КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 4, с. 397-403
УДК 629
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В НЬЮТОНОВОМ ПОЛЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭКВИАНГУЛЯРНОЙ ТЯГИ
© 2004 г. В. А. Леонтьев, Б. А. Смольников
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Поступила в редакцию 19.12.2002 г.
Вопросам исследования и оптимизации движений космических аппаратов посвящена большая литература. Тем не менее, во многих случаях целый ряд качественных особенностей их движения и форма траектории еще остаются невыясненными. В данной работе рассматривается плоский эквиангу-лярный разгон КА как в ньютоновом поле, так и в его отсутствии (на большом удалении от центра притяжения). Выписано общее уравнение траектории плоского разгона с введением новой переменной - показателя экспоненты, - что позволяет получить наглядные решения при различных значениях постоянного во времени угла наклона вектора тяги к радиус-вектору КА (т.е. при эквианугляр-ном разгоне). Строятся асимптотические решения и выявляется интересный факт, что при наличии центра притяжения или без него и для любых начальных условий, траектории, возникающие при указанном эквиангулярном разгоне материальной точки, на большом удалении от центра стремятся к универсальным логарифмическим спиралям. В частности, при постоянной по величине трансвер-сальной (перпендикулярной к радиус-вектору) тяге образуется притягивающая траекторию логарифмическая спираль с углом наклона к радиус-вектору, равным 35.264°. Исследованы также различные формы траектории эквиангулярного разгона КА при малой тяге. Полученные результаты могут оказаться полезными для исследования и выбора оптимальных космических траекторий.
Проблемам оптимизации режимов движения космических аппаратов в околосолнечном пространстве посвящена огромная литература, см., например [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. Однако в большинстве рассматриваемых задач результаты такой оптимизации имеют численный характер, вследствие чего плохо поддаются анализу с выявлением качественных свойств движения в зависимости от параметров задачи.
В данной статье исследуются режимы плоского движения материальной точки в ньютоновом поле тяготения, имеющие простое управление ориентацией вектора силы тяги и реализующие наглядную геометрию траекторий перехода. Подобные соображения долгое время использовались в морской навигации, где применялось плавание судов по локсодромии (эквиангулярной сферической кривой) вместо движения по большому кругу, обеспечивающему меньшую длину пути. Основная цель настоящей работы состоит в изучении управлений "эквиангулярного типа", осуществляющих практически удобную навигацию за счет некоторого увеличения длительности траекторий перехода.
Плоское движение материальной точки с массой т относительно притягивающего центра с массой М описывается в инерциальной системе отсчета с полярными координатами (р, 6) (рисунок) следующей системой дифференциальных уравнений:
т (р- р62) = ^р, (1а)
т (р26)' = р ^. (1Ь)
Здесь Fp = FN + Fg и Fe = F^ - соответственно радиальная и трансверсальная проекции главного вектора внешних сил, действующих на материальную точку. Сила ньютоновского притяжения Fn = -km/p2, в которой гравитационный параметр притягивающего центра k = уМ, где у - постоянная тяготения.
Вектор силы тяги Fr имеет радиальную Fö и трансверсальную F^ проекции, так что F^ ■ р = 0, Fg х р = 0, их положительные направления показаны на рисунке стрелками.
Пусть Fg/F^ = ctg ф0 = const. Тогда постоянный угол ф0, образованный вектором тяги Fr с радиус-
вектором р, определяет направление вектора эк-виангулярной тяги Гг в момент времени Вели-
чина вектора тяги |Гг | = + Ец в данной работе считается неизменной во времени. Управление вектором эквиангулярной тяги сводится тогда к поддержанию постоянного угла между направлением вектора силы тяги и текущим направлением радиус-вектора. Постоянные по величине радиальное ускорение а и трансверсальное ускорение ц есть а = Еа/т и ц = ЕцШ. Переменный угол а(0 -это радиальный угол траектории, между вектором скорости точки У(0 и радиус-вектором р(£).
Согласно введенным обозначениям, получаем из системы (1) следующую систему уравнений (2) с тремя параметрами к, а, ц:
р2р- р302 = - к + ар2, (2а)
рб + 2р 9 = ц, (2Ь)
начальные условия для которой (при £ = 0) зададим в виде
а = а,
0'
Р = Po,
е = 9о = о,
р = Ро = Vо cos ао, V 0sin а0
(3)
е = ео =
Ро
При а = ц = 0 из (2) следует уравнение Бине для
р = р(е) при Fp = -km/p2:
I
р/ее
I = А =
+ Р l2
(4)
где L0 = р2 е = const - константа момента количества движения точки при центральной силе. Как известно, решением уравнения Бине (4) является уравнение конического сечения:
Р
рс (е) 1 + ^cos (е - ел)'
в котором фокальный параметр p равен:
p = ро (i + ^cos еА) = -р
начальная аномалия ел:
(5)
е л = arctg
Р ctg ао
Р о - Р
эксцентриситет e0:
во =
ч
1—4,*
1-
V
V о
V.
. 2
sin а
о
скорость освобождения V.:
Ро
Переходя к анализу движения, описываемому системой (2), заметим, что в работе [1] рассматривалось движение материальной точки в ньютоновом поле тяготения под действием малой транс-версальной тяги. При а = 0 задавалось малое ц,
такое, чтобы безразмерный параметр £ = ц( р0 /к) был малым: £ <§ 1. Изучалось возмущение первоначально круговой орбиты малым ускорением ц. С введением безразмерных переменных и =
= р0/р(б) и г = (кр0)/(р2 (б )2, при которых и0 = 1 и z0 = 1, для и = и(б) и г = г(б) из (2) была получена система уравнений
U + U + £ -
zu
z,
z = —£ -
2 z
3 •
(6a)
(6b)
Далее с помощью ЭВМ определялись численные решения системы (6) при условии приближенного разложения возмущенных решений и и г в степенной ряд по £ вплоть до слагаемых порядка £2. Однако численное решение для величин и и г было получено на сравнительно небольшом интервале времени, что не позволило сделать качественные выводы об общем характере траектории.
