ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 3, 2015
УДК 533.6.011:51
© 2015 г. А. И. Рылов
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВЯЗИ МЕЖДУ ЗАКОНАМИ СОХРАНЕНИЯ И ПОТЕНЦИАЛЫ ДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Рассмотриваются вопросы построения и выявления функциональных связей между законами сохранения и построения и выявления дополнительных законов сохранения для найденных ранее законов сохранения для трехмерных нестационарных течений (Е.Д. Терентьев и Ю.Д. Шмыглев-ский, 1975 г.) и для бесконечного множества законов сохранения для плоских потенциальных течений (А. И. Рылов, 2002 г.). Под функциональной связью здесь понимается равная нулю сумма трех и более левых частей дивергентных уравнений, взятых с подлежащими определению переменными коэффициентами.
В разд. 1 проанализирован перечень известных законов сохранения для трехмерных нестационарных течений [1, 2] и построен ряд достаточно простых и не отмеченных ранее функциональных соотношений, тесно связаных с определением дополнительных законов сохранения [3]. В разд. 2 для плоских стационарных течений на плоскости потенциала построены новые дополнительные законы сохранения с использованием четырех или двух исходных законов законов сохранения. Исходные законы представлены левыми частями дивергентных уравнений и (или) их потенциалами.
1. Трехмерные нестационарные течения совершенного газа. Выявим связи между законами сохранения, построенными ранее [1, 2], т.е. между соответствующими однородными дивергентными уравнениями. Поэтому в качестве исходной также логично воспользоваться однородной системой [1, 2], которую для наглядности запишем в векторной форме:
Ь0 = рх + &ури = 0
+ и • £гаС/ + (х - 1)/&уи = 0
Здесь и = (и, и, м) — вектор скорости в декартовой системе х, у, г, р — плотность, р — давление, х — показатель адиабаты, / = р/[(х - 1)р] — внутренняя энергия.
Ранее были построены [1, 2] законы сохранения, т.е. дивергентные уравнения
где А,Б — функции X, х, у, г, и, и, м, р, /, а функции и, и, м, р, /, в свою очередь зависят от X, х, у, г. В результате для А,Б при х Ф 5/3 были найдены соотношения, содержащие десять произвольных постоянных. Положив все эти постоянные, кроме одной, равными нулю, приходим, как было указано [1, 2], к одиннадцати дивергентным уравнениям вида (1.2), из которых для последующего анализа выделим десять:
и + (и • А)и + (х - 1)§гас1(/ 1п р) = 0
(1.1)
А1 + Вх + Су + = 0
(1.2)
11 = 0, Ь2 = 0,..., ¿10 = 0
(1.3)
Одиннадцатое дивергентное уравнение [1, 2] в рассматриваемом частном случае совпадает с дивергентным уравнением неразрывности Ц0 = 0 из системы (1.1), которое и будет в дальнейшем использоваться.
Выражения для Ц, Ц2,..., Ц10, точнее, выражения для Л,,..., Л,, входящих в Ц, имеются в общедоступных источниках ([1], с. 1540—1541, формулы (49) или [2], с. 24, 25, формулы (1.49)). Кроме того, рёГ.файл работы [1] содержится на сайте math.net.ru
Наличие приведенного списка [1, 2] дивергентных уравнений (1.3) говорит о том, что, по крайней мере, некоторые из них связаны между собой, причем эти связи ранее [1, 2] никак не обсуждались. Не пытаясь рассмотреть все виды таких связей, ограничимся достаточно простыми соотношениями, связывающими приведенные выше законы сохранения:
/ Ц + /Ц + /кЬк = 0 (1.4)
Нулевая правая часть означает, что все математические выражения в левой части взаимно уничтожаются. Это, в частности, исключает из рассмотрения такую комбинацию, как Ц2 + Ц + Ц4 = 0, из которой нельзя сделать вывод о зависимости, скажем, Ц от Ц3 и Ц4, кроме очевидного вывода, что при Ц = Ц4 = 0 также и ¿2 = 0.
Число слагаемых в левой части равенства (1.4) равно трем. Но это не принципиально. Слагаемых может быть и четыре и больше. Множители при Ц, Ц^, Цк зависят от независимых и от зависимых переменных. Естественно предполагается, что соблюдены принципы размерности.
Здесь уместно напомнить, что соотношение, подобное (1.4), было использовано [3] при обсуждении связи закона сохранения энергии с комбинацией трех законов сохранения компонент вектора импульса. Понятие дополнительного закона сохранения по С.К. Годунову применительно к соотношению (1.4) означает, что каждый из трех фигурирующих здесь законов сохранения может рассматриваться в качестве дополнительного к двум оставшимся, так как является их комбинацией; например,
т _ т /к т
Ц ~ ~~7.Ц ~~7.к
11 11
На практике это означает, что при анализе газодинамических течений или при построении консервативной разностной схемы из входящих в (1.4) трех законов сохранения можно использовать в лучшем случае лишь два любых закона сохранения, т.е. два отвечающих им дивергентных уравнения.
Некоторые авторы [4, 5] под термином "дополнительный закон сохранения" понимают новый закон сохранения, отличный от известных, тем более от общепризнанных законов, никак не увязывая его с другими законами сохранения. Поэтому вопрос унификации терминологии вполне уместен.
