ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2011, том 49, № 3, с. 323-332
^=ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАЗМЫ =
УДК 537.525.5
ДВУХМЕРНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОРОТКОГО СИЛЬНОТОЧНОГО ВАКУУМНО-ДУГОВОГО РАЗРЯДА © 2011 г. Я. И. Лондер, К. Н. Ульянов
Всероссийский электротехнический институт им. В.И. Ленина, Москва Поступила в редакцию 24.12.2009 г.
Разработана кинетическая двухмерная модель короткого сильноточного вакуумно-дугового разряда, в которой замагниченные электроны движутся в гидродинамическом режиме, а быстрые катодные ионы — в режиме свободного пролета в двухмерном электрическом поле. Модель учитывает распределение ионов по углам вылета на катодной границе плазмы. Предложен метод расчета распределения концентрации плазмы в промежутке. Рассчитаны двухмерные распределения плотности плазмы, электрического поля, плотности тока разряда и траектории ионов во внешнем продольном магнитном поле. Показано, что имеет место взаимное пересечение ионных траекторий и возвращение части ионных траекторий на катод. При уменьшении внешнего магнитного поля снижается число достигающих анода ионных траекторий. Вблизи анода возникает эффект ионного "голодания", который может приводить к нарушению стационарного токопереноса и образованию анодного пятна. Отмечено, что при кинетическом описании движения ионов не происходит образования ударной волны.
ВВЕДЕНИЕ
При математическом моделировании короткого сильноточного вакуумно-дугового разряда (ВДР) во внешнем магнитном поле обычно применяются 2Э-модели, основанные на уравнениях магнитной гидродинамики [1—7]. В этих работах предполагается, что в сверхзвуковой ионной струе температура ионов не превышает 1 эВ. При такой температуре кулонов-ское сечение для ион-ионных соударений достаточно велико и ионы в межэлектродном промежутке испытывают большое число столкновений. Однако ситуация не столь очевидна. Ионы вылетают из области катодных факелов с широким угловым распределением и имеют среднюю поперечную энергию, сравнимую с продольной [8]. Наличие большой поперечной энергии (кинетической температуры) приводит к значительному уменьшению кулонов-ского сечения. Поэтому в зависимости от кинетической температуры и плотности ионов, пропорциональной плотности тока ВДР, возможны как столк-новительные, так и бесстолкновительные режимы движения ионов. При относительно низкой плотности тока поток катодных ионов можно рассматривать как поток не взаимодействующих между собой частиц. При высокой плотности тока, когда концентрация быстрых ионов существенно возрастает, следует учитывать влияние взаимных соударений. Пороговое значение плотности тока дугиу*, выше которого нужно учитывать соударения катодных ионов между собой, было получено в [8] из условия, при котором частота соударений ионов равна обратному времени пролета промежутка. Выражение для у* имеет вид:
з V? (кТ/)3/27М
4л/Л У¥0
г/3 3 .
Л
( 4ябо)?
(1)
Здесь и Мх — заряд и масса ионов соответственно; Те — кинетическая температура ионов, определяемая угловым распределением и полной энергией ионной струи; Л — кулоновский логарифм; е — заряд электрона; к — постоянная Больцмана; у ~ 0.1 — доля ионного тока; У0 — размер межэлектродного промежутка; vi — направленная скорость потока ионов; е0 — диэлектрическая постоянная.
Определим V{ и Т{е для различных видов углового распределения катодных ионов. Направим ось У от катода к аноду. Будем считать, что в первичной катодной струе ионы вылетают из области катодных факелов с энергией (0), а вероятность вылета в заданном направлении пропорциональна степени г (г > -1) косинуса угла 9 между направлением вылета и осью У. Тогда для функции распределения ионов вблизи катодной границы плазмы можно записать
/ (V, 0) = С^'бб (V - V0).
(2)
Здесь v0 = л]2е(- (0)/ М — начальная скорость ионов, 5 (V - V)) — дельта-функция Дирака, С1 — нормировочный множитель. Используя сферическую систему координат в пространстве скоростей и предполагая, что угол 9 ограничен величиной 9тах < я/2, можно с помощью (2) вычислить направленную скорость и кинетическую температуру ионов на катод-
—
ной границе плазмы (для упрощения записи индекс "ef" опускаем):
v,
V (0) =
r +1
(1
r + 2л - cos em
r + 2 (1 - cosr + 1en
Tv 0> x 1
kTt (0) = 3 e, (0)
1 - (li) (
r + 2r\ - cos em
(r + 2)2 (1
r + 1n
- cos em
.)