Для более полного понимания процесса движения, описываемого системой (2) или (6), авторами настоящей статьи было произведено численное моделирование динамики материальной точки на большом промежутке времени в широком диапазоне изменения параметров к, а, ц и при произвольных начальных условиях. При этом были выявлены некоторые свойства динамического поведения нелинейной системы (2), на которые обычно обращается мало внимания. Среди этих свойств отметим асимптотическое стремление траектории р(б) при ц ^ 0 к логарифмической спирали, на которой наблюдается ряд интересных кинематических и динамических закономерностей, о которых будет сказано ниже.
Для анализа свойств траектории материальной точки при действии эквиангулярной тяги приведем систему двух динамических уравнений (2) к одному дифференциальному уравнению траектории р(б).
Согласно уравнению (2Ь) угловое ускорение
б = (ц - 2 р (()/р. Переходя далее к новому аргументу - углу б вместо времени выразим
р =е Ре, р = е ре+е(ре)', (ре)' = е рее,
(р<зе) = е реее'
(7)
u
Теперь, используя выражение для 6 и подразумевая под значком "штрих" дифференцирование по углу б, получаем из (7):
р2р = [рр' + рё2(рр"-2 р '2).
(8)
После этого из уравнения (2а) находим квад-
рат угловой скорости:
ё
2
2 _ к + [1 р р ' - а р р ( р 2 + 2 р '2 - р р " ).
(9)
Дифференцируя (9) по времени и учитывая тождества (7), имеем:
— р ( р 2 + 2 р '2 - р р'' ) [ [( р ' 2 + р'') - 2 ар р ' ] - (3 р2 р ' + 2 р' 3 + 2рр' р '' - р2 р ''' ) ( к + [рр ' - а р2)
2р2(р2 + 2р'2 - рр'')2
Уравнение моментов (2Ь) можно представить в виде
2
рб + 2 р '9 = ц.
Подставляя в это уравнение найденные выра-
2
жения для 6 и б , получаем основное дифференциальное уравнение траектории р(б):
ц(рр' р''' + 5р2 р ''-6 рр'2-3рр''2 + 3 р''р '2 - 2р3) +
+ а( 8 рр' р'' - 3 р2 р' - 10 р'3 - р2 р''') +
+ \ (р2 р'''-6 рр'р '' + 6 р '3 + р2р') = 0. р2
(10)
+ а[ 5 X'X ''-3X '3-3 X'- X''' ] + + к [X''' + 3 X'' (X' - 2) + X' (X'2+1)] = 0.
(12)
z'' (z - a) + z' (5-3 z' + 5 azz') + + (z2+ 1 )(z2-3 az-2) = 0.
(13)
Дифференциальное уравнение (13) имеет стационарные частные решения za = const, определяемые корнями квадратного уравнения z2 - 3az - 2 = 0:
za1, 2 —
3 a ± V8 + 9a2
(14)
Приведем уравнение (10) к более удобному для асимптотического анализа виду. Введем безразмерную переменную Х(б), такую, что
р(б) = р0 ,
р' = рХ', р '' = р(Х'' + Х '2), (11)
р''' = р(Х ''' + 3Х' Х'' + Х'3).
Дифференциальное уравнение траектории (10) после подстановки в него выражений (11) приобретает вид
ц[Х'Х''' + Х''(5 - 3Х'') + Х'2(Х'2 - 1) - 2] +
Этим решениям отвечают траектории типа ло-
ё • z
гарифмической спирали рa(ё) = р0 e a, причем za = ctg aa, где aa - постоянный угол между радиус-вектором точки и касательной к спирали в той же точке.
Заметим, что знак перед квадратным корнем в (14) определяется знаком трансверсального ускорения [. Это соответствует тому факту, что при [ Ф 0 для любого а и для любых начальных условий траектория точки выходит на раскручиваю-
ё • ctg aa
щуюся спираль рa = р0 e , где sign (ctg а0) = = sign (ctg ф0) = sign [. При этом aa с (-п/2, +п/2).
В результате имеем следующие уравнения связи между углом эквиангулярной тяги ф0 и углом асимптотической эквиангулярной спирали aa (при [ Ф 0):
ctg qo — 3 ctg ер 0 + sign [ • о/ 8 + 9 ctg Ф о, (15а)
Найти полное аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения (12) вряд ли возможно. Ввиду этого, ограничимся его приближенными решениями.
Рассмотрим сначала асимптотику уравнения (12), устремив р —*- Из (12) или из (10) очевидно, что это условие эквивалентно условию к = 0, то есть отсутствию гравитационного поля в локальной окрестности материальной точки т. Обозначим как ра(6) соответствующее асимптотическое решение уравнения (12).
Положив к = 0 и вводя обозначения Х6 = z(6), a = a/ц = ctg ф0, имеем из (12):
ctg Ф0
ctg aa - 2 3ctg aa .
(15b)
Из формулы (15а) находим, что при действии только трансверсального ускорения ц (ф0 = ±п/2)
т
постоянный угол аа возникающей при этом
асимптотической логарифмической спирали pa =
е J2 sign ц = р0e равен:
1
aa — sign[ • arctg — ~ 0.196п • sign
Л (16)
- 35.264° • sign[.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.