МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2015
УДК 532.59:629.12
ДВИЖЕНИЕ КРЫЛА НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ПЛОТНОСТЯМИ ЗА ДИСКОМ ДИПОЛЕЙ
© 2015 г. Ю. Ф. ОРЛОВ, С. А. ХИМИЧ
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, Нижний Новгород e-mail: scrazymaster1@gmail.com, yorlov@mts-nn.ru
Поступила в редакцию 27.06.2014 г.
Решается пространственная стационарная задача о движении крыла над поверхностью раздела невязких жидкостей с различными плотностями за диском диполей с известным скачком давления на нем. Предположение о малости отстояния крыла от поверхности раздела жидкостей конструктивно используется в квадрупольном вырождении фундаментальных структур, что в конечном итоге позволяет преобразовать интегральное уравнение в краевую задачу для двумерного дифференциального уравнения Пуассона в области течения под крылом, решаемую численно. В качестве примера выполнен расчет формы свободной поверхности и коэффициента подъемной силы для комплекса "крыло — диск диполей" с характеристиками, близкими к характеристикам судна на динамической воздушной подушке "Волга-2".
Ключевые слова: экраноплан, низколетящее крыло, диск диполей, волны на поверхности раздела жидкостей, квадрупольная теория крыла, коэффициент подъемной силы.
1. Рассматривается задача о стационарном движении комплекса "крыло — диск диполей" с известным скачком давления в диске диполей над поверхностью раздела двух невязких тяжелых жидкостей с различными плотностями. Такую постановку можно оценить как упрощенный вариант моделирования аэродинамических компоновок экранопланов Р.Е. Алексеева [1]. Ранее задача о движении комплекса "крыло — диск диполей" над твердым экраном исследовалась в [2, 3].
Пусть рь р2 — плотности верхней и нижней жидкостей. Относительная плотность р' = pi/p2 ^ 1 предполагается малой. Тонкое прямоугольное крыло, имеющее хорду 2a, размах 2b и диск диполей D, ось которого наклонена к направлению движения комплекса под углом ß, движутся в направлении положительных значений оси х с постоянной скоростью V0 на малой высоте h над поверхностью раздела жидкостей (фиг. 1).
Форма поверхности крыла известна и задана уравнением S(x, y, z) = z - f ±(х, y) = 0. Диск D — генератор известного скачка давления, имеет радиус R. Координаты его центра Oi заданы в системе координат, связанных с крылом (фиг. 1): х = ad, y = bd,
z = Cd.
Для решения задачи в рамках линейной модели будет использован потенциал ускорений 9(х,y,z) [4, 5], связанный с давлением P(x, y, z): P(x,y,z) = p • 9(x,y,z), где p — плотность жидкости. Связь потенциала ускорений 9(х, y, z) с потенциалом скоростей ф(х, y, z) в стационарных задачах дается соотношениями
ф = N09, 9 = Ж0ф
(1.1)
11 <8>у ¿1 ®У1 V
а ^ / \ О1 Б
к О Р1 X
Фиг. 1. Геометрия и постановка задачи
N =-Ко-11(-Мт, ^о-1 =-Уо дХ(')
да
где N0 и имеют смысл операторов.
Линейное приближение накладывает ограничения на геометрию тела в потоке жидкости — относительная толщина 5 крыла мала: 8 = [/] = (/ + - / )/2а ^ 1; местные углы атаки крыла также малы: б — параметр возмущений
а(х, у) = / = ^ •
1 / + /1 ^ !
, , ае О(е)
дх дх
Вводятся потенциалы ускорений: 01 — для верхней жидкости и 02 — для нижней жидкости. Тогда исходную задачу для течения в верхней жидкости можно сформулировать как краевую для уравнения Лапласа от потенциала ускорений с соответствующими краевыми условиями:
А01 = 0, д е^ (1.2)
0Ы = Б(р), р е 8р, [01] = 0, х = 0, г = 0
[81] = ^, д е Б Р
уе ^ 0, х ^
р'(01хх - Ц01х + veu) - ®2хх + Ц02х - ve2г = 0, д е SL
Здесь ^ — пространство, занятое жидкостью, д = (х,у, г) е Sp — проекция поверхности S на плоскость ху,р = п; © е Sp,F(p) = И0 1(Б1(р)), Б[(р) — нормальная составляющая скорости точек на крыле; РЛ — скачок давления в диске Б; Бь — поверхность
—2 2
раздела жидкостей; и = g ■ У0 ; g = 9.81 м/с, ^ — малый действительный параметр, устремляемый к нулю в конечных результатах.
