УДК 521.1
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИ ВОЗМУЩАЮЩЕМ УСКОРЕНИИ, ПОСТОЯННОМ В СОПРОВОЖДАЮЩЕЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА, СВЯЗАННОЙ С РАДИУС-ВЕКТОРОМ
© 2015 г. Т. Н. Санникова1, К. В. Холшевников1,2*
'Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия 2Институт прикладной астрономии Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия Поступила в редакцию 10.12.2014 г.; принята в печать 13.03.2015 г.
Рассматривается задача о движении точки нулевой массы под действием притяжения к центральному телу и возмущающего ускорения Р. Модуль Р считаем малым по сравнению с основным ускорением, вызванным притяжением центрального тела, а компоненты вектора Р — постоянными в обычной для астрономии системе отсчета с началом в центральном теле и осями, направленными по радиус-вектору, трансверсали и бинормали. Постоянство вектора возмущающего ускорения позволяет легко выполнить осредняющее преобразование уравнений движения типа Эйлера в оскулирующих элементах и получить эволюционные дифференциальные уравнения движения в осредненных элементах, что было выполнено авторами ранее в первом приближении по малому параметру. Настоящая статья посвящена интегрированию осредненных уравнений. Оказалось, что система интегрируется в квадратурах, если хотя бы одна из компонент вектора возмущающего ускорения равна нулю, а также если в начальную эпоху орбита — круговая. Более того, все квадратуры выражаются через элементарные функции и эллиптические интегралы первого рода в форме Якоби. Если все три компоненты Р отличны от нуля, то задача сводится к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка, уже, по-видимому, неинтегрируемой. В качестве возможных приложений указывается на задачи о движении естественных и искусственных небесных тел с учетом светового давления; движении космического аппарата с малой тягой; движении астероида под действием реактивного двигателя, установленного на нем или на гравитационном тягаче с целью, например, предотвращения столкновения с Землей.
001: 10.7868/80004629915080083
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим следующую задачу. Пусть точка нулевой массы А (например, астероид) движется под действием притяжения к центральному телу Б (например, Солнце) и возмущающего ускорения Р. Введем обычную в астрономии систему отсчета О с началом Б и с ортами осей 1, ^ к, направленными по радиус-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиус-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей).
Пусть компоненты Б,Т, Ш вектора Р постоянны в системе О и малы по сравнению с основным ускорением к2/г2:
шах{|Р|г2/к2} = ц < 1.
Здесь г = БА, г = |г|, к2 — произведение постоянной тяготения на массу Б. Уравнения движения
типа Эйлера в оскулирующих элементах приводятся во всех учебниках небесной механики. Постоянство вектора Р позволяет легко выполнить осредняющее преобразование и получить уравнения движения в осредненных элементах. В первом порядке малости они выведены в [1, 2]:
* =
а 3er¡
2ша~
е = —
T,
г= — -
П = —
Зе 2шап 3e
cos gW,
(1)
E-mail: kvk@astro.spbu.ru
- sin gW, 2wan sin г
n „ 3ectg г .
wa 2wan 3
M = üj--
wa
За систему независимых элементов мы выбрали
среднее движение и, эксцентриситет е, наклон г, долготу восходящего узла О, аргумент перицентра д, среднюю аномалию М; а = к2/3и-2/3 — большая полуось, г] = л/1 — е2. Производная по времени £ обозначена точкой (для г — жирной точкой).
Во многих случаях первого приближения достаточно. Например, при движении космического аппарата с малой постоянной по модулю тягой или при движении астероида, на котором установлен реактивный двигатель, обеспечивающий малую постоянную по модулю тягу с целью, например, предотвращения столкновения с Землей.
Один частный случай интегрирования системы уравнений движения в осредненных элементах мы уже выполнили в [3]. В настоящей статье мы более подробно рассмотрим решение уравнений (1). Оказалось, что система интегрируется в квадратурах, если хотя бы одна из компонент Б, Т, Ш возмущающего ускорения равна нулю, а также если е = 0 в начальную эпоху.
