научная статья по теме ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ Математика

Текст научной статьи на тему «ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 76. Вып. 6, 2012

УДК 531.391

© 2012 г. А. В. Шатина, Е. В. Шерстнёв

ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ

Исследуется движение спутника в гравитационном поле массивной деформируемой планеты. Планета моделируется однородным изотропным вязкоупругим телом шаровой формы в естественном недеформированном состоянии, а спутник — материальной точкой. Функционал потенциальной энергии упругих деформаций вводится в соответствии с классической теорией упругости малых деформаций, а функционал диссипативных сил соответствует модели Кельвина—Фойгта. Из вариационного принципа Да-ламбера—Лагранжа выводится система интегро-дифференциальных уравнений движения системы. В предположении, что жесткость вязкоупругой планеты велика, вводится малый параметр, обратно пропорциональный модулю Юнга, и методом разделения движений строится приближенная система обыкновенных дифференциальных уравнений в векторном виде, описывающая поступательно-вращательное движение системы планета-спутник при учете возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Полученная система уравнений имеет стационарное решение, соответствующее движению спутника по круговой орбите в плоскости, ортогональной постоянному вектору, при этом число стационарных орбит не может быть более двух. Показано, что в случае существования двух стационарных орбит стационарное решение, соответствующее движению по орбите большего радиуса, асимптотически устойчиво, а по орбите меньшего радиуса - неустойчиво. Получена эволюционная система уравнений движения спутника в переменных Делоне, описывающая изменение параметров орбиты. Усреднение проводилось по "быстрой" угловой переменной — средней аномалии.

Исследование приливной эволюции системы планета—спутник проводилось многими авторами с использованием разных моделей для приливного потенциала и момента приливных сил [1—3]. Ниже используются методы, предложенные В.Г. Вильке [4]. Ранее этот подход был применен к ряду задач, в частности к задаче о поступательно-вращательном движении шара в центральном ньютоновском поле сил [5, 6].

1. Постановка задачи. Уравнения движения. Рассмотрим движение системы планета—спутник в гравитационном поле взаимного притяжения. Планету будем моделировать однородным изотропным вязкоупругим телом плотностью р и массой т, имеющим форму шара радиуса г0 в естественном недеформированном состоянии, а спутник — материальной точкой Р массой ц.

Введем инерциальную систему координат ОХЛ с началом в центре масс системы. Для описания вращательного движения планеты введем подвижную систему координат СХ1Х2 Х3 с началом в ее центре масс и систему осей Кёнига С ^ 2^3. Положим R = CP.

2 Прикладная математика и механика, № 6

Радиус-векторы точки P и точки M планеты в инерциальной системе координат имеют вид

RP =R, R M =--L r + г (r + u) (1.1)

m + ц m + ц

где Г — оператор перехода от системы координат СХ1Х2Х3 к системе осей Кёнига, u = u (r, t) — вектор упругого смещения планеты.

Следующие условия однозначно определяют радиус-вектор центра масс деформированной планеты и связанную с ней систему координат Cx1x2x3 [4]:

OC = - [Rm (r, t)pdu, \udv = 0, [rot udu = 0; V = {r e E3: Id < r0} (1.2)

mJ J J

V V V

Потенциальная энергия гравитационного поля определяется функционалом

п = -Л, fpdu , (1.3)

>-г(r + u) ( )

где f — универсальная гравитационная постоянная.

Функционал потенциальной энергии упругих деформаций введем в соответствии с линейной моделью теории упругости

% = \%[u]dv, % [u] = a1(lE-a2IIE), u = (ub u2, u3) (1.4)

v

a _ E(1 -v) a _ 2(1 -2v)

1X1 _-, ui _-

1 2 (1 + v)(1 - 2v) 2 1 -v

IE = Z eii, 11E = Z (eiiejj - j eij = i=1 i<j

idui + duj ydxj dxi

Е — модуль упругости Юнга, V — коэффициент Пуассона материала планеты.