X
Пусть ф(х, у, ¿) — потенциал скорости возмущенного движения жидкости (1.1), полученный при решении краевой задачи (1.2). Так как рассматривается линейная задача, его можно представить в виде суммы двух составляющих
ф(х, у, z) = Ф5(х, у, z) + Фd(х, у, z) (1.3)
где ф5(х, у, z) — потенциал скорости обтекания крыла, фd(х, у, z) — потенциал скорости обтекания диска диполей. Почти всюду в окрестности комплекса крыло — диск диполей предполагаются справедливыми оценки
2 ~ й(е), е ^ 1
С 2(П)
й|1 2 ~ О{1)
С 2(П)
Нормальная составляющая скорости точек крыла в абсолютном движении равна У(-Удх + Ф)У5 = 0, д е Э. Отсюда фz = (-У0 + фх)/х + Фу/у.
Тогда, если учесть (1.3) и пренебречь произведением производных от ф5 и f как малыми более высокого порядка, то можно получить условие на крыле для выбранной формы движения
фZ = Ш) = (-уо + ф? )/х + ъ/у - Ф? (1.4)
г-> й й й
Здесь фх, ф , фz — соответственно продольная, поперечная и вертикальная составляющие скорости на Бр, вызванной диском диполей.
Рассматривается случай движения бестелесного крыла. Решение задачи (1.2) представляется в виде суммы интегральных операторов типа потенциала двойного слоя
91 = Лу + Лу ? (1.5)
Лу = 1 | Г(Р) ^ &, Лу ? = 11 у ? (р{) Ъ
4п J дz 4п' дх1
Эр б 1
Здесь G — функция Грина; у и у й — скачки давления на поверхностях Sp и Б соответственно; р1, дх — координаты в системе, связанной с диском диполей с началом в его центре. Связь систем координат Oxyz и О^у^х задается соотношениями
х = х1ео8 в- z1sin в + ай; у = у1 + Ьй; z = х^т в + z1cos в + сй
х1 = (х - аёв + (I - сл)sinР; у1 = у - Ьй; Zl =—х - аё)sinв + (I - слв
Такая постановка избавляет от необходимости вводить условия для определения собственных функций, появляющихся в линейных задачах [6, 7], поскольку для неё собственная функция (сингулярное решение) однозначно определяется условием Чаплыгина—Жуковского.
Функция Грина для невязких жидкостей с поверхностью раздела бесконечной глубины известна [4, 8—10]
01(р, д) = г ~Х + г1-1 + Оп + 012; &2(р, д) = 0ц + 022
где G1, G2 — потенциалы единичного источника, движущегося в верхней жидкости для верхней (индекс 1) и нижней (2) жидкостей
4 Механика жидкости и газа, № 2
= V(x - + (у -п)2 + (г - Z)2, /1 = V(x-©2 + (y-n)2 + (z + z + 2h)2
п/2
Gn(p, g) = Re • (1 - а') • J exp
-п/2
ua
2а
.cos В
(-(z + z + 2h) + id)
• sec BdB
п да 2
Gn(p, g) = - Re(i-°). y. p. f fexp[/ (-(z + z+22h) + Ш ' eos 8
2n J J / eos2 0- va'
-п 0 n/2
G21(p, g) = - Re iua' ■ (1 - a') • J exp
-n/2
ua
2a
_cos 8
(z - Z - 2h + i©)
■ sec 8 d8
п да 2
G22(p, g) = Reíi-a:). y.p. Г fexp[/ (z - Z " 2h + im)] ' eos 6 d/d6 2n J nJ / eos2 6- ua'
-п 0
a' = 1——, ю = (x -^)eos 0 + (y -n)sin 0 1 + P'
По условию (1.4) с учётом (1.1) и (1.5) можно получить двумерное сингулярное интегральное уравнение, характерное в теории крыла
N о Az у = (-Vo + 9d )fZP + Ъ17 - Ф^
(1.6)
.d ,-ср_ (f + + f -)
фа = No Ay d, f ср =:
2
Из (1.6) видно, что влияние диска диполей на характеристики крыла в линейной задаче проявляется в изменении правой части интегрального уравнения и имеет смысл динамической кривизны потока жидкости перед крылом.
