МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2015
УДК 531.38
© 2015 г. О. С. ВОЛКОВА
ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ В ОБОБЩЕННОМ СЛУЧАЕ СТЕКЛОВА
Изучены семейства изоконических движений тяжелого неавтономного гиростата с неподвижной точкой. В предположении, что выполнены условия существования обобщенного решения Стеклова, указаны явные зависимости от времени основных переменных, аналитически исследованы неподвижные годографы угловой скорости ю, суммарного кинетического момента системы К и радиус-вектора центра масс. Выписана и исследована зависимость от времени угла между К и ю. Получены ограничения на величины углов нутации и собственного вращения.
Ключевые слова: гиростат, переменный гиростатический момент, частное решение уравнений движения.
1. Введение. Постановка задачи. В современной динамике твердого тела одной из базовых моделей является гиростат. Задача о движении гиростата с переменным гиро-статическим моментом впервые, по-видимому, была поставлена Н.Е. Жуковским и В. Вольтерра. Уравнения движения такого гиростата изучали В.В. Румянцев, П.В. Харламов, К. Магнус, Й. Виттенбург и др. Формальное определение, объединяющее различные механические конструкции, дано в [2].
Определение. Пусть для системы тел может быть указан ортогональный базис 0111213, вращающийся с угловой скоростью ю такой, что:
1) вектор ОС, направленный в центр масс С системы, в этом базисе неизменен;
2) момент К количества движения системы относительно точки О представим суммой К = Лю + X, где компоненты симметрического тензора Л = ^^ ; Jkl 1к 0 ^ не зависят от времени, а закон изменения X(t) может быть задан без вычисления ю(?). Такую систему назовем гиростатом, тензор Л — обобщенным тензором инерции, а вектор X — гиростатическим моментом.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из тела-носителя S, имеющего неподвижную точку О, и присоединенных тел 5', ' = 1, 2, ..., п. Если система тел {5, Бъ ..., 5п} удовлетворяет данному выше определению (примеры см. в [2, 3]), то уравнения движения в связанном с 5 базисе имеют вид
.1(0 + = (J ю + X )х ю + Р( е х V), V = V х ю (1.1)
где ю — угловая скорость гиростата, V — орт нисходящей вертикали, X — гиростатический момент, Л — обобщенный тензор инерции, Р — вес гиростата, е — радиус-вектор центра масс.
При постоянном X известны три первых интеграла уравнений движения, но при X = Х(^ система (1.1) допускает только два из них:
(.ю + X, v) = g, IV2 = 1 (1.2)
интеграла энергии в общем случае нет.
Пусть гиростатический момент во вращающемся вместе с телом S базисе имеет фиксированное направление: X = X(t)a, где |а| = 1. Это условие выполнено, в частности, если гиростат состоит из носителя и жестко закрепленного на нем маховика с регулируемой скоростью собственного вращения. Допущение X(t) Ф const расширяет класс возможных движений гиростата: рассматриваемая механическая система может совершать вращения вокруг неподвижной наклонной оси [4] — [7], регулярную прецессию со скоростью, вдвое большей скорости собственного вращения [7], и некоторые другие движения, невозможные в случае X = const. Но в то же время при X(t) Ф const остаются в силе многие условия, необходимые для существования движений обычного гиростата: например, регулярная прецессия возможна только тогда, когда центр масс гиростата принадлежит оси собственного вращения [7].
В предположении, что функция X(t) ограничена и непрерывно дифференцируема, для гиростата с X = X(t)a изучены основные классы движений, характеризуемых линейными инвариантными соотношениями. Среди прочих, найдены решения, соответствующие известным интегрируемым случаям Бобылева—Стеклова, Гесса, Гриоли, Харламовой (см. [6]—[8]). Они сохраняют аналитическую форму записи и общие свойства классических аналогов, а при X = 0 в точности с ними совпадают.
В работе [9] получено решение с квадратичным по компонентам угловой скорости
инвариантным соотношением. При x = 0 оно соответствует решению Харламова [10], а при X = 0 вырождается в решение Стеклова [1]. Гиростатический момент задан в виде
x = [к(w, a) + Х0]а, к = const, Х0 = const (1.3)
при этом система уравнений (1) допускает аналог интеграла энергии:
(Jw, w) + к(w, a)2 - 2(e, v) = 2h (1.4)
Показано, что свойство изоконичности движения, характерное для решения Стекло-ва, для обобщенного решения [9] имеет место только при X0 = 0. Цель настоящей работы — кинематическое истолкование движений гиростата, соответствующих решению [9] с X0 = 0.