Для описания диссипативных свойств планеты введем диссипативный функционал, соответствующий модели Кельвина—Фойгта

® [и ] = Х^ [и ], X — коэффициент внутреннего вязкого трения

Уравнения движения рассматриваемой механической системы получим из вариационного принципа Даламбера—Лагранжа [4]

| (й м, 5R м )р dv + Р, 5R Р) + 5П + | (V Ли] + V й ЗД + 5и^и + 2, гсЛби^и = 0

V V V (1.5)

где — неопределенные множители Лагранжа, порожденные условиями (1.2). Из равенств (1.1) получим

й м =---— й + Г {со х [ х (г + и)] + 2ю х и + со х (г + и) + „}

т + -

5й м =--+ г (5а х (г + и ) + 5и} (1.6)

т + ц

й Р й, 5йр = 5й

т + ц т + ц

3

Здесь

ю

х (.) = Г-1Г (.), 8Гх (.) = Г [8а х (•)]

Подставляя выражения (1.6) в уравнения (1.5), приравнивая коэффициенты при независимых вариациях 8 Я, 8 а, 8и и учитывая условия (1.2), получим уравнения движения системы планета—спутник

^т ъ г К -Г (г + и)

——Я + м/ I---^3рйи = 0 (1.7)

т + ц V К -Г (г + и)3

ГГ(г + и) х (К -Г(г + и)) ,

--Ц-'-¿рйи = 0 (1.8)

К -Г(г + и)3

Ь -Н/1 -

Ь = [г (г + и) х й [Г (г + и)]рйи

рГ-1Йж-№/——~(г и)3 + Чи%[и + хи] + Х1,5и йи + |(.2 Xп) -дийа = 0 (1.9) 1Г И -(г + и)| )

где Ь — вектор кинетического момента планеты относительно центра масс, д V — граница области V, п — единичный вектор внешней нормали к д V.

2. Возмущенная система уравнений движения. Считаем, что жесткость планеты вели-

г 2 2Г-1 ка, т.е. мал безразмерный параметр е = рю0г0 Е , где ю0 — величина модуля начальной

угловой скорости планеты. Выбрав соответствующим образом масштабы размерных

величин, имеем е = Е 1. При е = 0 вектор упругого смещения и полагается равным нулю. Тогда получим задачу о движении механической системы, состоящей из абсолютно твердого шара и материальной точки в гравитационном поле взаимного притяжения. Уравнения движения невозмущенной задачи имеют вид

К + /т±± Я = 0, Аю = 0 (2.1)

Я3 у '

где А = 0.4тг02 — момент инерции шара относительно диаметра, Я = |К|.

При е ф 0 согласно методу разделения движений для систем с бесконечным числом степеней свободы [4] из уравнения (1.9) будем искать вектор-функцию и, описывающую квазистатические деформации планеты под действием внешних сил и сил инерции, в виде

2

и = еи1 + г и2 +...

Множители Лагранжа X 2 также ищем в виде разложений по степеням малого параметра е

^ 1 = ^10 + £^11 + ..., ^2 = ^20 + £^21 + ....

Полагая в уравнении (1.9) последовательно 8и = 8а х г, 8и = а, а е Е3, и учитывая, что работа упругих и диссипативных сил на бесконечно малых поворотах и поступательном движении равна нулю, получим Х10 = X 20 = 0. Краевая задача для нахождения вектор-функции и! первого приближения по малому параметру е при учете условия |г| < г0 < Я примет вид

еу„ «[и! + ХЙ1] = 2 рш2г + р{1 г ш2 - ш (ш, г)} - /{1 г - % (%, г)}

ю

= |ю|, % = г-1и/я

= 0

(2.2)

(2.3)

Условие (2.3) означает равенство нулю напряжений на поверхности планеты [4, 7]. Заметим, что величины ю, Я, %, входящие в правую часть уравнения (2.2), зависят от времени согласно невозмущенной системе уравнений (2.1).

Решение квазистатической задачи теории упругости (2.2), (2.3) имеет вид [5, 7]

Й1 = ию + ип + Й12 где

Й10 = 2 рю2йг2 + ¿2>02}г

(2.4)

Й11 = р {«1 и12 ~ и120 -Х и 120 {«1

12 2 1, \2 -ю г --(ю,г) 6 2

г + [«2Г2 + ЯзГ)2]

1 2 ! \ -ю г - (ю,г)ю

.3 v 7 .

