научная статья по теме ДИНАМИКА СИСТЕМ С КАЧЕНИЕМ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МАЛЫМИ ОБОБЩЕННЫМИ СКОРОСТЯМИ И РЕАЛИЗАЦИЯ СВЯЗЕЙ Математика

Текст научной статьи на тему «ДИНАМИКА СИСТЕМ С КАЧЕНИЕМ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МАЛЫМИ ОБОБЩЕННЫМИ СКОРОСТЯМИ И РЕАЛИЗАЦИЯ СВЯЗЕЙ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 6, 2014

УДК 531

© 2014 г. А. В. Влахова

ДИНАМИКА СИСТЕМ С КАЧЕНИЕМ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МАЛЫМИ ОБОБЩЕННЫМИ СКОРОСТЯМИ И РЕАЛИЗАЦИЯ СВЯЗЕЙ

Обсуждаются подходы к построению математических моделей систем с качением и гироскопических систем, динамика которых характеризуется малостью части обобщенных скоростей. При моделировании таких систем, как правило, используется квазистатический подход, в рамках которого обобщенные ускорения, отвечающие малым обобщенным скоростям, полагаются равными нулю. Указаны случаи, когда установленная В.В. Козловым возможность получения квазистатических уравнений гироскопических систем путем наложения голономных связей распространяется на системы с качением. Сформулированы достаточные условия, позволяющие провести оценку погрешности квазистатических уравнений систем с качением и гироскопических систем. Показано, что их уточнение по малому параметру — отношению характерных значений "малых" и "конечных" обобщенных скоростей — может быть проведено с использованием формализма Дирака, который основан на анализе связей между обобщенными координатами и импульсами системы, возникающими из-за вырождения ее лагранжиана при переходе к квазистатическим уравнениям.

1. Моделирование динамики систем с качением. В этом разделе развиваются полученные ранее результаты [1, 2]. Напомним постановку задачи и обозначения.

Рассмотрим [1, 2] механическую систему с голономными стационарными идеальными связями, положение которой определяется вектором п независимых обобщенных координат q = ..., дп)т. Система содержит т подвижно сопряженных пар тел (кинематических пар [3]) с одной относительной степенью свободы, в каждой из которых допускается проскальзывание. Контакт тел в парах считается точечным. Моделью касательных составляющих контактных сил (сил трения), действующих по направлению относительного проскальзывания соприкасающихся в к-й паре тел, служит

Р = —Vк^к/к (Ъ,Ъык), к = 1,т (1.1)

Точкой обозначено дифференцирование по времени t, V к = v к (ъ, 4 ик) — коэффициент трения, N — нормальная реакция, /к — характеристика контактной силы, ик — проекция скорости проскальзывания тел в к-й точке контакта на направление смещения. Далее предполагается N > 0 (к = 1, ..., т). Величины ..., и t считаются безразмерными.

Компоненты вектора u = (и1, ..., ит)тсвязаны с обобщенными скоростями системы соотношением

и = В4; В = \ЬШ(4)\\; / = 1,п; к = 1,т (1.2)

Предполагается, что в окрестностях

К! < е ^ 1 (1.3)

поверхностей uk = 0 функции fk — гладкие и быстро изменяющиеся при изменении uk: \дsfklduÜ S 1 бs; min fk = -1, max fk = 1

|«k|<e |uk|<e

В частности, при выполнении этих условий верны неравенства

Ifkl ^ 1 (1.4)

т.е. величины касательных составляющих контактных сил не превосходят предельных значений vkNk сил кулонова трения. Параметр s, характеризующий малую упругую (упруго-пластическую) деформируемость соприкасающихся в парах тел, далее будет устремлен к нулю.

