = const,

xm = const, m = rank

у II

а остальные координаты хт+1,..., хп задают локальную параметризацию этих многообразий. В этих переменных матрица гироскопических сил Л будет иметь вид

0 . . 0"

0 . . 0

0 ... 0 0 . . 0

_ 0 ... 0 0 . • 0 _

где ||ю(у|| — кососимметрическая невырожденная (т х т)-матрица.

Будем теперь искать решения уравнений (1.3) в виде степенного ряда (1.4). Ясно, что координаты

х1 , .-•, хт

будут постоянными. Чтобы найти остальные координаты

0 о

хт+1, .••, хп

как функции времени, надо записать уравнения Лагранжа

й (д д Т г , ! < . < — I — I--= ¥ь т + 1 < I < п

й \д±1) дх1

(3.1)

(3.2)

(3.3)

и подставить в них вместо x1; ..., xm постоянные (3.1). Тогда из уравнений (3.3) будут найдены координаты (3.2) как функции t. В этих переменных множители Лагранжа цm+1,..., цn будут равны нулю, а остальные множители ..., цm однозначно найдутся из первых m уравнений (1.5), в которых переменные xb ..., xn заменены уже найденными функциями времени.

Нетрудно найти по индукции остальные коэффициенты степенного ряда (1.4). Вопрос о его сходимости — деликатная задача. Этот ряд, вообще говоря, расходится (в частности, из-за того, что старшие производные от x1,..., xm входят в уравнения движения с множителем s). По-видимому, степенной ряд (1.4) имеет асимптотический характер. В более простом случае, когда в уравнении (1.3) малый параметр s является множителем только при одной из старших производных x 1, .-•, xn, этот факт был доказан [3]. С несколько иной точки зрения указанный круг вопросов также обсуждался [4, 5].

4. Некоторые примеры. 1°. Рассмотрим задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки с симметричными маховиками внутри под действием заданных внешних сил. Сюда, в частности, включается классическая задача Жуковского—Воль-терры о вращении по инерции гиростата.

Динамика тела описывается уравнениями Эйлера в подвижном пространстве

I ю = (I& + X) хю + M (4.1)

Здесь ю — угловая скорость тела, I — тензор инерции в подвижных осях, X — ненулевой постоянный вектор — гироскопический момент, а M — момент внешних сил. Наличие гироскопического момента связано с дополнительными гироскопическими силами. Для замыкания системы (4.1) надо добавить к ней кинематические соотношения.

Заменим k на NX и будем считать параметр N большим; пусть, как и выше, s = 1/N. Будем искать решение уравнений (4.1) в виде ряда

ю = ro0(t) + £®1(t) + .-•

При всех t вектор ю0 коллинеарен вектору X; положим

юо(0 = v(t)X

В первом приближении по s будем иметь

vIX + v2Xx IX-M = Ххщ (4.2)

Момент M — функция от направляющих косинусов осей инерции твердого тела, угловой скорости и времени t. Умножая равенство (4.2) скалярно на вектор X, получим

v(IX,X) = (M0,X) (4.3)

Если момент зависит только от ю и t, то уравнение (4.3) будет замкнутым (в общем случае неавтономным) дифференциальным уравнением, из которого найдется множитель v. В частности, если M = 0 (как в задаче Жуковского—Вольтерры), то v = const. Итак, при s ^ 0 динамика тела будет описываться динамическим уравнением

I ю + ю х I ю = M + А,хц (4.4)

и уравнением связей

Ххю = 0 (4.5)

Конечно, к ним надо добавить еще кинематические уравнения. Подчеркнем, что связи (4.5) интегрируемы (как и предсказывает теорема 2). При X ф 0 уравнения (4.4) и (4.5) описывают динамику голономной системы с одной степенью свободы: движение твердого тела сводится к вращению вокруг оси гироскопического момента, неподвиж-

ного в теле и в пространстве. После того как будет решено уравнение (4.4), кинематические уравнения Пуассона легко интегрируются простой заменой времени 1 ^ т:

й т = v(t) сН

2°. В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о движении заряженной частицы в заданном электромагнитном поле. Как известно, на нее действует сила Лоренца

Ж = е (я +1 (и х И}}

где E и H — напряженности электрического и магнитного полей, е — заряд, и = х — его скорость, c — скорость света. Магнитная составляющая силы Лоренца является гироскопической силой. В частности, ее присутствие не влияет на сохранность полной энергии. Согласно уравнению Максвелла, й^И = 0. Следовательно, локально И = гоЫ, где A — векторный потенциал. Это обстоятельство позволяет ввести 1-фор-му гироскопических сил (см., например, [1], гл. II).

Рассмотрим случай, когда электромагнитное поле стационарное ^ и H не зависят от 0 и будем считать магнитное поле большим: заменим H на NH и устремим параметр N к бесконечности. Тогда будем находиться в условиях применимости теоремы 1. В пределе, когда N ^ да, заряженная частица будет двигаться по магнитным линиям (интегральным кривым векторного поля Щ. В следующем адиабатическом приближении появляется медленный дрейф (со скоростью порядка частиц поперек силовых линий магнитного поля (см., например, [2] и имеющиеся там ссылки).

3°. Обсудим совсем коротко задачу о малых колебаниях систем с большими гироскопическими силами, описываемых следующей линейной системой второго порядка:

х + NГх + Рх = 0, х е Я"; N > 1 (4.6)

Матрица коэффициентов инерции здесь уже приведена к единичной, матрица Г косо-симметрична, а матрица P будет симметричной, если внешние силы потенциальны. Спектр линейной системы определяется из характеристического уравнения

2 Е + Х N Г + Р| = 0

После подстановки X = цN это уравнение принимает вид

|ц(Г + цЕ) + е 2Р| = 0 или

ц" | Г + ц Е | + е 2{...} = 0 (4.7)

Пусть гапкГ = 2г > 0. Тогда характеристический многочлен | Г + цЕ| будет иметь нулевой корень кратности п - 2г и 2г ненулевых чисто мнимых корней

,.0 , . 0

±;ц1,..., ± г

с простыми элементарными д

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»