научная статья по теме ДВИЖЕНИЕ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ШАРОВ В ПОЛЕ ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ДВИЖЕНИЕ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ШАРОВ В ПОЛЕ ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2011, том 49, № 6, с. 569-572

УДК 531.35

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

ДВИЖЕНИЕ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ШАРОВ В ПОЛЕ ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА

© 2011 г. А. А. Зленко

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет Поступила в редакцию 27.05.2010 г.

Ранее в работах [1—7] изучались различные модели приливных явлений, вызывающих эволюцию вращательного и поступательного движения планет. Один из подходов был предложен В.Г. Вильке в монографиях [8—9] для систем с бесконечным числом степеней свободы, использующий метод усреднения и разделения движений. В работе В.Г. Вильке и А.В. Шатиной [10] рассматривается эволюция движения двойной планеты, состоящей из вязкоупругого шара и материальной точки. Новизна нашей работы заключается в том, что мы изучаем эволюцию Земли и Луны на основе модели, состоящей из двух вязкоупругих шаров, движущихся в поле притягивающего центра.

Постановка задачи. С притягивающим центром О массы M = 1 свяжем инерциальную систему координат OXYZ. Два однородных изотропных деформируемых вязкоупругих шара с центрами масс О1 и О2 и массами m1 и m2 соответственно (m2 < m 1 ^ 1) движутся в плоскости OXY(рисунок) (названия шаров в дальнейшем отождествляем с центрами их масс). С точками O l (i = 1, 2) свяжем системы координат Кенига OlXiYiZi. Положение барицентра С в системе координат OXYZ зададим вектором R1 = ОС (Ä1cos^1, Ä1sin^1, 0), где |Rj = = Rb а — угол, который R1 образует с осью ОХ. Положение тела O2 относительно тела O1 в системе координат O1X1Y1Z1 определяется аналогично вектором R2 = О1О2 (R2cos^2, R2 sin^2, 0). Расстояние R1 от притягивающего центра О до центра масс шаров С значительно превышает расстояние между шарами , т.е. О1О2 = R2 ^ R1, поэтому систему двух шаров мы рассматриваем как двойную планету. Известно [3], что предельным движением центра масс вязкоупругой планеты в центральном поле сил является окружность, а ось вращения планеты стремится занять положение, перпендикулярное плоскости орбиты [4]. Поэтому естественно предполагаем, что при отсутствии деформаций шаров (возмущений) барицентр С движется вокруг притягивающего центра по круговой кеплеровой орбите, а тела О1 и О2 движутся по круговым кеплеровым орбитам вокруг С (модель двойной планеты), а при наличии возмущений — по квазикруговым орбитам. Также полага-

ем, что оси вращения планет перпендикулярны плоскости их орбиты. Возмущениями в данной задаче являются приливные взаимодействия, возникающие за счет вязкоупругих свойств планет. Деформируемое состояние планет О, (, = 1, 2) описывается классической теорией упругости малых деформаций. В качестве модели вязких сил принимаем модель Кельвина—Фойхта с диссипа-тивным функционалом [ и,- ] пропорциональным функционалу упругих сил Щ[ и, ] с коэффициентом пропорциональности х,, т.е. Д[и,-] = х,^,[и,-], где и,(г,, 1) — относительные перемещения точек шара О, за счет деформаций, а и;- = йи/й1. Пусть V, — область, которую занимает шар 0- в недеформирован-ном состоянии, тогда V, = {|г,| < гю}, г,- — радиус-вектор точек шара относительно центра О,, г,0 — радиус шара О, (/ = 1, 2), 1 — время. Условия на деформации (связи) и = 0, гоШ = 0 (¿V =

J V

= йхйуй£) однозначно определяют центр масс О, и систему координат ОХцУ,Хи, относительно которой шар О, в "интегральном смысле" не вращается при деформациях. Переход от системы координат Кенига О ¡ХУХ к системе О Х,,У,Хп задается ортогональным оператором Г,:

'cos фI - sin ф;- 0

г(ф i(0) =

sin ф;-0

cos ф;-0

Здесь ф , — угол поворота системы О ¡ХцУцЯц вокруг оси О и угловая скорость вращения равна ю2 + , = = ф I е3, где е3 орт оси О^н ( , = 1, 2), е3 ± пл. ОХУ.