Рассматриваемое решение Стеклова получено при условии, что центр масс лежит на главной оси. В решении [10] вдоль той же главной оси направлен и постоянный вектор X. В случае X = X(t) примем аналогичные предположения: X(t) ||a||e||i1||Ji1. Будем считать, что уравнения (1.1) записаны в безразмерной форме, причем |Ре| = 1 (в ином случае несущественные параметры можно устранить заменой w = |Ре|-1/2ю,
X = |Ре|-1/2, ~ = ТГРё t).
2. Аналог решения Стеклова. В найденном В.А. Стекловым [1] частном решении уравнений Эйлера—Пуассона компоненты векторов ю и v связаны соотношениями
v2 = л®! ю2, v3 = m®! ю3 (2.1)
а постоянные n и m заданы распределением масс твердого тела. Вместе с (2.1) уравнения допускают дополнительное, квадратичное по юь ю2, ю3, инвариантное соотношение.
Выпишем решение с инвариантными соотношениями (2.1) для системы (1.1) уравнений движения неавтономного гиростата, дополненной условием X = кю:а. Дважды продифференцируем (2.1) в силу системы (1.1), каждый раз учитывая в полученных выражениях равенства (2.1). В результате будем иметь условия вида ai(J, m, n, к)ю1ю2ю3 = = 0, i = 1, 2. Поскольку решения с линейными по ю инвариантными соотношениями
здесь не рассматриваются, потребуем выполнения а1 = а2 = 0. Эти равенства позволяют выразить п, т через /2, /3 и величину Ь = к +
л = (¿ЛЬ-Л, ж = (Ь - J2) ( Ь - J3) (2.2)
(2Лз - Ь) ' (2^ - Ь)
При Ь = выражения (2.2) совпадают с указанными В.А. Стекловым, но тогда к = 0 и Ц?) = 0. То есть X зависит от времени, только если условия Стеклова не выполняются. Вращения вокруг неподвижной оси мы здесь не рассматриваем, поэтому далее полагаем (/2 — Ь)(/3 — Ь) Ф 0. С учетом (2.1), (2.2) динамические уравнения упрощаются и принимают форму, аналогичную [1]:
Т • ,Т Т-. • (- Ь) . (Ь - ) Ь(01 = (Л2 - Лз)«2®3 , «2 = 7-77-77 «1«3, «3 = (ТТ-77 «1 «2 (2.3)
(2Л2 - Ь) (2Л3 - Ь)
Дополнительное условие /2 = /3 приводит к случаю Лагранжа. Далее считаем, что /2 Ф /3 и, следовательно, Ь Ф 0. Уравнения (2.3) имеют интегралы
/г г\ 2 Ь( Л3 - Ь) 2 , 2 Ь( Ь - Л2) 2 , ..
(Л2 - Л )®2 = ( ; 3 -ч + Й2, (Л2 - Л )«3 = 777—+ ^3 (2.4)
(2Л2 - Ь) (2Л3 - Ь)
Снова обратимся к соотношениям (2.1). Из первых производных (2.1) в силу систе-
22
мы (1) следует зависимость V! = v1( Ю1, Ю2) и квадратичное соотношение между юь ю2, ю3, которое не противоречит (2.4), а связывает интегральные постоянные равенством (2/2 — Ь)Н2 + (2/3 — Ь)Н3 = 0. Введем Н = (2/2 — Ь)Н2 и, учитывая выражения (2.4),
2
выпишем v1( ю1):
= (Л 2 - Ь) (^ - Ь) [ь«2 - (2.5)
1 Ь(2Л2 - Ь)(2Л3 - Ь) 1
Теперь, приравняв единице постоянную в левой части интеграла = 1, определим зависимость Н от Ь и главных моментов инерции:
Н = ±Ь(Л - Ь)-1 (2Л - Ь)(Л - Ь)-1 (2Л - Ь) (2.6)
где знак выбирается так, чтобы правые части равенств (2.4) были положительными.
