ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 1, с. 35-41
УДК 532.135.011
ДВИЖЕНИЕ И СТОЛКНОВЕНИЯ ДВУХ МАЛЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ В СДВИГОВОМ ПОТОКЕ © 2011 г. В. А. Каминский, Е. Я. Лапига*, В. В. Дильман**
Московский государственный горный университет *НПФ "ЭИТЭК", Москва **Институт общей и неорганической химии им Н.С. Курнакова РАН, Москва
kamin@cc.nifhi.ac.ru Поступила в редакцию 04.05.2009 г.
Рассмотрено относительное движение малых частиц в сдвиговом потоке. На основе выражений для скорости относительного движения с использованием опубликованных данных для коэффициентов, входящих в эти уравнения, рассчитаны траектории движения частиц. Получены критические траектории, определяющие сечения столкновения частиц. На основе метода моментов сделаны оценки скорости коагуляции в сдвиговом потоке.
ВВЕДЕНИЕ
Движение частиц в жидкости представляет интерес как с точки зрения описания макроскопических свойств суспензий мелких частиц, и в первую очередь для расчета вязкости суспензий, так и при моделировании технологических процессов, в которых производится обработка дисперсных систем. Для таких процессов помимо реологических свойств системы важным является скорость коагуляции, определяемая столкновениями частиц, в зависимости от условий проведения процесса. Имеется достаточно большое число работ, посвященных расчету движения частиц в сдвиговых потоках. Однако трудно непосредственно воспользоваться результатами этих работ для получения количественных результатов при рассмотрении конкретных процессов. Расчет траекторий относительного движения малых частиц проводился на основе уравнения Стокса. Были получены выражения для скорости движения частиц, в которых взаимодействие частиц, включая гидродинамическое взаимодействие, учитывалось с помощью коэффициентов, зависящих от отношения радиусов частиц и расстояния между ними. Для некоторых типов взаимодействия и значений отношения радиусов эти коэффициенты приведены в виде табличных данных [1—4].
Трудности решения задачи путем прямого численного расчета движения частиц связаны с тем, что приходится проводить расчет вплоть до очень малых относительных расстояний между частицами (расстояние относится к радиусу частицы).
Цель данной работы — показать возможность расчета траекторий движения и частоты столкновений взаимодействующих частиц для различных
конкретных условий с использованием табличных данных для указанных коэффициентов путем аппроксимации их кусочно-непрерывными функциями с аппроксимацией по небольшому числу значений для каждого коэффициента. Результаты расчетов сравниваются с полученными ранее.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Рассмотрим стационарное движение двух малых твердых сферических частиц, имеющих радиусы а и Ь (Ь/а = к < 1), в сдвиговом потоке со скоростью невозмущенного частицами потока и = (Оу, 0,0). Для малых частиц малыми являются числа Рейнольдса, характеризующие относительное движение частиц, поэтому задача может рассматриваться на основе уравнений движения Стокса без учета инерционных эффектов:
Ур = пАм, У и = 0. (1)
Поступательная и вращательная скорости сфер определяются из условия, что суммарные сила и момент на поверхности сфер равны нулю. Решение этой задачи является достаточно сложным, поскольку требует последовательных итераций: сначала в поле скорости, создаваемое одной частицей, помещается вторая частица и определяется вносимое ею возмущение, и затем такие итерации повторяются многократно, особенно при малых расстояниях между частицами. В результате определяются выражения для компонент относительной скорости движения взаимодействующих частиц, позволяющие рассчитывать их траектории. При учете взаимодействия частиц в первую очередь имеется в виду гидродинамическое взаимодействие. На малых
35
3*
расстояниях важно учитывать молекулярное взаимодействие — силы притяжения Ван-дер-Вааль-са и отталкивания, связанного с двойными электрическими слоями. Эти силы действуют вдоль линии, соединяющей центры частиц. Между нейтральными проводящими частицами в диэлектрической среде во внешнем электрическом поле действуют силы электрического взаимодействия. Распределение электрических сил зависит от направления вектора напряженности электрического поля по отношению к линии центров и имеет довольно сложную структуру, в которой области притяжения чередуются с областями отталкивания. Далее при учете сил электрического взаимодействия будем рассматривать электрическое поле с вектором
напряженности Е = (0, Е,0). Обобщая результаты, полученные ранее в разных работах при рассмотрении взаимодействия одинаковых сфер, сфер разного размера, с учетом только гидродинамического взаимодействия, а также сил молекулярного и электрического взаимодействия, выпишем выражения для компонент скорости относительного движения частиц [2—4]:
иг = ^ = г (1 - АЫпСе^п (ф)ео8 (ф) И
+ Е(Ц + Х2)т2(е)ео82(ф) - ЕЬг -
сн
(г -1 - к)2'
ио
ив = г^ = г (1 - В)8т(е)ео8(е)8т(ф)ео8(ф) + (2) + ИХз8т(2е)ео82 (ф); = г^(е)^ = г8т(е)(ео82(ф) - Вео8(2ф) - ИХ^т^^т (2ф).