и - Р{«

и 120 ---Г" {«

Я3 1

Ь6 г' - 2 ^)'

г + [«2Г2 + «3Г02]

1 г - & г Н

а =-(1 + У)(1-2У) а = I1 - 2У)(3 -v) 1 10 (1 — v) ' 2 10 (1 -v)

« - 2(1 + у) « _ (2 + у)(1 + у) « _ (3 + 2у)(1 + У)

«1 _ т-Г", «2 _--;---, «3 _

5у + 7

5у + 7

5у + 7

Далее функцию и = ей (и определяется формулой (2.4)) подставим в уравнения (1.7), (1.8), предварительно линеаризовав их по и и учитывая условие |г + и| ^ Я. После вычисления тройных интегралов по объему V получим векторную систему дифференциальных уравнений движения системы планета—спутник в поле сил взаимного притяжения при учете возмущений, вызванных упругостью и диссипацией:

К + /т±Цк + 3г/р2Л^Г{%ю2 + 2ш(%, ш) - 5% (%, ш)2 +

т+ь

6/ц

Я

ь -

% + х% + 3х Я %

Я

= 0; Л = 4пк ^ кМ = (1 + У)(9У + 13) 105 5у + 7

х ю] (4, ю) + х 4 ]} = 0 Я I Я )

(2.5)

(2.6)

Уравнения (2.5), (2.6) имеют первый интеграл — закон сохранения момента количеств движения системы планета—спутник относительно общего центра масс

цт

И х И + Ь = О 0

т + ц

где О 0 — постоянный вектор.

(2.7)

3. Стационарное движение спутника и его устойчивость. Так как с точностью до членов порядка е вектор кинетического момента планеты имеет вид Ь = AГю, то Гю = A—1L. Тогда при учете уравнений (2.5) и (2.7) получим векторное дифференциальное уравнение орбитального движения спутника

цК = ^ + 6^ +ЕХР2 (3.1)

где

= _ / ц(т + ц) К

0 Я3

(Go - mrR х It)2 2 (R, Go)(G„ - mrR x R)5R (R, Go)2 6/ц„

F1 = -4 <-2—5-R +-2—5---2—7-+ —r-R

I A2R5 A 2R5 A 2R7 R8

R + 2R „ [Go - mrR x R ] x R

F2 = -C2 ^ R8 + R9 R AR •

Q = ъ/ р2Рц (m + ц), C2 = 6/цС1, mr =

m m + ц

Компоненты векторов R, R, G0 в уравнении (3.1) заданы в инерциальной системе координат OXYZ, ось OZ которой направим по вектору G0. Тогда G0 = (0,0, G0). Выпишем компоненты вектора R в сферических координатах R, Р, п

R = (R cos в sin n; R sin в sin n; R cos п )

Уравнения движения спутника в сферических координатах имеют вид

R - Rn2 - RB2 sin2 n + /ñ±£ +

R2

+ _ÍTT{Go(1 - 3cos2 n) - 2G0mrR2psin2 n + m?R4(n2 + P2 sin2 n)} + {1 + = 0 A R R 1 R )

R(3 sin n + 2R|3 sin n + 2R(3n cos n - ^^^r n cos n +

A R (3.2)

+ 6zlb/Ц ((A + mrR2)B - G0)sin n = 0 AR1

Rrj + 2Rii - RB2 sin n cos n + ^bG°(mrR2B - G0)sin2n +

A 2R4

+ (A + mrR 2)f, = 0; b = C

AR1 ц

Система уравнений (3.2) имеет стационарное решение:

R = Rc, в = Go, n = П 2; Go = Go/(A + mR) (3.3)

где Rc — корень уравнения

-Go2 + /^ Г (jo2 + / V o R3 R51 R3 J

Решение (3.3) соответствует движению спутника по круговой орбите радиуса Яс в плоскости, ортогональной вектору С0.

Без учета членов порядка е уравнение для определения стационарного значения Яс примет вид

/„-.см / (т + ц)(А + тгЯ2)2 2 Ф(Я) =-—-= ¿0

Я

(3.4)

Функция ф (Я) убывает на промежутке (0, Я*) и возрастает на промежутке (Я*, +<»), где

я* = М=гА6^

\тг \ 5ц

Минимальное значение функции ф (Я) равно

^ (Я*) = 4 ' 45\т + ц

Г0

Уравнение (3.4) решений не имеет при ¿0 < ф(Я*), имеет одно решение Я = Я* при

¿0 = ф(Я*) и два решения Я^ и Я2, прич

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»