КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 6, с. 522-535
УДК 521.1
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ВОЗМУЩЕННОМ ПОЛЕ ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА
© 2007 г. С. М. Полещиков
Сыктывкарский лесной институт Поступила в редакцию 12.10.2005 г.
Рассматривается интегрируемый случай возмущенной задачи двух тел. Возмущение определяется потенциалом специального вида. Подбирается ¿-матрица такая, что в регулярных координатах происходит частичное разделение переменных. Проведено интегрирование уравнений движения рассматриваемой задачи. Выделены случаи ограниченного и неограниченного движения. Решения выражаются через эллиптические функции. Построены орбиты в различных случаях. Приведены результаты численных расчетов.
РАС8: 45.50.Jf; 45.50.Pk
1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущей работе [1] был рассмотрен известный интегрируемый случай возмущенной задачи двух тел. Эта задача исследовалась ранее рядом авторов [2]-[5]. В отличие от этих работ интегрирование нами выполнено в регулярных координатах, полученных с помощью ¿-преобразований. Теория ¿-матриц и порождаемых ими ¿-преобразований разработана в [6, 7]. Методика интегрирования уравнений в регулярных координатах позволяет указать новые интегрируемые случаи возмущенной задачи двух тел.
Как и в [1], векторы обозначаются жирными буквами и представляют собой векторы-столбцы.
Рассмотрим функцию Гамильтона возмущенной задачи двух тел
Н = Н(х, у) = 1 у|2 - — + V,
2 Г
- = у( т + т0),
Г = х
Уравнения движения примут вид
дН
ду,
У,,
= -дН = -4 X + вь - х
дх
Ъ +
(2)
, А (Ьх) А + -Г-х -2"гх"
, = 1, 2, 3.
Эта система эквивалентна уравнению возмущенной задачи двух тел
А ч, А 81п а х + —гх = (В - А со8а)Ь----х.
г3 2 г
(3)
где х = (х1, х2, х3)т - вектор положения точки с массой т относительно точки с массой т0, у = (у1, у2, у3)т -обобщенный импульс (у, = х,, , = 1, 2, 3), у - гравитационная постоянная. В качестве возмущающего потенциала V рассмотрим функцию вида
V = V( х) = - ВЬт х + А ((Ьт х)2 + Г2), (1)
где А, В - постоянные величины (В > 0) и Ь = (Ъ1, Ъ2, Ъ3)т - произвольный единичный постоянный вектор.
Здесь а - угол между векторами х и Ь. Таким образом, возмущение определяется двумя силами. Одна из них действует коллинерно фиксированному вектору Ь. При этом модуль этой силы меняется в зависимости от угла а. Другая сила является центральной. Если А = 0, то приходим к случаю, рассмотренному в [1].
Применяя однородный формализм и выполняя временное преобразование & = г&т совместно с ¿-преобразованием
х0 = 4о, х = Л( q) q,
Уо = Ро, У
1
21Я1
;Л( q) р,
получим в новых переменных q , р, уравнения движения
dqj = ¡Ж
dx др,-
1 —
(5)
(6)
дЖ
dx dq-' j = 0, 1, 2, 3, 4 с гамильтонианом
Ж = j Ipl 2+Pol ql 2 + 1я12 Vc( qX
Vc (q) = V (x (q)).
В преобразовании (4) векторы q, p e R4 и Л^) -матрица размера 3 х 4, получаемая из Z-матрицы
' qT K i K4>
qT K 2 K4
qT K 3 k4
V qT K4J
отбрасыванием четвертой строки, K - кососиммет-рические оротогональные матрицы четвертого порядка, называемые образующими Z-матрицы. Их свойства и структура описаны в работе [6]. Кроме того, Хо = t, J = -H(x(t), y(t)).
Пусть
x(0) = x0, y(0) = y0 (7)
начальные условия для переменных системы (2). Тогда при выборе начальных значений по правилу [8]
Z( q) =
Г п 0 f. / 0 \ 0
qo = 0, x = Л(q )q ,
00
LP0 = -H( x , y ),
0 т А т, 0. 0
P =2 Л (q ) y ,
(8)
решение системы (5) под действием преобразования (4) переходит в решение канонической системы (2), удовлетворяющего начальным условиям (7).
