ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 2, 2012
УДК 531.36
© 2012 г. M. Л. Муницына
ДВИЖЕНИЯ СФЕРОИДА НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ
Анализируются условия устойчивости стационарных движений тяжелого сфероида на плоскости с вязким трением. Дается геометрическая интерпретация результатов. Проводится сравнение результатов с соответствующими результатами в случае абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой поверхности. Численно исследуются нестационарные движения сфероида.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о безотрывном движении однородного тяжелого тела, имеющего форму сфероида, на горизонтальной плоскости. Предположим, что в точке контакта тела с плоскостью помимо нормальной реакции действует сила, пропорциональная скорости этой точки тела и противоположная ей по направлению (сила вязкого трения).
В подвижной системе координат с началом в центре масс сфероида и осями,
направленными по его главным центральным осям инерции, уравнения движения тела имеют вид
ти + [ ю, ти ] = - mgY + Щ + Г (1.1)
и выражают теоремы об изменении количества движения (1.1) и момента количества движения (1.2), постоянство единичного вектора восходящей вертикали у (1.3) и условие безотрывности движения тела (1.4). Здесь т — масса сфероида, и — вектор скорости его центра масс сфероида, ш — вектор угловой скорости, g — ускорение свободного падения, N — величина нормальной составляющей реакции опорной плоскости, J = д1а§(/1, J2, /3) — центральный тензор инерции сфероида, г — радиус-вектор скорости точки касания сфероида с плоскостью, и = и + [ш, г] — скорость этой точки, Р = —тки — сила вязкого трения, к — коэффициент трения.
Заметим, что значение к = 0 соответствует случаю абсолютно гладкой поверхности. Кроме того, в предельном случае к = ^ад сила вязкого трения реализует неголоном-ную связь, соответствующую случаю абсолютно шероховатой плоскости [2, 3].
Уравнение поверхности сфероида с экваториальным радиусом а и осевым радиусом с имеет вид
/со + [ ш, /ш ] = [г, N + Г] у = [ Ю, у] = 0
(и, у) = 0
(1.2)
(1.3)
(1.4)
д г) = (^ 1 + ^ 2) /«2 + ^ 3 / с2 = 0
и справедливо равенство
у = -БгаОД г) /^гаОД г )|
(1.5)
Из уравнения (1.1) при помощи соотношения (1.4) получим выражение для величины нормальной реакции плоскости
N = m(g + h(г, w)), h(г, w) = ([г, (ó] + [r, w], у)) + ([w, г], [w, у])
и запишем уравнения движения сфероида в виде
li + [w, u] = - [Г, w] - [г, w] + [w, [w, г]] + h(г, w)y + F
Jw + [w, Jw] = (g + h(г, w))[г, Y] + [г, F] + M (1.6)
Y + [ w, y ] = 0
Учитывая соотношение (1.5), заключаем, что (1.6) — замкнутая система дифференциальных уравнений относительно u, ю и у; она допускает геометрический интеграл у2 = 1 и частный интеграл (1.4).
Полученная система имеет следующие решения:
Yi = Y2 = 0, Y3 = ±1, ю1 = ю2 = 0, ю3 = ю = const (1.7)
Y1 = sin у, y2 = cos V, V = const, y3 = 0 ю1 = юY1, ю2 = ЮY2, ю3 = 0
Y1 = sin 0 sin ю t, y2 = sin 0 cos ю t, y3 = 0
(1.9)
ю1 = ю2 = 0, ю3 = ю = const
Y1 = sin 0 sin ю01, y2 = sin 0 cos ю01, y3 = cos 0 = const
0 0 (1.10) ю1 = юY1, ю2 = юY2, ю3 = ю0 + юY3
На этих решениях проскальзывание отсутствует (u = 0), а величина нормальной реакции равна весу тела (N = mg).
Решения (1.7) соответствуют равномерным вращениям сфероида вокруг оси динамической симметрии, совпадающей с вертикалью, (1.8) — равномерным вращениям сфероида вокруг экваториального радиуса, совпадающего с вертикалью, (1.9) — равномерным качениям сфероида экваториальным сечением по прямой. Решения (1.10) соответствуют регулярным прецессиям сфероида, при которых его центр масс неподвижен, а точка контакта его с опорной плоскостью описывает окружность с угловой скоростью ю на плоскости и окружность с угловой скоростью ю0 на поверхности сфероида [1]. Зависимость угловых скоростей от угла 9 отклонения оси динамической симметрии сфероида от вертикали имеет вид
2 2 i 2 2 2
ю0 = (v - 1 )юcos0, ю = 5g/s; s = a*Jv cos 0 + sin 0 (1.11)
Здесь v = с/а — безразмерный параметр, характеризующий степень вытянутости (v > 1) или сжатости (v < 1) сфероида вдоль оси его динамической симметрии, a s — высота центра масс сфероида над плоскостью.