2. ЭВОЛЮЦИЯ КРУГОВЫХ ОРБИТ
Пусть ео = 0, где индекс 0 указывает на значения переменных в начальную эпоху £ = 0. Очевидно, в этом случае уравнения (1) допускают решение
е = 0, г = г0, О = О0. Оставшиеся уравнения (1) упрощаются:
3,
3T
Со =--Т =
a к2/3
• 2 2 А = и--S = ш---rjT,—--¡¿в.
wa и1/3к2/3
(2)
При е = 0 средняя аномалия и аргумент перицентра теряют смысл. Угловое положение определяется единственной переменной — средней долготой А = Q+g + M.
Если T = 0, то w,a = const,
А = А0 + ( со - —S ) t.
wa
(3)
Решение определено на всей оси времени —то < < то.
Пусть Т = 0. В первом уравнении (2) переменные разделяются, и его решение элементарно. Подстановка решения во второе уравнение (2) позволяет легко найти А:
СО = Wo ( 1 - J-
(4)
а = а0 ( 1 - —
-2
А = Ао +
Wotl
1 - 1 -
tl
+
2S ( t H--In 1--
т V ti
где
tl
к
2/ 3,1/3 ' Wn
к
T
T^Ja^
то решение (4) пере-
Заметим, что при T — 0, t1 -ходит в (3) при w,a = const.
Определим интервал задания непродолжаемого решения, т.е. область определения t £ (t* , t*) решения (4). Не умаляя общности, считаем T > 0, ti > 0, поскольку в первом (не зависящем от второго) уравнении (2) подстановки T — —T, t — t и T — T, t — -1 эквивалентны. Очевидно, t* = -то, t* = ti.
При убывании t, т.е. при движении в прошлое, w возрастает до бесконечности, a убывает до нуля за бесконечное время. Точка A падает на S по спирали.
При возрастании t величина w убывает до нуля, a возрастает до бесконечности за конечное время ti. При нулевом эксцентриситете бесконечность a влечет бесконечность r. Этот бессмысленный результат означает лишь неприменимость метода осреднения при больших t. Действительно, мы предполагали малость функций замены переменных, найденных в [1, 2]. Между тем разности оску-
лирующих и средних элементов содержат делитель
/ t \ 4
2 2 t
w a = w0 a0
При t — t1 этот делитель стремится к нулю. Поэтому формулы (4) применимы лишь при не слишком больших t. Следует ограничиться временем t ^ ^ ti/10. Критическое время асимптотически велико, а именно пропорционально ц 1, как и должно быть по общей теории [4, 5].
Замечание: При T < 0 имеем t* = t1, t* = то.
Перейдем к некруговым орбитам. Осреднение по средней аномалии подразумевает эллиптичность оскулирующей орбиты. Поэтому считаем ниже 0 < ео < 1.
3. ЭВОЛЮЦИЯ НЕКРУГОВЫХ ОРБИТ ПРИ S = 0, T = W = 0
Если T = W = 0, то w,a,e,i, Q = const, и правые части двух последних уравнений (1) постоянны. Отсюда
g = go + V1t, м = Mo + V2t, А = Ао + v3t,
где
V1 =
rjo_
woao
■S, V2 = wo -
3
wo ao
S,
3
4
t
4
v3 = vi + v2 = wq -
35
WqÖq
1 -
Щ 3
Зг? Зг^з
w =--T =--——T,
a к2/3
(5)
3 er? 3 er? .
е =--i =---7-—tttJ, М=ш.
2wa 2X2/3W1/3 '
Как и в разделе 2, считаем Т > 0. Из(5) выводим
dw de
2w
e :
w =
WQ 2
(6)
Подставив (6) во второе уравнение (5), придем к уравнению с разделяющимися переменными:
A =
é = -АеУ3л/ 1-е2, о/3 =ЗТе^3у^
(7)
3Те
> 0.