Предположим, что ¿-матрица имеет первый тип. То есть
К, = аъШ + аъТ + а3/Ж, , = 1, 2, 3
и для простоты примем К4 = -ЗД. Здесь Т, % базисные кососимметрические матрицы [8]. Тогда
|Я|2 Ус( q) = Б|я| 2С + А (С2 + |я14), (9)
где
C = qx[( b1 a11 + b2 a12 + b3a13) +
+ (bj a2i + b2a22 + b3 a23) T +
+ (b1a31 + b2 a32 + b3 a33) CW ] ^q. Параметры Z-матрицы a, подчиним условиям
bi aii
b2a12
b3aj3 = 1,
bj a2j + b2 a22 + b3a23 = 0,
b1 a3j + b2 a32 + b3a33 = 0.
Решение этой системы приведено в [1]. При таком выборе параметров ау имеем
C = qx Wq = q1
q2 q3 V q4J
= - q2\- q2 + q3 + ql.
Подставляя найденное значение С в (9), получим
1я12Ус(я) = (а - Б)(д? + д2)2 + (А + Б)(д3 + д\)2.
Тогда гамильтониан (6) представляется в виде суммы
Ж = Ж1 + ж2,
где
2. ВЫБОР ¿-МАТРИЦЫ, ПРИВОДЯЩИИ К РАЗДЕЛЕНИЮ ПЕРЕМЕННЫХ
В преобразовании (4) участвует произвольная ¿-матрица. Подберем эту матрицу так, чтобы удалось разделить переменные в случае произвольного постоянного единичного вектора Ь для рассмотренного потенциала (1).
Рассмотрим в (6) слагаемое, содержащее Ус(я). Поскольку
Х1 = ЯтКК4Я, Х2 = ЯтК2К4Я, Хз = ЯтКзК4Я, г = |я|2, то получаем
1я12 Ус( я) = -I я2 Б ят( Ь К« + Ь2К2 + Ь3 К з) К4 я + + А [(Ят( Ь К! + Ь2 К 2 + Ьз Кз) К4 я )2 + 1я14 ].
Ж1 = (р] + р1 ) + Ро(д1 + д2) + А(д1 + д2) , Пг = А - Б,
Ж2 = ^ (р3+ р4) + Ро (д3 + д2) + д2 + д4 )2,
В2 = А + Б.
Величина р0, как следует из второго уравнения (5) при у = 0, постоянная. Поэтому в системе (5) можно исследовать две подсистемы
dx
дЖ1 dpt др j' dx
дЖ2
дЖ dq, ,
i = 1, 2,
dT др ,
dp дЖ2 „ „
— =--2, i = 3, 4
dT dq, '
(10) (11)
независимо одну от другой. Эти системы одно- Следовательно, типные. Достаточно получить решение только для одной из них и затем произвести переобозначения, чтобы выписать решение другой системы.
с
Pl = Щ ТФЖ), б! = ±1,
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ (10), (11)
Рассмотрим каноническую систему (10). Выполним каноническое преобразование с производящей функцией W=pllУQlcos Q2 + p^VQlsin 62
41 = д— = ^^ Q2, др1
где
дW ¡п ■ п 42 = д— = VQ1Sln ^ дР2
дW
1
Р1 = = 62+ P2Sln 6 2 ),
ЭW /— Р2 = = ^ (62+ P2C0S 6 2 ) .
Из последних двух уравнений находим р1, р2:
/— Р2
Р1 = 2Р1^Q1C0S 62 - ~т= SlnQ2,
Ы61
г- Р2
Р2 = 2Р1л/Q1Sln Q2 + -^-C0S 62В новых переменных гамильтониан и соответственно система примут вид
Р7-
= 1 (4
С^ =
dт ЭР 1 "
dP1 _
d т ЭQl
1 + -1 Q 1
1
d т
Р2
ЭР2
А
4Ql,
d т
2 8 Q?
ЭQ2
= 0.
Система (14) имеет два интеграла
1
Р2
£1
ОР1 + -77Г + PoQl + А Qí = V.
8 Ql
Р2 = С1.
Здесь Е1, с1 - постоянные интегрирования.
Исключая dт из уравнений для Р1 и Q1 и учитывая эти интегралы, получим
Р1 dP1 =
2
-С—В
4 Q\ 8Q2 1
dQl.
Ф1( Ql) = -с2 + £1 Ql + С2 Q2-8Dl Ql
полином третьей степени относительно Q1, с2 = = -8р0 - постоянная интегрирования. В силу неотрицательности Q1 из первого уравнения системы (14)следует, что
б1 = ;зЩп Q'l.
(12) Штрих означает дифференцирование по т. Подставляя полученное Р1 в первое уравнение (14),
(13)
(14)
(15)
находим
т + с3 = 2 б11
ТфЖУ
(16)
Обращая эллиптический интеграл (16), получим Q1, которое подставим во второе уравнение системы (14). Тогда имеем
й = т! 07Г) + С4' С4 = ^ 0 >.