Динамика такой системы описывается уравнениями Лагранжа

A(q)q = g(q,q) + QÄ (q,q, t) + BTP (1.5)

T

g(q,q) = (gb ..., gn) — вектор, отвечающий символам Кристоффеля и потенциальным

где А = ||а,у^)|| (г, у = 1, ..., п) — матрица инерционных коэффициентов; силам (силовая функция системы обозначена через V):

% (4, 4 ) = -

( /<w А -\\ТЛ / \T

" ' " q +

dA _ 1 (д (Aq)

dt 21 dq

dq

Q4 = (Qf , ..., Q^ )T — вектор обобщенных сил, отвечающий активным силам; P = (Рь ..., Pm)T = — vfN — вектор касательных составляющих контактных сил (1.1), v = diag(vi, ..., Vm), f = diagfl, ..., fm), N = (Nb ..., Nm)T. Зависимости Nk = Nk (q,q, f, t) (k = 1, ..., m) считаются известными (был приведен алгоритм отыскания нормальных реакций [1]).

Если решение системы (1.5) попадает на пересечение m окрестностей (1.3), то по переменным u реализуются "жесткие" воздействия. Ранее было рассмотрено движение по указанному пересечению и разделены случаи, когда при в ^ 0 решение системы развивается вблизи решения классической неголономной модели с условиями непроскальзывания тел в кинематических парах или вблизи решения неклассической модели с первичными связями Дирака [1, 4, 5]. Далее ограничимся вторым случаем.

Пусть при выполнении условия (1.3) для k = 1, ..., m обобщенные скорости системы и элементы первых р столбцов матрицы B при в ^ 0 могут быть оценены следующим образом:

¿i = O(1), qj = O(б), max\bki\ = O(б); i = 1,..., p; j = p +1,..., n (1.6)

i,k

Тогда величины каждого из слагаемых в правых частях соотношений (1.2) соизмеримы с характерным значением О(в) левых частей этих соотношений, и переход к условиям 0 = Bq, базирующийся на пренебрежении скоростями проскальзывания тел по сравнению с обобщенными скоростями, теряет обоснование.

Рассмотрены [1] два способа моделирования движения системы в этом случае. Первый — использование квазистатического подхода, в рамках которого обобщенные ускорения ¿j, отвечающие малым обобщенным скоростям, полагаются равными нулю. Второй способ моделирования связан с применением подхода, разработанного Дираком для систем с вырожденными лагранжианами [4, 5]. В таких системах обобщенные координаты и импульсы являются зависимыми. В рассматриваемом случае в

качестве соотношении между этими величинами, называемых первичными связями Дирака, выбираются соотношения

p2 - A2iA11-1p1 = 0 (1.7)

получаемые из выражении для обобщенных импульсов

Pi = Anq i + Ai2q 2, Р2 = A 2iq 1 + A 22q 2

t T T T (1.8)

q 1 = (( qp) , q2 = (í?p+1, qn) , Pi = (( Pp) , P2 = (Pp+b Pn)

исходной системы (1.5) при переходе к нулевым значениям компонент вектора q2 мат

лых обобщенных скоростей. Здесь матрицы A11(q), A12(q), A21 = A12 (q), A22(q) — соответствующие блоки матрицы A системы (1.5):

p n — p

( \ p

A = A11 A12

V A9I A29 )

21 22 n - p

Обоснование и оценку погрешности указанных моделей можно провести путем перехода в системе (1.5) к пределу при в ^ 0. Для его формализации система (1.5) при помощи замены

q 2 = Ев, u = sz (1.9)

приводится к сингулярно возмущенной форме

q1 = V1

v 1 = A-11(g1 (q, q) + Q14 (q, q, t) + BfP - AUZ)

q 2 = £в

Ев = Z = (A22 - A21An1A12)-1 X

x [-A21Ar11(g1 (q, q) + Q14 (q, q, t) + P) + g2 (q, q) + Q2* (q, q, t) + B^P]

q = (q1,q2), q1 = (,•••,qp), q2 = ((+1,•••,qn), 0 = (,• ••, 0n-p) (i.i0)

g1 = feb gp)T, g2 = (gp+b gn)T

qA = (qA,•••, qa)t, qA = (Q+1,..., qa)t

P = -vfN, N = N (q, q, f, t), vk =vk (q, q, ezk)

p n — p _

fk = fk (q, q,Zk), k = 1,..., m, sz = B1V1 + B2q2, B = (B1 B2), B1 = eB1

Переменными системы (1.10) являются компоненты векторов q, vb 0. График функции fk = Ш, q, Zk) получается при q, q = const из соответствующего графика fk = fk(q, q, uk) растяжением в 1/в раз вдоль оси uk (при этом д jk /dzk остаются конечными при в ^ 0 и определены при в = 0). В соответствии с третьей из оценок (1.6) элементы матрицы B1 не превосходят величин 0(1). Будем считать, что производные векторов g и QA по компонентам вектора 0 при в ^ 0 не превосходят величин 0(в).