Очевидно, что формализовать задачу построения соотношений (1.4) достаточно сложно. Тем не менее принципы размерности и метод "проб и ошибок" позволяют выписать следующие соотношения вида (1.4):
Ц5 + хЦ0 - гЬ2 = 0, Ц6 + уЦ0 - Ц = 0, Ц + гЦ0 - Ц = 0
Ц + хЦ - уЦ2 = 0, Ц +- хЬ4 = 0, Ц0 + уЦ4 - Ц = 0 (1.5)
1Ц + уЦ + хЦ 0 = 0, Ц- ыЬ2 - иЦ - wL4 = 0
Проверяя первое из соотношений (1.5), имеем
2 2
Ц + хЦ0 - Ц = (гры - хр + хр - гры)г + (гр(ы + (х -1)/ - хры + хры - гр(ы + (х - 1)/))х +
+(грыи - хр и + хр и - грыи)у + (гры^ - xрw + xрw - tрыw)z -ры + ры = 0
Данная проверка, как и проверка остальных соотношений (1.5), кроме последнего, достаточно очевидна. Гораздо сложнее проверка последнего из соотношений (1.5), и это связано с тем, что здесь сомножителями при ¿2, Ь3 и Х4 являются зависимые переменные и, и и м, соответственно. Но необходимости приводить здесь эту проверку нет, так как соответствующий вопрос был рассмотрен ранее [3].
Тем самым, законы сохранения = 0 (г = 1,..., 10) из предыдущих публикаций [1, 2], а также Ь0 связаны, по крайней мере, восемью соотношениями (1.5), последнее из которых обсуждалось выше [3], а остальные являются, по всей видимости, новыми. Также из соотношений (1.5) видно, что каждый из законов сохранения = 0 (г = 0,10) будет дополнительным (по С.К. Годунову) по отношению к некоторым из указанных законов.
2. Потенциалы дивергентных уравнений и новые дополнительные законы сохранения плоских потенциальных течений. Рассмотрим нелинейные уравнения Чаплыгина, описывающие плоские потенциальные течения газа:
Здесь и далее q и 0 — модуль и угол наклона вектора скорости, р, p, a и M = q/a — плотность, давление, скорость звука и число Маха, u = q cos 9, и = q sin 9; Ф и у — потенциал и функция тока рассматриваемого течения.
Система (2.1) тесно связана с линейными уравнениями Чаплыгина на плоскости годографа
Фг + ку0 = 0, ф0 -уг = 0; ку00 + у= 0 (2.2)
Очевидно, что здесь уравнение второго порядка — следствие системы уравнений первого порядка.
Линейные уравнения (2.2), как известно, имеют бесконечно много точных решений, получаемых, например, разделением переменных. Но необходимо отметить, что за редким исключением под точными решениями здесь понимаются решения, которые сводятся к квадратурам или к модельным обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Как было показано [6], каждому решению вида
ф = f (z, б), у = g(z,0) уравнений (2.2) отвечает свой нелинейный аналог на плоскости потенциала
Некоторые математические аспекты наличия бесконечного числа законов сохранения из системы (2.3) обсуждались ранее [7].
Дивергентное уравнение из системы (2.3) на плоскости (х, у) с использованием очевидных дивергентных уравнений
(ри) х + (ри) у = 0, иу - их = 0
переписывается так:
Наличие дивергентного уравнения в системе (2.3) позволяет говорить о потенциале этого уравнения Я (не путать с потенциалом течения ф), таком, что Я„ = g, Яч = /.
z -fi= 0 kz +fi= 0
(2.1)
kgv + f = 0, g„ - f = 0
(2.3)
(f pu + gu)x + (f p и - gu)y = 0
(2.4)
Как оказывается, данные потенциалы R могут играть важную роль при построении новых дополнительных законов сохранения. Например, в качестве R может быть рассмотрен интеграл
R = J gd ф (2.5)
взятый вдоль линии тока. Действительно, проверка показывает, что
Rр = g, R4 = ¡g4dq = ¡f^dy = f.
Отметим, что в качестве R может использоваться интеграл R = Jfdу, взятый вдоль линии ф = const, или интеграл по произвольной кривой:
R = J gdq + fd v
Но, учитывая, что при обтекания тела типична ситуация, при которой линия схода будет линией разрыва тех или иных потенциалов, будем использовать определение (2.5).
Продемонстрируем возможность построения новых дополнительных законов сохранения, или, что практически одно и то же, возможность построения новых функциональных связей между законами сохранения с помощью потенциалов дивергентных уравнений. Для этого рассмотрим четыре закона сохранения и отвечающие им дивергентные уравнения и потенциалы. Имеем
gJv - j = 0> R = Rj> } = !>-> 4
Рассмотрим равную нулю комбинацию, в которой потенциалы R и R выступают в качестве сомножителей при левых частях дивергентных уравнений с индексами 3 и 4:
Rl(g3v - f3ip) + R2(g4v - /4ф) = R1(R3W - R3W) + R2(R4W - R4xV<?) = 0 (2.6)
Далее, проводя необходимые выкладки, из равенства (2.6) получаем
(R1R3p)v - R1yR3p - (R1R3v)9 + R1^R3v + (R2R4^)v - R2yR4^ - (R2R4y)9 +
+ R29R4V = (R1R3ip + R2R4^)V - (R1R3V + R2R4V)P - A
Д = R1yR3ip - R1ipR3y + R2VR4^ - R2pR4y
Тем самым приходим к следующей теореме
Теорема. Функциональная комбинация четырех законов сохранения (2.6) при выполнении условия А = 0 приводит к новому дополнительному закону сохранения
(R1R3<p + R2R4^)v - (R1R3V + R2R4V= (R1 g3 + R2g4)y - (R1f3 + R2f4)ф = 0
(2.7)
Оператор А очевидным образом переписывается в виде следующих эквивалентных друг другу определителей, первый из которых можно рассматривать как векторный аналог якобиана:
А =
(R1> R2)v (R1>R2)^
(fb f2) (g1, g2) (/3, ft) (g3, g4)
При вычислении определителей диагональные элементы умножаются друг на друга по правилам скалярного произведения.
Следствие. Если в функционально
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.