Положение точек вязкоупругого шара О, ( I = 1, 2) определяется векторным полем £;(г„ 1) = ОО , + + Г, (ф,)(г , + и, (г,, 1)). Для описания движения центров масс О, введем, следуя [10], канонические переменные Пуанкаре Хк, Лк: Л1 = т(/К1)1/2, Л2 = = тг(/0К2)1/2, где тг = т1т2/т, т = т1 + т2,/0 = ут, / = уМ; у — универсальная гравитационная постоянная.

Для описания вращательного движения применим канонические переменные Андуайе ф,, I,:

570

ЗЛЕНКО

О

X

Г 2

I, = [ц]ф , + Оь где /¡[ц] = I [ X (г,- + и,)] р^у,

Ъ = I, [ез

X (г,- + и,-), и,- ]р^у, р I — плотность шара О¡.

Уравнения движения запишем в форме уравнений Рауса, с использованием вариационного принципа Даламбера-Лагранжа:

а дШ ч дШ Л к =--, ^ к =-,

ехк дЛк

а дШ • дШ

=--, фI = —,

- дф, д11

2

У![ & ^

V - - + сп) 5и, +

1=1 V

(1)

(2)

+ с;-2го15и;-

й V = 0,

V 8ц- е Щ^) — пространство векторных функций, удовлетворяющих связям и суммируемых с квадратами своих первых частных производных. ся(0, с я(0 — неопределенные множители Лагран-жа, а Ж — функционал Рауса:

х2 3 г2 3 _ I т-2 т-2

/ т - /о тг + у I -1 2А? 2Л 2 \2Л1 2А2 с \

ез

V V

- к Л

2 2 2 у ^ - тУ<1 [и]

3, I(г X и

Щ [и,-]

П о

2

где = 0.4т' — момент инерции недеформиро-ванного шара О ,

2 2

По = уу/шЫк I [ГЦ — 3(^, Г) ц)]р^,

к=11=1 V

/1 I = /, /2¡ = У т — ; ( ¡= 1, 2), = ТШ [еоБ^ — ф ¡), эш^ — ф¡), 0], Т21 = —1, % =1 (к Ф 2, ¡Ф 1),

/д[ц] = 2 I [(Г, и,) — (ез, Г()(вз, ц)]р^у.

V

Получение эволюционных уравнений. Система уравнений (1), (2) не интегрируется в явном виде, т.к. является сложной системой интегро-диффе-ренциальных уравнений в банаховом пространстве. Поэтому для ее исследования применяется метод разделения движений [8—9]. В связи с тем, что жесткость упругих шаров О1 предполагается большой, вводятся малые параметры г, пропорциональные отношению квадратов угловой скорости вращения шара в начальный момент времени к наименьшей частоте собственных упругих колебаний шара. Деформации ц являются малыми и представляются в виде рядов по степеням г:

E¡ = р^оФ2 (0)/Е, Е¡ — модуль Юнга тела О 1 ,

u¡ (г, 1) = 6 ¡ид (Г ¡, 1) + биЙ(г ¡, 1) + ...

Если 6 I = 0, то и^г, 1) = 0. Это означает, что приливные силы, вызываемые деформациями, отсутствуют и из уравнений (1) следуют уравнения

"невозмущенного" движения: Л1 = Л 2 =

Д = /2 = 0, X1 = ю1, X2 = ю2, (р 1 = ю3, (р2 = ю4, где

у 2 3

_/ т

п2 3

_/о тг

ю1 = ^ /3 , ю2 ="0 3' , ю3 = , ю4 = 12. (3)

= к

Л3 2 Л2 ' 3 л: 4 Л2

В этом случае центр масс двух тел С движется по круговой орбите вокруг неподвижного центра О с постоянной угловой скоростью ю1, тела О 1 движутся по круговым орбитам вокруг их центра масс С с постоянной угловой скоростью ю2, а сами шары О1 и О2 вращаются с постоянными угловыми скоростями ю3 и ю4 соответственно вокруг нормали к плоскости орбиты.

