научная статья по теме ДРОБНОЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. II. ДРОБНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: МОДЕЛИРОВАНИЕ И АППАРАТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «ДРОБНОЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. II. ДРОБНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: МОДЕЛИРОВАНИЕ И АППАРАТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ»

Автоматика и телемеханика, № 5, 2013

Обзоры

© 2013 г.

А.Г. БУТКОВСКИИ

д-р техн. наук,

С.С. ПОСТНОВ

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва),

Е.А. ПОСТНОВА (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова)

ДРОБНОЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. II. ДРОБНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: МОДЕЛИРОВАНИЕ И АППАРАТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

Обзор посвящён проблемам использования дробного интегро-диффе-ренциального исчисления для описания динамики различных систем и процессов управления. Рассматриваются конкретные типы дробных дифференциальных уравнений и модели дробных динамических систем. Обсуждается качественная динамика, вопросы устойчивости и управляемости таких систем. Приводится описание аналоговой и цифровой реализаций дробных операторов с помощью электрических и оптических схем. Также описаны модели и способы аппаратной реализации дробных контроллеров.

1. Введение

В части I обзора [1] содержится описание математических основ дробного интегро-дифференциального исчисления (далее - дробного исчисления, ДИ), теории дробных дифференциальных уравнений (ДДУ), дробных дифференциальных включений (ДДВ) и дробного вариационного исчисления, а также проводится анализ подходов к интерпретации дробных операторов. В этой части обзора внимание сосредоточено на работах по математическому моделированию и качественному анализу дробных динамических систем (ДДС). Также представлен обзор публикаций, посвящённых аппаратным реализациям дробных операторов и построенным на их основе дробным контроллерам.

В разделе 2 приводится обзор работ по математическому моделированию динамики систем, описываемых ДДУ различного типа. Обсуждаются вопросы качественной теории ДДУ, в том числе проблемы устойчивости, наличия и механизмов возникновения хаотической динамики и способов синхронизации ДДС. В разделе 3 приведён обзор публикаций по применению ДИ в теории управления, вводится понятие управляемости для ДДС и обсуждаются основные постановки задач управления для таких систем. В разделе 4 представлен обзор подходов к реализации операций ДИ на электрических и оптических

схемах, закладывающих основы для аналогового и цифрового моделирования и синтеза ДДС с управлением. В заключении сформулированы основные выводы и обозначены возможные перспективы дальнейших исследований в области применения ДИ в задачах теории управления.

2. Математическое моделирование физических систем с использованием дробных операторов

В [1] были описаны результаты исследований, посвящённых в основном математическим аспектам теории ДДУ и ДДВ. Приведём здесь краткий обзор работ, посвящённых изучению свойств дробных систем и моделированию динамических систем на основе ДДУ, выводу и изучению "дробных обобщений" известных уравнений математической физики.

Большое число ссылок на модели и примеры реальных систем, описываемых с помощью ДДУ, представлены в [1]. В них выведены и исследованы дробные аналоги известных уравнений теории колебаний и волн, гидродинамики, электродинамики, физики плазмы (и плазмоподобных сред) и статистической физики. Этим же вопросам посвящены и работы [2—11], в которых обсуждаются дробные уравнения Кортевега-де Фриза [2, 3], Блоха [4] и разные виды уравнения дробного осциллятора [5-7]. В последнее время появилось заметное число работ, в которых уравнения дробного порядка используются для построения моделей биологических систем, описывающих динамику как популяций [8, 9], так и клеточных [10] и молекулярных структур [11]. Интересно при этом отметить работы по моделированию функционирования биологических нейронов и процессов генерации и распространения нервных импульсов на основе формализма ДИ [10]. Нейроны представляют собой естественную электрохимическую систему, для которой, как обсуждалось в [1, раздел 8] и будет обсуждаться здесь в разделе 5, вполне ожидаемо проявление дробной динамики. Возможно, использование формализма ДИ позволит в дальнейшем построить и новые модели искусственных нейронных сетей.

Значительное число публикаций посвящено уравнениям диффузионно-волнового типа, т.е. уравнениям, содержащим лапласиан искомой функции и её дробную производную по времени порядка а € (1, 2). Вместо лапласиана в этих уравнениях также может стоять аналогичная сумма производных дробного порядка от искомой функции по пространственным координатам или более сложная линейная комбинация таких производных. Такие уравнения описывают физические процессы, сочетающие черты процессов переноса и волновых процессов, являясь в определённом смысле "промежуточными". Основные результаты, касающиеся свойств диффузионно-волновых уравнений собраны в [12-17].