0
Здесь с3, с4 - постоянные интегрирования. Таким образом, величины Q1, Q2, Р1 выражаются через эллиптические функции Якоби sn т, сп т.
Аналогично интегрируется система (11). При помощи канонического преобразования
4з = 703^ Q4, 44 = 703 sin <2,
45
Р4
Рз = 2 РзМ™ Q4 - —т= Sln Q4,
ЫQ3 р
Р 4 = 2 Pз7QзSin Q4 + --4C0S Q4,
ЫQ3
(17)
приходим к системе
^Оз - п р " Р4 - р 4
~Т~ Q3P3, л ^ ,
dP
dт
1
d т
Р±
4Qз
р4
dPA
(18)
—3 = — 2 Р2 + 42 — Р0-2В2 Qз, = 0. d т 2 8 Q2 d т
с гамильтонианом
^2 = 8 (4Qз Р2 + + Р0 Qз + D2Q2.
Q
т
0
Эта система имеет интегралы
1
Р2
2 вз Р3 + -Т7Т + ровз + вз = "52,
8 вз
(19)
Р4 = С5,
применение которых приводит уравнение для Р3 к виду
<Р = пв
¿т 4 в2 8 вз
Исключая ¿т из уравнений для Р3 и в3 и интегрируя, получим
Рис. 1
где
Рз = в^ФШ, 52 = 818П вз:
Ф2(вз) = -с2 + Е2вз + с6в2-8й2вз
полином третьей степени относительно в3 и с6 = -8р0 - постоянная интегрирования. Подставляя полученное Р3 в первое уравнение (18), находим
= 2 5
ТФЖУ
(20)
Результат обращения интеграла (20) подставим во второе уравнение системы (18). Тогда получим
в4 = ? |
¿т взХ)
+ С8, С8 = в4( 0) .
Таким образом, величины в3, в4, Р3 также выражаются через эллиптические функции. Нижние пределы п в интегралах (16), (20) выбираются в зависимости от расположения в1, в3 относительно корней полиномов Ф1(в1), Ф2(в3) соответственно.
Постоянные интегрирования с1, с2, с3, с4, Е1 связаны между собой посредством интеграла (15) и с5, с6, с7, с8, Е2 - посредством интеграла (19). К этим связям добавляется полученное выше соотношение с2 = с6 = -8р0. Кроме того [1], билинейное соотношение ятК4р = 0 дает еще одну связь: Р2 = Р4 или, что то же самое, с1 = с5.
Применяя далее первые две формулы (12), а также (13), (17), найдем д, р1 (, = 1, 2, 3, 4) как функции т.
Физическое время находится из уравнения д0 = = |я|2. Имеем
t =
|| я12 ¿т
+ с9 = t1 + t2 + с9,
(21)
tl =
t, =
|(д\(т) + д\(т))^ = |вг (т)¿т,
|( д2з (т) + д4(т))Л = | вз (т) ¿т.
В равенстве (21) положим t = 0, т = 0. Тогда получим с9 = 0. И, наконец, уравнение
¿р = - дЖ = 0
й т дд0
дает р0 = с10 = -#(х°, у0). Таким образом, система (5) полностью проинтегрирована.
4. ОБРАЩЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
Заметим, что переменные в1 и в3 по определению неотрицательные и из интегралов (16), (20) вытекает, что область изменения этих переменных определяется неравенствами
Ф1(в1) > 0, Ф2(в3) £ 0.
(22)
где
Обратим интеграл (16). Так как число корней многочлена Ф1 и их расположение зависит от значений коэффициента то будем различать три случая относительно знака величины Б1 > 0, Б1 < 0, Б1 = 0.
I. Предположим, что Б1 > 0. Так как в этом случае Ф1(-^) > 0 и Ф1(0) < 0, то существует значение
< 0 такое, что Ф1(^1) = 0. Из неравенства в1 > 0 следует, что реальные движения возможны только в случае, когда Ф1(в1) имеет три вещественных корня < < и по крайней мере положительный. По формулам Виета имеем = - с2 /(8^1). Поэтому в случае положительного корень также положительный или равен нулю при с1 = 0. Ось ординат располагается между корнями и Начальное значение в1(0) е (^2, ^3). График функции Ф1(в1) изображен на рис. 1.
т
т
0
0
т
т
0
т
0
Так как S2 < S3 и 1 - k\ sn4(/1(x + c3); k^ > 0, то
S, = signQi = — signsn(2/j(t + c3); k,).
Подставим Q1 в формулу для переменной Q2. Получим
Рис. 2
Запишем (16) в виде
С Qi
I
т + c3 =
JlDi
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.