научная статья по теме ДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ А.Б. КИСЕЛЕВА “АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБ АДИАБАТИЧЕСКОМ СЖАТИИ ТОЛСТОСТЕННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ НЕСЖИМАЕМОГО ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА”. ПММ. 2012. Т. 76. ВЫП. 4. С. 675-679 Математика

Текст научной статьи на тему «ДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ А.Б. КИСЕЛЕВА “АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБ АДИАБАТИЧЕСКОМ СЖАТИИ ТОЛСТОСТЕННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ НЕСЖИМАЕМОГО ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА”. ПММ. 2012. Т. 76. ВЫП. 4. С. 675-679»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 6, 2014

УДК 539.374

© 2014 г. А. Б. Киселёв

ДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ А.Б. КИСЕЛЕВА "АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБ АДИАБАТИЧЕСКОМ СЖАТИИ ТОЛСТОСТЕННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ

И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ НЕСЖИМАЕМОГО ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА". ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 675-679

Рассматривается задача, отличающаяся от сформулированной ранее [1, 2] наличием внешней динамической нагрузки. В рамках тех же предположений и тем же методом получены точные решения.

1. Сжатие сферической оболочки. В одномерном приближении (все параметры зависят от радиальной лагранжевой координаты Я и времени t) рассмотрим процесс адиабатического сжатия сферической оболочки под действием внешней нагрузки ). Внутренний г0 и внешний г1 радиусы оболочки меняются с течением времени по зако-

Фиг. 1

ну r0 = t) и r1 = r(Rb t), где R0 и R1 — ее внутренний и внешний радиусы при t = 0 (фиг. 1).

Граничные условия имеют вид

Or|r=r1 =Ht) < 0, Cr|r=r0 = 0 (1.1)

где aR — радиальное напряжение.

Если внешняя нагрузка в начальный момент времени Е(0) превосходит по абсолютной величине критическое значение

s min = 2Y0 ln к, к = R1/R0

где Y0 — предел текучести при простом растяжении, т.е. Ц(0) < —S^im, то среда переходит полностью в пластическое состояние. Этот результат соответствует полученному ранее [3]. Именно такие нагрузки и рассматриваются. Величина ^т — эффективный предел текучести при всестороннем сжатии.

Из условия несжимаемости материала следует, что

и = C(t)/R2 (1.2)

причем C(t) < 0, поскольку происходит сжатие оболочки и радиальная скорость и < 0. При начальном условии C(0) = 0 получается следующее решение:

t

C(t) = ße~at \ea'E(t)dt + Y (1 - e~at) (1.3)

J а

где

4n(1 + K-1 +K-2) _ R0 2Y0R0 .

a = —--2-, ß =-у-, Y =-0 ln k

P0R0 Po(1 -K ) Po(1 -K )

и p0 — плотность, n — динамическая вязкость.

В случае, когда внешнее давление на оболочку постоянно, т.е.

Е(0 = Z0 = const < -Zmmin, (1.4)

найдем,что

C(t) = i(ßS0 + Y)(1 - е~at)

а

Текущее значение эйлеровой координаты материальной частицы с лагранжевой координатой R будет

r(R, t) = R

1 + i t+

aR К а

(1.5)

Получим уравнение для момента схлопывания несжимаемой сферической оболочки г = г* (т.е. когда гг*) = 0), до которого решение имеет физический смысл:

е г* + а г* = 1 (1.6)

' Р2о +у

При условии (1.4) уравнение (1.6) всегда имеет единственное решение, которое не выражается в элементарных функциях, однако численное решение уравнения (1.6) не представляет трудностей.

0

860

А.Б. Киселёв

2. Сжатие цилиндрической оболочки. В случае цилиндрической оболочки вместо соотношения (1.2) имеем

и = B(t)/R, B(t) < 0 (2.1)

При этом в соотношениях (1.3)—(1.6) функция C(t) заменяется на B(t), а параметры а, в и y заменяются на а, в и Y, определяемые выражениями

_ 2г|(1 -к-2) ^ 1 - Y0

а = —^^-^ Р=—:—, Y (2.2)

р0R2 ln к Poln к V3po

Эффективный предел текучести при всестороннем сжатии цилиндрической оболочки имеет вид

2 cmm = (Y)/>/3) ln к

3. О расширении сферической и цилиндрической оболочек. В случае расширения оболочек вместо функции Z(t) < 0 рассматриваем функцию Z(t) > 0.

Очевидно, что полученные решения одномерных задач о сжатии толстостенных сферических и цилиндрических оболочек из несжимаемого вязкопластического материала могут быть использованы и для случая расширения оболочек: достаточно во всех формулах заменить Y0 на (-Y0). В случае расширения оболочек при C(t) > 0 и B(t) > 0 теряет

смысл понятие времени схлопывания оболочек t* и t*. А условия, которым должны удовлетворять величина внешней нагрузки в начальный момент времени t = 0 для сферической и цилиндрической оболочек примут соответственно вид Х(0) > и Ц0) > X^im.

Рассмотрим случай расширения сферической оболочки, когда нагрузка имеет ступенчатый вид:

Z(t) = ?0H(T -1), Z0 = const >Zmin (3.1)

где T — время нагружения. Из соотношения (1.3) после интегрирования и замены Y0 на (-Y0) получим

C(t) = DsC(t), 0 < t < T (3.2)

C(t) = C(T) + Y(e~aT - e~at), T < t < tss (3.3) a

tS =-ilnlaC(T) + e~aT | (3.4)

C(t) = Ds(1 - e-at), Ds = (Z0 - 2701П K) R03 = const (3.5)

4n(1 - к 3)

Здесь tss — момент остановки расширения сферической оболочки, определяемый из равенства (3.3) по условию C(tss) = 0.

Зависимость C = C(t), описываемая формулами (3.2)—(3.4), показана схематически на фиг. 2.

Распределение кольцевой деформации s 0 в момент остановки расширения сферической оболочки t = tss описывается формулой

I _ 1

е 0 t=ts = 3

s R3

Ds(tS(1 - e~aT) + Te~aT) + Y(tS - T)e~aT

a

Фиг. 2

В случае расширения цилиндрической оболочки при ступенчатой нагрузке (3.1),

где теперь будет Х^т вместо Х^п, результат аналогичен предыдущему: в формулах

(3.2)—(3.4) функции C(t), C(t) и величины а, у, tss заменяются на B(t), B(t) и а, у, ts , а величина Ds заменяется на

Dc = Vо - Yq/ кR2 = const (3.6)

2n(1 - к-2)

Распределение кольцевой деформации в момент остановки расширения цилиндрической оболочки t = tsc описывается формулой

£ '= Я2

Dc(tsc (1 - е aT)) + Te aT +Y(tsc - T)e aT

a

Полученные точные решения могут быть полезны для тестирования программ численного расчета и оценки эффективности численных методов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (12-01-00425а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Киселев А.Б. Аналитические решения задач об адиабатическом сжатии толстостенных сферических и цилиндрических оболочек из несжимаемого вязкопластического материала // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 675-679.

2. Киселев А.Б. К исследованию процесса нестационарного расширения толстостенных сферических и цилиндрических вязкопластических оболочек // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2012. № 6. С. 20-25.

3. Григорьев В.Г., Дунин С.З., Сурков В.В. Захлопывание сферической поры в вязкопластиче-ском материале // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 1. С. 199-201.

Москва

e-mail: akis2006@yandex.ru

Поступила в редакцию 15.I.2013

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»