ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 6, 2012
УДК 531.391
© 2012 г. А. В. Шатина, Е. В. Шерстнёв
ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ
Исследуется движение спутника в гравитационном поле массивной деформируемой планеты. Планета моделируется однородным изотропным вязкоупругим телом шаровой формы в естественном недеформированном состоянии, а спутник — материальной точкой. Функционал потенциальной энергии упругих деформаций вводится в соответствии с классической теорией упругости малых деформаций, а функционал диссипативных сил соответствует модели Кельвина—Фойгта. Из вариационного принципа Да-ламбера—Лагранжа выводится система интегро-дифференциальных уравнений движения системы. В предположении, что жесткость вязкоупругой планеты велика, вводится малый параметр, обратно пропорциональный модулю Юнга, и методом разделения движений строится приближенная система обыкновенных дифференциальных уравнений в векторном виде, описывающая поступательно-вращательное движение системы планета-спутник при учете возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Полученная система уравнений имеет стационарное решение, соответствующее движению спутника по круговой орбите в плоскости, ортогональной постоянному вектору, при этом число стационарных орбит не может быть более двух. Показано, что в случае существования двух стационарных орбит стационарное решение, соответствующее движению по орбите большего радиуса, асимптотически устойчиво, а по орбите меньшего радиуса - неустойчиво. Получена эволюционная система уравнений движения спутника в переменных Делоне, описывающая изменение параметров орбиты. Усреднение проводилось по "быстрой" угловой переменной — средней аномалии.
Исследование приливной эволюции системы планета—спутник проводилось многими авторами с использованием разных моделей для приливного потенциала и момента приливных сил [1—3]. Ниже используются методы, предложенные В.Г. Вильке [4]. Ранее этот подход был применен к ряду задач, в частности к задаче о поступательно-вращательном движении шара в центральном ньютоновском поле сил [5, 6].
1. Постановка задачи. Уравнения движения. Рассмотрим движение системы планета—спутник в гравитационном поле взаимного притяжения. Планету будем моделировать однородным изотропным вязкоупругим телом плотностью р и массой т, имеющим форму шара радиуса г0 в естественном недеформированном состоянии, а спутник — материальной точкой Р массой ц.
Введем инерциальную систему координат ОХЛ с началом в центре масс системы. Для описания вращательного движения планеты введем подвижную систему координат СХ1Х2 Х3 с началом в ее центре масс и систему осей Кёнига С ^ 2^3. Положим R = CP.
2 Прикладная математика и механика, № 6
Радиус-векторы точки P и точки M планеты в инерциальной системе координат имеют вид
RP =R, R M =--L r + г (r + u) (1.1)
m + ц m + ц
где Г — оператор перехода от системы координат СХ1Х2Х3 к системе осей Кёнига, u = u (r, t) — вектор упругого смещения планеты.
Следующие условия однозначно определяют радиус-вектор центра масс деформированной планеты и связанную с ней систему координат Cx1x2x3 [4]:
OC = - [Rm (r, t)pdu, \udv = 0, [rot udu = 0; V = {r e E3: Id < r0} (1.2)
mJ J J
V V V
Потенциальная энергия гравитационного поля определяется функционалом
п = -Л, fpdu , (1.3)
>-г(r + u) ( )
где f — универсальная гравитационная постоянная.
Функционал потенциальной энергии упругих деформаций введем в соответствии с линейной моделью теории упругости
% = \%[u]dv, % [u] = a1(lE-a2IIE), u = (ub u2, u3) (1.4)
v
a _ E(1 -v) a _ 2(1 -2v)
1X1 _-, ui _-
1 2 (1 + v)(1 - 2v) 2 1 -v
IE = Z eii, 11E = Z (eiiejj - j eij = i=1 i<j
idui + duj ydxj dxi
Е — модуль упругости Юнга, V — коэффициент Пуассона материала планеты.