Таким образом, формулы (2.4), (2.5) и соотношения (2.1) задают зависимости ю2, ю3 и V от ю1. Первое уравнение редуцированной системы (2.3) позволяет определить ю^?). Если параметры удовлетворяют соотношениям (2.2), (2.6), то полученное решение удовлетворит исходной системе дифференциальных уравнений (1.1).
Движение гиростата, соответствующее обобщенному решению Стеклова, обладает свойством изоконичности: подвижный и неподвижный годографы угловой скорости симметричны друг другу относительно касательной к ним плоскости. Этот факт проще установить, используя критерий Р. Фабри [11]: достаточно проверить, что для найденного решения выполняется
(ю, V) = (ю, е) (2.7)
В решении Стеклова свойство изоконичности впервые отмечено П. Филдом [12].
3. Зависимость от времени компонент ю и V. Для выписанного в п. 2 аналога классического решения Стеклова укажем в явном виде ю(?), v(í).
Эллиптическая функция ю^О определяется интегрированием уравнения
х¿>1 = ± х/^+Н хсх/ш^ (з
1 V 2 /2 - X V 2 /3 - X
Поскольку возможность /2 = /3 исключена из рассмотрения, положим /2 > /3. В классическом интегрируемом случае Стеклова возможны два различных типа решения уравнения (3.1). Первый выписан В.А. Стекловым, а условия существования второго указаны Р. Фабри в работе [13]. Но при X Ф 0 вариантов решения уже четыре. В эллиптических функциях Якоби они записываются следующим образом: 1) Ь е (2/3; /2), /2 > 2/3: ю1 = рспи?, ю2 = ^зпи?, ю3 = гдпШ
v1 = - 1 + Х сп и v2 = и28п ШспШ, Vз = и3 ёпи?сп и? X — /3
2_ (X - 2/3)(2/2 - X) 2_ X - 2/3)
Р = -~2-, Ч
(X - /3)2(/2 - X) (/2 - /з)(/2 - X)(X - /з)
г2 = Ь( 2 /2 - X) , ^ = X ( 2 /2 - X ) , ^ = X (X - 2/з)
(X - /3 )2 (/2 - X)' 2 (/2- /з)(х - /3 V 3 (X - /3 )2
2 (/2 - /3) , //2 - х „ /, /3
^ = -^ 2 - -, к = ГА-Г < И - < 1
(/2 - X)(X - /з V / - Л V /2 - /з
2) Ь е (шах{/2, 2/3|; 2/2): = ръпШ, ю2 = дспШ, ю3 = пдпШ
V1 = 1 - х^п_Ш, v2 = и2спutsпШ, v3 = и3ёпиЙпШ X — /з
2 = (X - 2 /з ) ( 2 /2 - X ) 2 X (X - 2/з)
Р - 2 , Ч
(X - /3)2(X - /2) (/2 - /з)(X - /2)(X - /з)
X (2/2 - X) 2 _ X(2/2 - X) 2 _ х (X - 2/3)
2 2 2 г = --—2---, = --—2--—, и3 =
(/2 - /з)(X - /2)(X - /з V 2 (/2 - /з)(X - /зУ 3 (/2 - /з)(X - /з)
и2 = -±-, Л = х-/2 < 1 - ^ < 1 X - /2 л/х - /3 V 2 /2 - /3
3) Ь е (—<»; 0): = рдпШ, ю2 = д$пШ, ю3 = гспШ
/2 2
v1 = —2—+ и1 сп и?, v2 = и2$пШ&пи?, v3 = и3спиМпи? /2 - х
2 = ( 2 /з - X ) ( 2/2 - X ) 2 = -X ( 2/з - X) 2 = -х(2/ - X)
р - , Ч - , '
(/з - X)2(/2 - X) (/2 - X)2(/з - X) (/з - X)2(/2 - X)
= L(/ - /) 2 = -L( 2 / - L) ^ = -L( 2 / - L )
1 J - L )( /3 - L)' 2 J - L) ( /3 - L)' 3 (/3 - l)2
u2 = -J-, k = J2-J < 1 - J < 1
J3 - L VJ2- L V J2
4) L e (2/2; +<»): = ^pdnut, ra2 = qcnut, ra3 = rsnut
J2 2
v1 = —2—+ ^sn ut, v2 = U2cnutdnut, v3 = U3snutdnut L - J2
у = (L - 2 J2 ) ( L -
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.