В [2, 3] была вычислена в явном виде функция фа
х
фЛ = N0Ауа = --11А уа(т, у, г, ^ п, О ¿т ^0
Для этого интегральный оператор АуЛ представлялся в системе координат, связанной с крылом. С учетом связей, в результате замены переменных рх ^ р, д ^ д, в [3] получено
Г*
AY d = ^ í 1 Y d (p1)
-R -V R 2 - У12
d Z1d% = 1
dx1 4n
bd+R y¡R2-(n-bd)2 eos ^+cd
J 1 (Y d (p) *
bd-R-J R 2-(n-bd )2 eos в+Cd
2n dG(p, g) . n r,dG(p, g) cos В—+ sinBcose—^lul
d^ dz
dZdn )^=ad +(Cd-QtgP +
bd +R y¡R2-(n-bd)2sin e+ad
+ í _L (Y d (p)'
bd -R -IR2-(n-bd)2 sin e+ad
■ o o dG(p, g) . 2n dG(p, g) sinpcosp-+ sin в—^^
di
dZ
)c=cd+a-^ctgp i
Далее рассматривается случай постоянного скачка давления в диске D диполей. С учетом этого N0Ayd представимо в виде
bd+R
N0 Ayd =^ • f [cos2 в-Ji + sin p-cos в • (J2 + J3) + sin2 J4]dn 4n J
bd-R
где Jj, J2, J3, J4 — комбинации рациональных, логарифмических, тригонометрических функций и волновых интегралов, порождённых функцией Грина — результат вычисления двух внутренних интегралов по т и % (из-за громоздкости выражений результат вычислений не приведён).
Далее используется малость параметра отстояния крыла конечного размаха от поверхности раздела двух жидкостей. Механизм квадрупольного вырождения фундаментальных структур в квадрупольной теории крыла [11] и в задачах теории корабельных волн [6] позволяет свести трёхмерную краевую задачу для уравнения Лапласа во всей области Q, занятой жидкостью, к двумерному дифференциальному уравнению Пуассона для области между крылом и свободной поверхностью.
Формальная процедура построения квадрупольного приближения выглядит так: в соответствии с теоремой 2 из [11, с. 15, 34] и обобщением на задачи со свободной поверхностью в [12, с. 95] интегральный оператор Azy в интегральном уравнении (1.6)
имеет квадрупольное вырождение (два члена ряда Тейлора для Azy в окрестности S0p — проекции крыла на свободную поверхность)
AzY = -2(z + h)AzzY, A°Y = -4П {Y^Z ds
4n „0 дЦ
Sp
Но A 0у удовлетворяет трёхмерному уравнению Лапласа и тогда A°z Y = -(AXxY + A°yY), q еП
Вводятся безразмерные величины соотношениями: x = x '■ a, y = y '• b, z = z'• a,
h = h '■ 2a, X = b/a, y = 2 X V02y', ю0 = 1/(2Fr2), где Fr = V0 Д/2a g — число Фруда; X — относительное удлинение крыла, а вместо у' вводится новая функция (штрихи опущены, кроме относительного отстояния h )
Ф(х,y, Fr, р') = N0 <¡ y(P0) + 4- ¡ Y(P)
4п 0
S0
1 + |Z|-(Gii(P0, q) + Gj2(P0, q))
ds\ (1.7)
Отсюда получается краевая задача для уравнения Пуассона, хорошо известная в квадрупольной теории [11]
Ч+~~2 • 4Крг, р-)=/:Р (-1)(1.8)
дх2 X2 ду2) 4 • Н '•X2
Здесь рр е Бр, Н' = Н/(2Ь); х е [а1(у),а2(у)]; у е [-1, 1]; Ф(х,± 1,Бг,р') = Ф(а2,у,Бг, р') = = 0; дФ(Р, у, Бг, р ')/дх = р; ^(у), у) — уравнения задней и передней кромок крыла соответственно. Квадрупольное приближение (1.8) тем точнее, чем меньше к'. Недостаток модели (1.8) — ограничение на характер обтекания передней кромки крыла — оно должно бы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.