2. Устойчивость решений. Исследуем устойчивость вращений вида (1.7). В переменных
U = 5 u1 + i5u2, ю = 5ю1 + i 5ю2, y = §Y1 + i 5y2
линеаризованные уравнения возмущенного движения в окрестности рассматриваемых решений при условии (1.4) принимают вид
и± с/О - Лсю/Г + (к - ю/) и± сюО - Ясю2Г = 0
А О ± с ки + (С - А )ю /О±( Яс - с) giГ = 0
Г ± /О±ю /Г = 0 5 и3 = 0, 5Ю3 = 0, 5у3 = 0
А = /1/т = а 2( 1 + V2) / 5, С = /2/т = 2а2 / 5
Д, = а2/с — радиус кривизны поверхности сфероида в точке контакта с плоскостью, а Ьык, 8юк и 8ук (к е {1, 2, 3}) — возмущения соответствующих переменных.
Не приводя ввиду громоздкости явного вида коэффициентов характеристического уравнения первых трех уравнений полученной системы
Х(А,) = 0, х(^) = + (а2 + ¡Ь2 2 + (а1 + /Ь1 + (а0 + ¡Ь0)
заметим, что граница области устойчивости на плоскости параметров (V, ю) определяется равенством %(ш) = 0, а при ю = 0 рассматриваемые решения устойчивы для тел, сжатых вдоль оси симметрии (V < 1). При выполнении условия
(V - 1 )(ю2 - ю21))> 0, ю21) = 5gv3/a
решения (1.7) асимптотически устойчивы по переменным ык, юк, и ук (к е {1, 2}). Кроме того, имеет место асимптотическая устойчивость по переменным ы3 и у3 (постоянные интегралов не возмущаются) и неасимптотическая устойчивость по переменной ю3.
Таким образом, вращения (1.7) вытянутого (сжатого) сфероида устойчивы при
2 2 2 2 Ю > Ю(1) (Ю < Ю(1))
Для исследования устойчивости вращений вида (1.8) без ограничения общности положим у: = 1, у2 = 0. Тогда линеаризованные уравнения возмущенного движения имеют вид
5 и1 + к5и1 = 0, 5(Ю1 = 0, 5,у1 = 0
5 и2 + а5(о3 - Яа ю5'у3 + к5и2 - ю5и3 + аю5ю2 - аю2 5у2 = 0
5и3 - а5Ю2 + аю5у2 + ю5и2 + к5и3 + аю5ю3 - Яаю25у3 = 0 А5((2 + ак5и2 - (С - А)ю5ю3 - g(а - Яа)5у3 = 0, С5Ю3 - ак5и2 = 0
5,у2 + 5ю3 - ю5у3 = 0, 5у3 - 5ю2 + ю5у2 = 0
(2)
II III \ 1 \ - -1 -Ч 1
V > 1 1 V < 1
и(2)
Фиг. 1
где Яа = с2/а. Характеристическое уравнение
(А, + к)(а0^5 + а1+ а2+ а3^2 + а4А, + а5) = 0; а0 > 0, а1 > 0 (2.1)
имеет три нулевых корня. Вещественные части всех остальных корней отрицательны при выполнении условий
а3 > 0, а5 > 0, а!а2 - а0а3 > 0
2
(а1 а2 - а0а5)(а3а4 - а2а5) - (а0а5 - а1 а4) > 0
(2.2)
На фиг. 1 представлены соответствующие условиям (2.2) области устойчивости на плоскости параметров (ю2, к2) в случаях вытянутого (V > 1) и сжатого (V < 1) вдоль оси симметрии сфероида. Здесь
к
2 - 20^ 2 _ 35¡1
ю
т2 = 5^ к2 = 40 я ( V 2 + 3)
ю(2) = —, к(2) = _ ^ ^ 2
49 а ■ 2 а (V2 + 6) а " 7а( 9 V2 + 19)
Таким образом, вращения (1.8) вытянутых сфероидов устойчивы в случае к > к(2),
22 если ю2 < юк, а в случае к < к(2) — если ю2 < Ю(2). Вращения (1.8) сжатых сфероидов
2 2 2
всегда неустойчивы при к > к(2), устойчивы при к* < к < к(2), если Ю(2) < ю2 < юк, и
устойчивы при к < к*, если ю2 > ю^). Значение юК зависит от коэффициента вязкого трения и определяется кривой, приведенной на фиг. 1.