(3)
Подставляя (3) в (1) получим выражение для плотности тока у*. Для оценок можно без ограничения общности положить г = 0, т.е. рассмотреть случай, когда вероятность вылета иона не зависит от угла 9. Тогда дляу* получим следующее выражение:
j =
(4nSo)
2 5/2
cos
(max/2)1 - COS4 (Gmax/2)
3/2
Z3e3YoYA
(4)
Для ВДР с медными или хром-медными электродами типичные значения физических параметров следующие: Mj = 10-25 кг, Z = 1.8, Y = 0.08 кг, = 7-10,
Sj = 50-70 эВ. Полагая 9max=я/3, из (4) получим, что
если Sj = 50 эВ, Y0 = 1 см, то j* = 0.27 кА/см2, если же
S, = 70 эВ, Y0 = 0.5 см, тоj* = 1.25 кА/см2. Приj j* движение ионов следует описывать в режиме сплош-
ной среды. При j < j* ионы движутся без столкнове-
ний в сложном двухмерном электрическом поле. В таком многопотоковом режиме возможно взаимное пересечение ионных траекторий и возврат части ионного потока на катод. Именно такой режим движения ионов будет рассмотрен в настоящей работе.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассмотрим модель токопереноса и течения плазмы в вакуумно-дуговом разряде, находящемся в однородном внешнем магнитном поле By. Направим
ось Хдекартовой системы координат вправо, ось Y— вверх, а ось Z — таким образом, чтобы система координат оказалась правой. Катод разряда поместим в плоскости Y = 0, анод — в плоскости Y = Y0. Размер разряда по оси X будем считать равным 2X0 c правой границей при х = XQ. В направлении оси Zразряд будем считать неограниченным. В такой модели хол-ловский ток, текущий вдоль оси Z, замкнут на бесконечности. Отметим, что в вакуумных выключателях постоянного тока применяется система электродов, состоящая из катода в виде плоского кольца и плоского анода, причем ширина кольца и расстояние между электродами много меньше радиуса кольца. Для описания такой конфигурации можно использовать предлагаемую модель. Модель пригодна также (с точностью до множителей порядка единицы) для описания короткого цилиндрического ВДР с замкнутым током Холла.
В отличие от [9, 10], где предполагалось, что быстрые катодные ионы движутся к аноду с постоянной скоростью вдоль оси Y, в настоящей работе скорость ионов будем определять из уравнения движения ионов. Предположим, что в каждой точке катодной границы плазмы абсолютная величина скорости ионов постоянна и определяется их начальной энергией, а направления вылета в плоскости X— Yравно-вероятно распределены в диапазоне углов ±0max. Плотность потока ионов связана с плотностью тока разряда через долю ионного тока у, соответствующую определенной скорости эрозии g материала катода. Между параметрами у и g существует простое соотношение: у = eZ g/M t [11]. Температуру электронов в данной работе будем считать постоянной и равной Te0.
Распределение компонентов электрического поля и плотности тока в плоскости X—Y может быть
найдено с помощью уравнения Максвелла rot E = 0,
уравнения непрерывности divj = 0 и обобщенного закона Ома, который можно записать в виде
e = j + üs __L grad^e
a ene ene
(5)
В (5) и далее будем пренебрегать ионным током и считать, что ] = е Запишем также уравнение движения ионов, в котором из-за отсутствия столкновений ионов между собой пренебрежем членом, учитывающим градиент ионного давления:
= е -1 + (6) 1 а
В (5) и (6) а — проводимость плазмы, пе — ее концентрация, ре — давление электронного газа, V — вектор ионной скорости. Уравнение (6) не содержит в явном виде концентрации ионов и может рассматриваться как уравнение движения отдельного иона в электрическом и магнитном полях.
Введем безразмерные переменные и параметры, а также нормировочные константы:
I* = у* = I10, Е* I-10 , ф* = I10,
хо о а0
.if!
n* - jj_ B* - r °l
,* - j
ev о
y -
X
Rm
t -■
t* - X0, x -
v 0
X0
a -
ne -■
t*
B
By - y -
B*
(7)
M -
M v 02. ZtkTe
Rm -
_ Ц0v0a0X0 .
и -
By . g- kTe0 a0
И 0 Ы'
Y
ßy
ene
В (7) М, ц, 8, ву, Ят — безразмерные параметры (ву(х, у) > 1 — локальный параметр Холла, значения которого в каждой точке с координатами х, у определяются в процессе получения решения); Ят — магнитное число Рейнольдса для электронов; ц0 — магнитная постоянная; 210 — ток разряда на единицу длины в направлении оси Z; v0 — абсолютная величина начальной скорости ионов; а 0 — проводимость плазмы при температуре электронов Те0; знак "*" обозначает нормировочные константы; знак обозначает безразмерные переменные.
Так как в дальнейшем будем иметь дело с безразмерными переменными, то знак "~" для упрощения записи опустим.
В безразмерных переменных из закона полного тока следует
В7 — -R„I —
-Rm J
dx.
(8)
J X
(9)
Для компонентов плотности тока имеем
д£ к =61
ду у дх
При выполнении (9) уравнение ёг^ = 0 удовлетворяется автоматически. Далее, учитывая, что Е. = 0, из (5) находим соотношение междуи]х
к = Чхв у. (10)
С учетом (8)—(10) из уравнения (5) для компонентов электрического поля Ех и Еу следует
Ех = _ 81 _ RmLд! _51 дь,
а ду ne дх ne дх Ev = 1 й1 - rI д! -51 dne.
(11)
(12)
стдх ne ду ne ду Учитывая, что в соответствии с уравнением rot E = 0 должно выполняться соотношение дЕу/дх - дЕх/ду = 0, из (11), (12) получим уравнение для определения тока I как функции координат х и у. Это уравнение имеет вид
A (IdI) + 5
дх \адх.
1el
ч ду
dI dn,
— Rm
ду dI dn
\
j
(13)
т п2 \дх ду ду дх, Граничные условия к уравнению (13) ставились следующим образом. В плоскости симметрии — УХ(0, у) = 0, на боковой границе плазмы —./Х(1, У) = 0. Последнее условие соответствует ВДР с изолированной стенкой при х = 1. На анодной границе плазмы использовалось граничное условие, предложенное в работе [9], допускающее существование на части анода положительного анодного падения. При этом в области отрицательного падения использовалось условие непрерывности тангенциальной со-
ставляющей электрического поля
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.