Для описания диссипативных свойств планеты введем диссипативный функционал, соответствующий модели Кельвина—Фойгта
® [и ] = Х^ [и ], X — коэффициент внутреннего вязкого трения
Уравнения движения рассматриваемой механической системы получим из вариационного принципа Даламбера—Лагранжа [4]
| (й м, 5R м )р dv + Р, 5R Р) + 5П + | (V Ли] + V й ЗД + 5и^и + 2, гсЛби^и = 0
V V V (1.5)
где — неопределенные множители Лагранжа, порожденные условиями (1.2). Из равенств (1.1) получим
й м =---— й + Г {со х [ х (г + и)] + 2ю х и + со х (г + и) + „}
т + -
5й м =--+ г (5а х (г + и ) + 5и} (1.6)
т + ц
й Р й, 5йр = 5й
т + ц т + ц
3
Здесь
ю
х (.) = Г-1Г (.), 8Гх (.) = Г [8а х (•)]
Подставляя выражения (1.6) в уравнения (1.5), приравнивая коэффициенты при независимых вариациях 8 Я, 8 а, 8и и учитывая условия (1.2), получим уравнения движения системы планета—спутник
^т ъ г К -Г (г + и)
——Я + м/ I---^3рйи = 0 (1.7)
т + ц V К -Г (г + и)3
ГГ(г + и) х (К -Г(г + и)) ,
--Ц-'-¿рйи = 0 (1.8)
К -Г(г + и)3
Ь -Н/1 -
Ь = [г (г + и) х й [Г (г + и)]рйи
рГ-1Йж-№/——~(г и)3 + Чи%[и + хи] + Х1,5и йи + |(.2 Xп) -дийа = 0 (1.9) 1Г И -(г + и)| )
где Ь — вектор кинетического момента планеты относительно центра масс, д V — граница области V, п — единичный вектор внешней нормали к д V.
2. Возмущенная система уравнений движения. Считаем, что жесткость планеты вели-
г 2 2Г-1 ка, т.е. мал безразмерный параметр е = рю0г0 Е , где ю0 — величина модуля начальной
угловой скорости планеты. Выбрав соответствующим образом масштабы размерных
величин, имеем е = Е 1. При е = 0 вектор упругого смещения и полагается равным нулю. Тогда получим задачу о движении механической системы, состоящей из абсолютно твердого шара и материальной точки в гравитационном поле взаимного притяжения. Уравнения движения невозмущенной задачи имеют вид
К + /т±± Я = 0, Аю = 0 (2.1)
Я3 у '
где А = 0.4тг02 — момент инерции шара относительно диаметра, Я = |К|.
При е ф 0 согласно методу разделения движений для систем с бесконечным числом степеней свободы [4] из уравнения (1.9) будем искать вектор-функцию и, описывающую квазистатические деформации планеты под действием внешних сил и сил инерции, в виде
2
и = еи1 + г и2 +...
Множители Лагранжа X 2 также ищем в виде разложений по степеням малого параметра е
^ 1 = ^10 + £^11 + ..., ^2 = ^20 + £^21 + ....
Полагая в уравнении (1.9) последовательно 8и = 8а х г, 8и = а, а е Е3, и учитывая, что работа упругих и диссипативных сил на бесконечно малых поворотах и поступательном движении равна нулю, получим Х10 = X 20 = 0. Краевая задача для нахождения вектор-функции и! первого приближения по малому параметру е при учете условия |г| < г0 < Я примет вид
еу„ «[и! + ХЙ1] = 2 рш2г + р{1 г ш2 - ш (ш, г)} - /{1 г - % (%, г)}
ю
= |ю|, % = г-1и/я
= 0
(2.2)
(2.3)
Условие (2.3) означает равенство нулю напряжений на поверхности планеты [4, 7]. Заметим, что величины ю, Я, %, входящие в правую часть уравнения (2.2), зависят от времени согласно невозмущенной системе уравнений (2.1).
Решение квазистатической задачи теории упругости (2.2), (2.3) имеет вид [5, 7]
Й1 = ию + ип + Й12 где
Й10 = 2 рю2йг2 + ¿2>02}г
(2.4)
Й11 = р {«1 и12 ~ и120 -Х и 120 {«1
12 2 1, \2 -ю г --(ю,г) 6 2
г + [«2Г2 + ЯзГ)2]
1 2 ! \ -ю г - (ю,г)ю
.3 v 7 .
и - Р{«
и 120 ---Г" {«
Я3 1
Ь6 г' - 2 ^)'
г + [«2Г2 + «3Г02]
1 г - & г Н
а =-(1 + У)(1-2У) а = I1 - 2У)(3 -v) 1 10 (1 — v) ' 2 10 (1 -v)
« - 2(1 + у) « _ (2 + у)(1 + у) « _ (3 + 2у)(1 + У)
«1 _ т-Г", «2 _--;---, «3 _
5у + 7
5у + 7
5у + 7
Далее функцию и = ей (и определяется формулой (2.4)) подставим в уравнения (1.7), (1.8), предварительно линеаризовав их по и и учитывая условие |г + и| ^ Я. После вычисления тройных интегралов по объему V получим векторную систему дифференциальных уравнений движения системы планета—спутник в поле сил взаимного притяжения при учете возмущений, вызванных упругостью и диссипацией:
К + /т±Цк + 3г/р2Л^Г{%ю2 + 2ш(%, ш) - 5% (%, ш)2 +
т+ь
6/ц
Я
ь -
% + х% + 3х Я %
Я
= 0; Л = 4пк ^ кМ = (1 + У)(9У + 13) 105 5у + 7
х ю] (4, ю) + х 4 ]} = 0 Я I Я )
(2.5)
(2.6)
Уравнения (2.5), (2.6) имеют первый интеграл — закон сохранения момента количеств движения системы планета—спутник относительно общего центра масс
цт
И х И + Ь = О 0
т + ц
где О 0 — постоянный вектор.
(2.7)
3. Стационарное движение спутника и его устойчивость. Так как с точностью до членов порядка е вектор кинетического момента планеты имеет вид Ь = AГю, то Гю = A—1L. Тогда при учете уравнений (2.5) и (2.7) получим векторное дифференциальное уравнение орбитального движения спутника
цК = ^ + 6^ +ЕХР2 (3.1)
где
= _ / ц(т + ц) К
0 Я3
(Go - mrR х It)2 2 (R, Go)(G„ - mrR x R)5R (R, Go)2 6/ц„
F1 = -4 <-2—5-R +-2—5---2—7-+ —r-R
I A2R5 A 2R5 A 2R7 R8
R + 2R „ [Go - mrR x R ] x R
F2 = -C2 ^ R8 + R9 R AR •
Q = ъ/ р2Рц (m + ц), C2 = 6/цС1, mr =
m m + ц
Компоненты векторов R, R, G0 в уравнении (3.1) заданы в инерциальной системе координат OXYZ, ось OZ которой направим по вектору G0. Тогда G0 = (0,0, G0). Выпишем компоненты вектора R в сферических координатах R, Р, п
R = (R cos в sin n; R sin в sin n; R cos п )
Уравнения движения спутника в сферических координатах имеют вид
R - Rn2 - RB2 sin2 n + /ñ±£ +
R2
+ _ÍTT{Go(1 - 3cos2 n) - 2G0mrR2psin2 n + m?R4(n2 + P2 sin2 n)} + {1 + = 0 A R R 1 R )
R(3 sin n + 2R|3 sin n + 2R(3n cos n - ^^^r n cos n +
A R (3.2)
+ 6zlb/Ц ((A + mrR2)B - G0)sin n = 0 AR1
Rrj + 2Rii - RB2 sin n cos n + ^bG°(mrR2B - G0)sin2n +
A 2R4
+ (A + mrR 2)f, = 0; b = C
AR1 ц
Система уравнений (3.2) имеет стационарное решение:
R = Rc, в = Go, n = П 2; Go = Go/(A + mR) (3.3)
где Rc — корень уравнения
-Go2 + /^ Г (jo2 + / V o R3 R51 R3 J
Решение (3.3) соответствует движению спутника по круговой орбите радиуса Яс в плоскости, ортогональной вектору С0.
Без учета членов порядка е уравнение для определения стационарного значения Яс примет вид
/„-.см / (т + ц)(А + тгЯ2)2 2 Ф(Я) =-—-= ¿0
Я
(3.4)
Функция ф (Я) убывает на промежутке (0, Я*) и возрастает на промежутке (Я*, +<»), где
я* = М=гА6^
\тг \ 5ц
Минимальное значение функции ф (Я) равно
^ (Я*) = 4 ' 45\т + ц
Г0
Уравнение (3.4) решений не имеет при ¿0 < ф(Я*), имеет одно решение Я = Я* при
¿0 = ф(Я*) и два решения Я^ и Я2, прич
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.