В случае абсолютно гладкой поверхности (к = 0) уравнение (2.1) принимает вид
(^2 + ю2)(Ь0Х2 + Ь1) = 0; Ь0 > 0
и вращения (1.8) устойчивы в первом приближении при выполнении условия
Ь1 = (V2 + 1 )ю2 + 5¡(V2 - 1)/а > 0
В случае абсолютно шероховатой поверхности (к = количество степеней свободы уменьшается, и уравнение (2.1) принимает вид
(с0 + с1) = 0; с0 > 0
2
к
2
к2
Ш2
2
2
0
Ш
Соответствующие условия устойчивости
c1 = (v2 + 6)ю2 + 5g(v2 - 1)/a > 0
совпадают с полученными ранее [4].
Исследуем устойчивость решений вида (1.9). С помощью замены переменных
Ui = YiSmi + Y25ы2, U2 = Y25wI - YiS«2, U3 = 5W3
Q1 = Y15ю1 + Y2 5Ю2 , Q2 = Y2Sro1 - Y1Sro2, Q3 = 5ю3 (2.3)
Г1 = Y1SY1 + Y2 SY2, Г2 = Y2 SY1 - Y1SY2, Г3 = SY3
линеаризованные уравнения возмущенного движения в окрестности рассматриваемых движений приводятся к виду
U + к U1 = 0, U2 + к U2 - aQ = 0, U3 + a Q2 + aaQ1 + к U3 = 0
AQ1 - C®Q2 = 0, A Q2 + C wQ1 - a к U3 + (a - Ra)gr3 = 0, CQ3 + aK U2 = 0
Г1 = 0, Г2 - Q3 = 0, Г3 + Q2 = 0
Характеристическое уравнение этой системы
(А, + к)(а^ + р)( d0X3 + d{k2 + d2X + d3) = 0 (24)
а > 0, p> 0, d0 > 0, d1 > 0
имеет четыре нулевых корня. Вещественные части всех остальных корней отрицательны при выполнении условия d1d2 — d0d3 > 0, принимающего вид
(v2 - 1 )(ю2 - ю^)< 0, ю^ = 5g(v2 + 1)/(2a)
Таким образом, качения (1.9) вытянутого (сжатого) сфероида устойчивы при
2 2 2 2 Ю < Ю(3) (ю > Ю(3))
В случаях абсолютно гладкой и шероховатой плоскостях условия устойчивости рассматриваемых движений
4ю2 + 5g(v4 - 1)/a > 0, 14ю2 + 5g(v4 - 1)/a > 0
совпадают с полученными ранее [3].
Исследуем устойчивость регулярных прецессий сфероида вида (1.10). С помощью замены переменных, отличающейся от замены (2.3) наличием в правой части пятого равенства дополнительного слагаемого — ю(у28у1 — Yi8y2), линеаризованные уравнения возмущенного движения в окрестности рассматриваемых движений приводятся к виду
U1 = 0
• 2 -1 * * 2 -1 *
U2 + cs cosOQ1 - sQ.3 + cs юГз + кР2 + ю U3 + юsQ2 = 0 U3 + sQ2 - ю U2 + кU3 - юс2s_1cos0Q1 + юsQ3 - ю2Л_1Г3 = 0
к(2)
y3
1 0
y3
t
1 0
y3
1 0
y3
Фиг. 2
Aill + (C -A)cos0Оз + к(a2 - c2)^ :cos0 U2 - (.4 - C)ю cos0i2 = 0
(2.5)
(A + B)i - ksU3 - Cюcos0i1 + C®i3 -(2cW0 + 2a'cos20 - B)s 1Г3 = 0
22
C i + к a2s 1U = 0
Г1 = 0, Г2 = 0, Гз + = 0
где
B = (c - a2)2s 2sin20cos20 Характеристическое уравнение системы (2.5) имеет вид
(a'0k5 + a'^4 + a'2X3 + a'3X2 + a^^ + a5) = 0, a0 > 0, al > 0
На фиг. 2 представлены области устойчивости рассматриваемых решений при разных значениях v на плоскости параметров (у3, к2), соответствующие аналогичным (2.2) условиям. Заметим, что левый фрагмент фиг. 2 соответствует всем значениям v > v0 « « 0.706, и чем больше значение параметра v в этом случае, тем "шире" область устойчивости. Кроме того, в случаях абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскостей рассматриваемые решения всегда устойчивы.
Таким образом, если коэффициент вязкого трения больше к(2), то прец
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.