Замена переменных ж = e2/3, e = x3/2 приводит к простому уравнению
dx
л/Т~
2A ,
= ~Tdt
(8)
Интеграл от левой части (8) в пределах от 1 до х равен -3-1/4^(в, к) [7, пункт 3.139]. Здесь F -неполный эллиптический интеграл первого рода,
к = cos 15° = + ^ = 0.965926,
ß = arccos
л/3 — 1 +
x
л/3 + 1 - ж"
Мы получили кинематическое (по терминологии аналитической механики) уравнение
Теперь t* = —œ, t* = œ. Углы M и Л равномерно возрастают со временем, а угол g равномерно возрастает или убывает в зависимости от знака S.
Замечание: При Т = W = 0 рассматриваемая динамическая система консервативна [1]. Уравнениям (1) можно придать форму уравнений Гамильтона (описывающих изменения канонических элементов) или Лагранжа (описывающих изменения кеплеровых оскулирующих элементов) [6] с гамильтонианом
H = -—-a(l + -)s.
2 а \ 2 J
Зависимость H только от a, e влечет постоянство w, a, e, i, Q и равномерную циркуляцию углов g, M.
4. ЭВОЛЮЦИЯ НЕКРУГОВЫХ ОРБИТ ПРИ T = 0, S = W = 0
Если S = W = 0, то i, Q,g = const, и правые части нетривиальных уравнений (1) принимают вид
2A
F(ß,k)=F(ßo,k) + ^t,
(9)
представляющее время явной функцией от эксцентриситета. Исследуем ее. Вычислим производные
> 0,
(1F_ _ 1
d/3 ~ л/1 - к2 sin2 ¡3
dfi _ 2л/3
dx ~ (д/з + 1 — х)2 sin /3 В начальную эпоху 0 < e0, x0 < 1, так что л/з — 1
-= 2 - л/3 = 0.267949 < cos (30 < 1,
Уз + i
0 <ро <01 = arccos(2 - у/г) = 74.4577°, F {fix ,k) = 1.845375.
Таким образом, с ростом e, x от нуля до единицы угол в убывает от до нуля, и в этом промежутке левая часть (9) возрастает с ростом в и убывает с ростом e, x. Поэтому уравнение (9) однозначно определяет e,x в функции времени.
С убыванием времени в прошлое правая часть (9) убывает, принимая нулевое значение при t = ¿2, где
33/4
t2 = —^jF(l3o,k)<0.
Отсюда получаем, что с убыванием времени от нуля до t = t2 угол в убывает от во до нуля, а эксцентриситет возрастает от e0 до единицы. Среднее движение возрастает от ш0 до ш0/e2, а большая полуось
уменьшается от a0 до a0e0/3. Траектория при t = = t2 становится прямолинейно-эллиптической и ее продолжение за t = t2 не имеет смысла, так как в момент выпрямления направление осей системы O меняется скачком. Таким образом, t* = t2.
С возрастанием времени правая часть (9) возрастает и принимает значение в1 при t = t3, где
t3 =
3З/4
2 А
[F(ßi,k) — F(ßQ,k)] > 0.
Отсюда получаем, что с возрастанием времени от нуля до ¿3 угол в растет от во до въ а эксцентриситет убывает от е0 до нуля. Среднее движение убывает от ш0 до нуля, а большая полуось возрастает до бесконечности, что при нулевом эксцентриситете влечет г -ж. Таким образом, = ¿3. Как и в разделе 2, уход траектории на бесконечность за конечное время говорит лишь о неприменимости метода осреднения при асимптотически больших ¿. Следует ограничиться промежутком 0 ^ £ ^ ¿3/10.
2
e
о
3
ш, 10-7 рад/с
1.0 -
0.8 -
>Л6 -
0.4 Ч
0.2 1 1
12 -
10 \ Q -
8 6 -
4 -
2 1 1
-4 -2 2 t, 1013 с -4 -2 2 t, 1013 с
a, 1012 м -4 -2 t, 1013 с 2
4 - 1 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.