С учетом равенства нулю напряжений на поверхности деформируемых шаров О с точностью до членов первого порядка малой величины х ¡ найдены члены иг1(гг, 1), решения уравнений (2), и подставлены в уравнения (1). Правые части полученных уравнений не зависят от ф ¡. Уравнения с левой частью (р;- отщепляются от остальных, которые усредняются по быстрой переменной т = 2(к2 — и получается эволюционная система уравнений. Переходя по формулам (3) к "наглядным" переменным ю I эту систему представим в виде

Ю1 = С1®1^3 [к (©! - ю3) + к2 (ю1 - ю4)], ш2 = С2®2^3 [к1 (т^т)2 (®2 - ®3) +

+ к2 (т^т)2 (®2 -®4)\, (4)

(О3 = С3к1[®4 (®1 - Ю3) + (т^т)2 ю4! (®2 - ®3), сЪ4 = с4к2 [®4 (ю1 - ю4) + (т^т)2 ю2 (ю2 - ю4

ДВИЖЕНИЕ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ШАРОВ В ПОЛЕ

571

где k = sißj1xpDa (i= 1-2), ci = 54f ~2/3-

m

c2 = 54y ^3m^3m11m21, c3 = 18^1, c4 = 18^2\

Du =

_8nrl (1 - 2v, )(4 - 3v, )

525 (1 -vt)

в = 4^-0 (1 + у, )(9у,-+ 13)

,2 105 (5У, + 7) ,

V , — коэффициент Пуассона для шара О,.

Система (4) имеет первый интеграл (интеграл момента количества движения):

о -1 -1/3 , о -1 -1/3 , -1 , -1 fi 3c1 + 3c2 ю2 + c3 ю3 + c4 ю4 = G0,

-V3

(5)

где 00 — константа, находимая из начальных условий.

Пример приливной эволюции для Земли и Луны.

Система (4) численно интегрировалась в МА1ЪАВ7.0.1. Данные Солнца, Земли и Луны на начальный момент брались в [11], по ним вычислялись с, ( I = 1—4). Значения коэффициентов к1 и к2 находились из условия, что в начальный момент увеличение земных суток равно 0.0016 с за сто лет [11], и что угловая скорость обращения Луны вокруг Земли равна угловой скорости вращения Луны вокруг своей оси, и скорости их изменения также равны. Время измерялось в единицах времени на начальный момент. Точность вычислений контролировалась интегралом (5).

Гипотетическая картина эволюции Земли и Луны в прошлом представляется следующей. 4.5 млрд. лет назад расстояние Луны от Земли составляло 2.8 млн. км и период обращения Луны вокруг Земли был 538 суток. Вращение Луны вокруг собственной оси было обратным и очень быстрым с периодом около 7 с. Земные сутки продолжались 20 часов и постепенно равномерно увеличивались до текущего значения. С 4.5 млрд. лет и до 500 млн. лет назад параметры движения Луны изменялись очень медленно и почти линейно. 500 млн. лет назад расстояние Луны от Земли составило 1.867 млн. км, период обращения Луны вокруг Земли — 293 суток, период вращения Луны вокруг собственной оси достиг 15 с. Такая большая разница в лунных и земных сутках не подтверждает гипотезу о том, что Земля и Луна образовались почти одновременно из одного газопылевого облака. С течением времени Луна приближалась к Земле и период ее вращения вокруг оси увеличивался. Особенно быстро изменение параметров движения Луны началось 100 млн. лет назад.

Около 4.45 млн. лет назад Луна приблизилась к Земле на расстояние 383916 км и после этого она начала удаляться от Земли, что и наблюдается в настоящее время.

Около 4.4 млн. лет назад осевая угловая скорость Луны достигла нуля, а затем изменила на-

правление собственного вращения, т.е. оно стало таким, как теперь. Длина лунных суток начала уменьшаться и 350000 лет назад достигла локального минимума 27.316 суток. После этого началось медленное увеличение длины лунных суток.

163 000 лет назад орбитальная угловая скорость Луны практически сравнялась с осевой скоростью вращения. Их отличие составило менее 0.01%. Наступило явление резонанса 1 : 1, который сохраняется на все последующие времена.

Гипотетическая картина эволюции Земли и Луны в будущем представляется следующей.

Луна будет удаляться о

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»