Большое число работ посвящено обнаружению и изучению хаотических и гиперхаотических [18-21] режимов в динамике дробных систем. Изучаются сценарии перехода к хаосу и свойства хаотических режимов поведения для дробных обобщений известных динамических систем, таких как система Чена, Лоренца, Ван-дер-Поля и др. [18, 20]. В частности, в [21] показано, что хаос может возникать в системе, состоящей из набора линейных систем

дробного порядка. Кроме того, одной из отличительных черт дробных хаотических систем является возможность возникновения хаоса для систем, имеющих порядок меньше трёх.

Также большое внимание уделяется изучению процессов синхронизации хаотических систем дробного порядка [22-27], в том числе изучаются процессы синхронизации на основе управления скользящими режимами [25, 26]. К этой проблематике примыкает исследование возможностей управления хаосом и использования хаотических сигналов и систем для организации защи-щённой передачи данных [28].

В [29] анализируется корректность аппроксимаций, используемых при численном исследовании дробных динамических систем методами, основанными на частотном анализе и приближении дробных систем с помощью целочисленных. На примерах демонстрируется, что использование подобных приближений оправдано далеко не всегда и в ряде случаев оно может приводить к качественно неверным результатам, обнаруживая хаотическое поведение для систем, в динамике которых хаос отсутствует (что устанавливается более точными методами), и наоборот: не обнаруживая хаоса для тех систем, в динамике которых он присутствует. В связи с этим приобретает ещё большее значение вопрос о корректном описании пространства состояний дробных динамических систем и определении самого понятия "состояние" для таких систем. Одной из базовых проблем здесь является, как отмечалось в [1], нелокальность дробных операций. Описание состояния таких систем должно учитывать не только значения набора (вообще говоря, бесконечного) переменных системы в некоторый момент времени, но и предысторию системы. На сегодняшний день данный вопрос является открытым, а анализ состояний и динамики дробных систем проводится, в основном, на основе их приближения (редукции) с помощью динамических систем конечного целого порядка [30-35].

Приведённые выше ссылки отражают чрезвычайную важность таких направлений, как численное решение уравнений дробного порядка или численное моделирование дробных динамических систем, целью которых является разработка эффективных численных схем решения ДДУ. Эти направления тесно связаны с дискретным дробным исчислением, кратко описанным в [1]. Многие публикации содержат соответствующие разделы, посвящённые основным подходам и методам численного решения ДДУ и моделирования дробных динамических систем [15, 16, 18, 36, 37, 38]. Упомянем также обзорные работы [39-41], содержащие информацию о существующих подходах к численному моделированию дробных систем и методологические работы [42, с. 43-60; 43, с. 171-179; 29, 44-47], посвящённые сравнительному анализу разных численных схем, их эффективности и ограничений. Опубликовано много работ, посвящённых построению или улучшению численных схем решения конкретных уравнений.

3. Качественная динамика ДДС. Устойчивость решений ДДУ

В [1] была приведена ссылка на [48], в которой показано, что левосторонняя дробная производная с конечным нижним пределом от периодической

функции не может быть периодической функцией. На основании этого в [48, 49] доказано отсутствие периодических решений для динамических систем, описываемых уравнениями вида

(1) а£>Г<?гО) = /г(<? 1, •••,<?«), г = 1~П,,

где «Д? - оператор дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, Ка-путо или Грюнвальда-Летникова, |а| < то. Предполагается, что функции / являются непрерывными, а функции qi(t) дифференцируемы ([а^] + 1) раз. Этот факт является одним из явных и фундаментальных отличий автономных систем, описываемых уравнениями дробного порядка, от аналогичных систем, описываемых уравнениями целого порядка. При этом, как было показано позднее в [50], в случае дробной производной с бесконечным нижним пределом (а — -то) результат дифференцирования периодической функции может быть периодической функцией, а системы вида (1) в этом случае могут иметь периодические решения.

В [5-7, 9, 51, 52] изучается устойчивость и особые точки решений ДДУ, в том числе проводится сравнение систем целого порядка с их дробными обобщениями. В частности, демонстрируется [5-7], что число особых точек для дробного осциллятора может отличаться от числа особых точек, имеющихся у аналогичной системы, описываемой в терминах производных целого порядка. Для дробного обобщения модели "хищник-жертва" показано [9], что точка равновесия системы является центром для системы целого порядка, но локально асимптотически устойчива для аналогичной системы дробного порядка. В ряде работ обсуждается физический или механический смысл дробной производной в уравнениях движения, который большинство авторов понимает для порядков дифференцирования а < 2 как диссипацию [7, 51-53]. При этом демонстрируется, в частности, что дробные системы представляют больше возможностей с точки зрения приложений в области управления (регулирования) свойствами системы: в случае систем дробного порядка обратная связь по дробной производной позволяет регулировать не толь

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком