научная статья по теме ДВИЖЕНИЕ ТРЕХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАНЕТ В ПОЛЕ СИЛ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ДВИЖЕНИЕ ТРЕХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАНЕТ В ПОЛЕ СИЛ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2009, том 47, № 5, с. 471-476

УДК 531.391

ДВИЖЕНИЕ ТРЕХ ВЯЗКОУИРУГИХ ПЛАНЕТ В ПОЛЕ СИЛ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ

© 2009 г. В. Г. Вильке1, А. В. Шатина2, Л. С. Шатина1

1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова 2Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) Поступила в редакцию 29.04.2008 г.

В данной работе исследуется поступательно-вращательное движение трех планет, моделируемых вязко-упругими шарами, в гравитационном поле сил взаимного притяжения. Система уравнений движения рассматриваемой механической системы выводится из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа. Методом разделения движений получена приближенная система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая поступательно-вращательное движение планет с учетом возмущений, вызываемых упругостью и диссипацией. Найдено стационарное движение системы - аналог треугольных точек либрации в классической задаче трех тел.

РАС8: 4S.50.Id.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим задачу о движении трех вязкоупру-гих планет в поле сил взаимного притяжения. Планеты будем моделировать однородными вязкоупру-гими шарами с массами ш, и плотностями р, (г = 1,2,3), которые в естественном недеформированном состоянии занимают области V, = {г е Е : |г| < гю} (г = 1,2,3) в трехмерном евклидовом пространстве.

Введем инерциальную систему координат ОХ¥1 с началом в центре масс системы (поскольку систе-маизолирована, то ее центр масс движется равномерно и прямолинейно). Положение точки Мг г-ой планеты определяется векторным полем

КМ1 = К, + Г , (г , + и, (г,, г)) ( г = 1,2,3), (1)

где Г , - оператор перехода от подвижной системы координат С ') х2) Хз), интегральным образом связанной с ¡-ым шаром, к системе осей Кенига С,) ) ^з), и(г, г) - вектор упругого смещения, К, = ОС,.

Следующие условия однозначно определяют радиусы-векторы ОС; центров масс деформированных шаров и системы координат С^у х2 х3 ,

относительно которых шары смысле не вращаются [1]:

интегральном

К = | Км (г, г)р;dV¡, | ий\1 = 0,

V vi

| Ю и ¡й\ I = 0 (¿=1,2,3),

(2)

где й\, = йх^) йх^) йх3), р, - постоянные плотности шаров.

Потенциальная энергия внешних гравитационных полей определяется функционалом:

* = - II ВТ*

I I |КМ1

! Р1Р2

V, V2

К

тйv1 й\2-

М2\

111 КМ1 — Кмз I 1 3 111К

V. V' м 1 м 3 v2 v31

/ р2р3

(3)

К

-,dv2

М 3

здесь/ - универсальная гравитационная постоянная.

Гравитационное взаимодействие частиц планеты друг с другом описывается функционалом потенциальной энергии [2]:

П2 = Е I1Г(г,,и

J I ;о

(4)

1 = 1 V

В соответствии с линейной моделью теории упругости введем в рассмотрение функционал потенциальной энергии упругих деформаций

3

% = Еи ],

I = 1

и;] = 1а п (Т\Е — а 2II, е) dvi,

VI

аi 1 > 0, 0 <а ,2 < 3,

а 1 =

Е, (1— V,)

2 (1+ v¡)( 1—2 V!.)'

2 ( 1 - 2 У , )

(5)

3

3 г _i ••

-V J-'■) |( г, + ц>-)хГ"' RMiptdvi +

ziE - i ejj , J

j -1

3

zz - y (e(i)e(i) - e(02) e(i) - 1

11 iE - i(ekkell ekl ), ekl - 2)

k < l

-i (0 -i (1 duk + d u l

где Б; - модуль упругости Юнга, V; - коэффициент Пуассона, I Б, II Б - инварианты тензора малых деформаций, и; = (ы^, м2'), Мэ)), ; = 1,2,3. | Г-1 Км; + Т | -——————--/р^.,5и

т/ 1 т/ м; — — м:\

Функционал внутренних диссипативных сил бу-

+ i и / PiP jdVi dv j Л

j *i

(i - 1,2,3),

f 3-1 ^

Г (RMi - RMj) .

Vt | j - 1,Vj RMi- RMj|

PidVi +

j * >

дем полагать заданным в виде: Э = i Э,Гiii], rf/miP, V г ] V г • п 5 Л

^i -1 + J I —j—г,- + VU;^i г Ui ] + Vuj Э,Г U i ] + A1i, SuildVi +

где Э, Г ii, ]= хД Г и' ], х, - коэффициент внутренне- v, ri о (10)

го вязкого трения (модель Кельвина-Фойгта). г,, _ ч ,

+ |( 12; X П;,5и;)й<3; = 0 Уравнения движения рассматриваемой меха- ЗУ.

нической системы получим из вариационного '

принципа Даламбера-Лагранжа:

(i - 1,2,3),

3 где дУ; - граница области У;, п; - единичный век-г •• 5 5 тор внешней нормали к ЭУ; При получении урав-Т I (;,5К— ;+ 5П1 + нений (10) была использована формула Остро; = 1у градского-Гаусса в виде:

3

+ i(VU П2 + Vu.%i + Vu Э,,5u ,) + (6) J( 12i, rot5ui)dvi - J (5u iх 12i,ni)

, -1 i i ui vi dv,

3 , x 3 , x Уравнения (8)-(10) являются точными уравне

+ il 11,, J5uidvi ] + if 12i, J rot 5uidvi ] - 0 ниями движения рассматриваемой механической

V * / * / ГЧ-ТГ^ААТТ-Т С ТТТТТТАТТТТГЛТТ ЛТГЛТТАТТТТ Т^АГЛГЛТТТТ вачьт!-

i - 1 V, i - 1 V,

V5u, е (W (V,))3, i = 1,2,3.

системы в рамках линейной модели теории вязко-упругости. Они имеют первый интеграл - закон сохранения момента количеств движения О0 относительно точки О:

Здесь 11;, 12; - неопределенные множители (С0 = 0, (11)

Лагранжа, порожденные условиями (2), ((У;))3 - где пространство Соболева. 3

Вариация вектора Км согласно (1) имеет вид: Со = т— ; X Б— ; + Ь; ] ,

5 —м ; = 5 — ; + Г ; [5а; X ( Г ; + и ;) + 5и ;]

i -1

(12)

(i - 1,2,3),

(7) L, - (г, + u,)хгг-(г, + u,)]'PidV,,

где вариация 5а; возникла при варьировании ор- Ь; - момент количеств движения г-го шара отно-

тогонального оператора Г;[3]: 5Г;(-) = Г;[5а; X (■)]. сительно своего центра масс. Кроме того, так как

Приравнивая нулю коэффициенты при неза- О - центр масс системы, то Т т1= 0.

висимых вариациях 5—;, 5а;, 5и; (; = 1,2,3), получим ; =1 из (6)-(7) уравнения движения системы трех вяз-

коупруги1 шар°в в виде: 2. ПОСТРОЕНИЕ ВОЗМУЩЕННОЙ

3 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

[ —м;р;^; + Т \ \ — /р;р ; = 0 Будем считать, что жесткости упругиХ шароВ Ве-

I г,*!^ — ^I3 /оч лики, т.е. малы безразмерные параметры е; =

V j - 1,vivjlKmi- кMjl (8)

лики, т.е. малы безразмерные параметры е; =

} *; = ю2ор;г2() Б—1, ; = 1,2,3, где ю;0 - модуль начальной

(; = 1,2,3), угловой скорости ¿-го шара, р; - его плотность, г;0 -

радиус в естественном недеформированном состоянии. Выбирая соответствующим образом масштабы размерных единиц, можно получить е, = Е-1. Если е, = 0, то вектор упругого смещения и; (? = 1,2,3) полагается равным нулю.

При условии и = 0 (I = 1,2,3) уравнения (8)-(9) описывают движение трех абсолютно твердых шаров в поле сил взаимного притяжения. Невозмущенная система уравнений имеет вид:

3

, + е

1=", 1 * 1

/шщ/К,- - К;-)

|К, - К13

=0

а = 1,2,3),

А;СО; = 0 (1=1,2,3),

(13)

(14)

здесь А, = 0.4ш ¡r¡0 - моменты инерции недеформи-

рованного г-го шара относительно диаметра, со; -

п ( о ( о ( о

угловая скорость системы координат С хУ х2 х3 ,

определяемая равенством CD¿ х (■) = Г—1]0'■ (■).

При е, * 0 согласно методу разделения движений [1] после затухания собственных колебаний вязкоупругих шаров векторы упругого смещения и, г) будем искать в виде рядов по степеням малых параметров е,:

и ,(г,, г) = еi и( (г ¿, г) + е2 и( 2) (г,, г) + ...

При этом множители Лагранжа также необходимо искать в виде разложений по степеням е:

1и( г) = 110)( г) + е; 111)( г) + ..., 12;( г) = 1<°>( г) + е;12!)( г) + ... (1= 1,2,3).

Из уравнений (10) получим уравнения для функций и(1) первого приближения:

^ ; + х(с х г ;) + ю х г ; + £ х

V¡ V 1 = 1,1

\

•Г—1 (К + ] г; — К, — Г, г,)

V,

|К ; + Г;г ;—К1—Г1г 1

/ р ^ 1,5 и ,

рй v¿ +

/

+

I

//Щр,

3

Г,0

г ; + е ;Уи ,, и(1)] +

(15)

+ Уи, I!(1)] + 1<10), 5и; ] й v¡ + + I (120) х П,5и ;)йст; = 0 С = 1,2,3).

В уравнениях (15) вектор-функции К,, ю, и операторы Г , ( ? = 1,2,3) зависят от времени согласно невозмущенной системе уравнений (13)-(14).

Положив в (15) 5и , = 5а х г, и учитывая, что работа упругих и диссипативных сил на бесконечно малых поворотах равна нулю, получим равенство 120 = 0. Далее, полагая в (15) 5и = а, а е Е3, получим 110 = 0 [1].

Будем считать, что размеры планет много меньше расстояний между их центрами масс, т.е. |г,1 <§ |К - Ку|, I,] = 1,2,3, I *]. Тогда с учетом уравнений невозмущенного движения (13)-(14) уравнение, определяющее первое приближение по е, вектор-функции и примет вид:

е У % Ди(1) + ХиГ'] +

4(1)п

+ р; < ю, х [ю¡ х г ;] +

-г+

(16)

+ Е щ[г—3(Хц,г)1 = 0 а = 1,2,3),

1 =1,1 #>

о„

= 0 (I = 1,2,3).

(17)

Здесь Х1 = Г—1 К/Щ, К,, = К, - К,, Щ = |К|,

е;Уи,%Д и(*>] = —

1

2 (1+ v¿) 1 grad divu(1) + Аи(1)

1—2 v

а условие (17) соответствует равенству нулю напряжений на поверхности шара. Еще раз отметим, что в уравнении (16) векторы К,, ю , и операторы Г, ( I = 1,2,3) зависят от времени согласно невозмущенной системе уравнений (13)-(14).

Будем полагать, что время затухания собственных колебаний ?-го шара превосходит период этих колебаний на наинизшей частоте, но при этом много меньше характерного времени движения шара как целого, и получим решение квазистатической задачи теории упругости (16)-(17) в виде [1, 4]:

(1)

и = и , , +

Еи

1 = 1,1 *"

а = 1,2,3),

(18)

0

3

Т = Т

х

х

3

474 где

If 2 2 /т,\,, 2,2, uii - Pi 1 I 3®i l(d1iri + d2,Г,0)ri +

+ a1

1 2 2 1, л" 6ffl,ri -2(,r,)

r, +

+ (a2,r2 + a3,r20)

3Ш,-Г; - (w,,r,)w,

uij - -

3Pi/m(R,j + 3хj ah

R,j

+ (a2,r2 + a3,r2o)

j ri ( Xij, ri) Xij

1 2 1 42~ 6 r>-2(xj,ri)_

3 X, P,/m

х

R3

х {a1,(Xij,г,)(Xij,г,)r, + (a2,r2 + a3,r2o) х хГ X,j( X ij, г,) + X ,j( XijJi)]}, _ ( 1 + v , ) ( 1 - 2v,■ ) ^ _ (3-v,)(1-2v,)

d 1i - - 1 n j 1 , ■ j , d2i - -

a1 i -

10 (1- v,) 2 (1+ v,)

a3i -

5v, + 7 '

( 1 + v , ) ( 3 + 2v , ) 5 v , + 7

a2i--

10( 1- v,) (1+ v , ) (2 + v , ) 5 v , + 7 ,

r, - г, , ш, - w,

3

m,R, + i

j - 1, j * i

-/Ш,Ш:Щ 3 /m,

R3

4 i Ri4j i

Г, х

х

J{ 5 Ы\ip г,)(xij,ui) - xij( г,, u, )-

Ь; — Т ^^Г;|{[и;х§у](§у,г.-) +

. = 1,. *; У. (20)

+ [ Г; X X;.]( X., и; )}р,й V; = 0 ( 1= 1,2,3) , где вектор Ь; определяется формулой (12).

Учитывая равенства и; = е; и(1) (; = 1,2,3), где и(1)

определены формулами (18), и вычисляя соответствующие тройные интегралы в (19)-(20), получим возмущенную систему уравнений, описывающую поступательно-вращательное движение трех вязкоупругих шаров с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Уравне-г; + ние (19) примет вид:

m

R, + i

j - 1, j * i

/mi m j R , j

R 3

+ F,p + F,d - 0

(21)

(i - 1,2,3),

где

Согласно методу разделения движений полученные решения и; = £; и(1) (; = 1,2,3) необходимо подставить в уравнения (8)-(9), предвари

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»