Уравнения (2) записаны в сферической системе координат, центр которой совпадает с центром одной из частиц, г — расстояние между центрами частиц, 0 — полярный угол, отсчитываемый от оси Z, угол ф отсчитывается от плоскости (У, X (ф > 0 при X > 0). В (2) использованы безразмерные переменные: масштабом расстояний является радиус большей частицы а, масштабом времени — обратная скорость сдвига 1/0, соответственно масштабом скорости является а0. Безразмерные параметры Н и Е характеризуют силы притяжения Ван-дер-Ваальса и силы электрического взаимодействия соответствен-кАн
но: Н =
, Е =
(2бЕ2)/), где Ан —
ЗвпцаЪ (1 + к) константа Гамакера, п — коэффициент динамической вязкости, е — диэлектрическая проницаемость среды, Е — напряженность электрического
поля. Безразмерные коэффициенты А, В, С, Х2, Х3 зависят от отношения радиусов частиц к и расстояния между центрами частиц. Коэффициенты А и В связаны с гидродинамическим взаимодействием частиц, С — с силами, действующими по линии центров, Ьъ Х2, Х3 — с силами электрического взаимодействия нейтральных проводящих частиц, помещенных во внешнее электрическое поле. В качестве короткодействующих молекулярных сил, направленных по линии центров, далее рассматриваются силы Ван-дер-Ваальса, хотя включение электростатического отталкивания двойных слоев не представляет трудностей, поскольку его влияние на скорость описывается также коэффициентом С. Траектории частиц для конкретных условий легко находятся прямым интегрированием уравнений (2), если входящие в (2) коэффициенты известны в виде непрерывных функций. Как отмечалось выше, для некоторых отношений радиусов эти коэффициенты опубликованы в виде табличных данных с небольшим числом значений, причем зависимость некоторых коэффициентов от г имеет довольно сложный немонотонный характер. Представляет интерес проверить возможность расчета траекторий движения по уравнениям (2) на основе табличных данных для соответствующих коэффициентов с аппроксимацией их кусочно-непрерывными функциями.
Если ограничиться гидродинамическим взаимодействием между частицами (при этом в (2) отличны от нуля только коэффициенты А и В), траектории их относительного движения в сдвиговом потоке можно разделить на два типа: открытые и замкнутые. Столкновений между частицами не происходит, и для каждой открытой траектории, приходящей из бесконечности, существует максимальное сближение частиц, т.е. минимальное расстояние между их поверхностями 8 = гтп - 1 - к, зависящее от прицельного параметра Я. При Я -> 0 существует минимальное расстояние между поверхностями частиц, которое зависит от отношения радиусов к и может быть достигнуто без действия сил притяжения: 8т;п. Такое сближение соответствует критической траектории, которая является разделительной между открытыми и замкнутыми траекториями. Для одинаковых частиц 5 т;п = 4.2 х 10-5 [5], тогда как для частиц, сильно различающихся по размерам, когда одну из них можно рассматривать как точечную (к- > 0), 8т;п = 0.156 [6]. В последнем случае, который соответствует полю скоростей для одиночной частицы в сдвиговом потоке, для коэффициентов А и В имеются точные аналитические выражения [2]:
ДВИЖЕНИЕ И СТОЛКНОВЕНИЯ ДВУХ МАЛЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ
37
^шт
я
Рис. 1. Максимальное сближение частиц 8ш;п в зависимости от прицельного параметра для разных значений отношения радиусов к: 1 — к = 0; 2 — 0.1; 3 — 0.2; 4 — 0.5; 5 — к = 1. Точки — значения 8ш;п для одинаковых сфер из работы [5].
А = 5г- 3г~5, В = г~5. (3)
2 2
Следует отметить, что сколь угодно малая сила притяжения приведет к отличному от нуля сечению столкновения в результате перехода частиц при первом сближении между открытыми траекториями, близкими к критической, и траекториями, которые при чисто гидродинамическом взаимодействии были замкнутыми и которые при наличии притяжения любой интенсивности должны заканчиваться столкновением.
Зависимости максимального сближения частиц от прицельного параметра, рассчитанные для разных к прямым интегрированием уравнений (2), приведены на рис. 1. Для сравнения для одинаковых частиц точками показаны значения максимального сближения, приведенные в [5]. В качестве примера замкнутых траекторий на рис. 2 представлена траектория движения для одинаковых частиц. Таким образом, столкновение частиц возможно только при наличии сил притяжения между частицами.
У
2 Г 1 -0 --1 -
-2 --10
На малых расстояниях между частицами действуют молекулярные силы. В первое уравнение в (2) включен член с коэффициентом С, соответствующий силам Ван-дер-Ваальса без учета эффекта запаздывания. Интенсивность влияния молекулярных сил определяется безразмерным параметром Н. Расстояния, на которых проявляется это влияние, можно оценить по изменению скорости сближения частиц под действием молекулярных сил при разных расстояниях между ними, используя первое уравнения (2). На рис. 3 влияние молекулярных сил на радиальную скорость в зависимости от угла ф показано на фоне гидродинамического взаимодействия для двух расстояний между поверхностями частиц, 5 = 0.006 (рис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.