Согласно условиям (1.3), (1.6) и соотношениям (1.9) компоненты векторов г и 0 должны удовлетворять неравенствам

ы < 1, - р| < 1; к = 1, ..., т,у = р + 1, ..., п (1.11)

В качестве начальных условий для системы (1.10) примем

4(0, в) = 4 о, ¥1(0, в) = У10, 0(0,6) = 4 2(0, в)/в = в о (1.12)

Квазистатическая система. При б = 0 система (1.10) переходит в вырожденную (квазистатическую) систему

41 = ¥1

¥1 = А 1-11(%1 (4, 4) + 014 ((, 4, t))

0 = -А21А-1(81 (4,4) + О12(4,<4,t)) + %2(4,4) + О2 (4,4^ + в2р 4 = (41,420)Т, Р = -vfN, N = N ((, 4, Г, t) .

Vк = Vк ((, «1,0), /к = Л ((, «4,!к), к = 1,..., т, г = В ^ + В26

41 (0) = 4къ ¥1 (0) = ¥10

Через д10 и д20 обозначены векторы, составленные, соответственно, из первых р и последних п — р компонент вектора начальных условий д0, определенного соотношениями (1.12). Как следует из системы (1.13), переменные 42 равны своим начальным значениям д20. Переменные 41() и у^) могут быть определены путем интегрирования первого и второго дифференциальных уравнений системы (1.13). В общем случае, когда компоненты вектора Р касательных составляющих контактных сил не могут быть найдены непосредственно из конечного (третьего) уравнения, для их отыскания требуется выразить из третьего уравнения компоненты вектора 0 быстрых переменных и подставить найденный корень 0 = 00(4, ¥1,0 в выражения для аргументов функций /к — компонент 1к вектора Т.

Выполнение условий теоремы Тихонова о малом параметре [6] достаточно для предельного перехода к квазистатической системе (1.13) на конечном интервале времени. Поскольку при решении практических задач важна оценка допускаемой при этом погрешности, далее условия близости решений исходной и вырожденной систем (1.10) и (1.13) будут формулироваться с использованием результатов А.Б. Васильевой [6].

Будем считать выполненными следующие условия.

I. Правые части дифференциальных уравнений системы (1.10) являются аналитическими функциями своих аргументов в области

О = {||4 < аь ||уЦ < аъ |9}_р| < 1; } = р +1,..., и, 0 < I < t}

II. Конечное (третье) уравнение системы (1.13) имеет в области

Б = {||4 < аь||уЦ < а2,0 < t < t}

изолированный корень 0 = 00(4, ¥1, t), такой, что

1) компоненты 9у--р = 9°_р ( = р + 1, ..., п) вектора 00 и значения 1к = Тк (к = 1, ..., т) удовлетворяют неравенствам (1.11), значения /к = (4, (4, Тк) — неравенствам (1.4);

2) дифференциальные (первое и второе) уравнения системы (1.13) имеют при 0 < ? < { единственное решение 41((), Т^), лежащее внутри области Б.

III. Точка покоя 0 = 0°(q, Vi,t) присоединенной системы

- = Z °

dT 1е=°

q = (qi, q2°)T, P = -vfN, N = N (q, q, f, t) (1.14)

vk = vk (q,q,°), fk = fa (q,q,Zk), k = 1, ..., m

Z = BiVi + B26 = ((, ..., Zm)T

где q1; v1 и t рассматриваются как постоянные параметры из области G, асимптотически устойчива по первому приближению.

IV. Решение 0(т) системы (1.14), отвечающее начальному условию 0 (0) = 0 ° и начальным значениям параметров q1 = q10, v: = v10, t = 0, существует при т > 0 и стремится

к точке покоя 0 = 0° (q0, v10, 0) при т ^ да; компоненты 9j-р = 9j-р (j = р + 1,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»