ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 5, 2013
УДК 539.4
© 2013 г. Матвиенко Ю.Г.
ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ В СОВРЕМЕННЫХ
ПРОБЛЕМАХ ПРОЧНОСТИ
Приведены перспективные модели и критерии двухпараметрической механики разрушения, учитывающие особенности напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещиноподобного дефекта. Показаны теоретические и экспериментальные методы, позволяющие с учетом несингулярных составляющих поля напряжений у вершины трещины (разреза) оценивать траекторию трещины, конструкционную прочность и живучесть поврежденных критически важных элементов.
Фундаментальные исследования в науке о прочности, живучести и безопасности машин и конструкций при наличии трещиноподобных дефектов позволили сформировать основные положения, модели и критерии классической механики разрушения, основанной на однопараметрическом описании напряженно-деформированного состояния у вершины трещины, где в качестве единственного параметра выступает сингулярная составляющая поля напряжений, например, коэффициент интенсивности напряжений, /-интеграл и др. Эти подходы создали базис и нашли отражение в прикладных исследованиях и разработке нормативно-технических документов практически во всех отраслях машиностроения. Тем не менее результаты последнего десятилетия в области экспериментальных исследований статической и циклической трещи-ностойкости, численного моделирования свидетельствуют о значительном влиянии размеров трещин и разрезов, геометрии образцов, схемы их нагружения и толщин на характеристики трещиностойкости и напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины [1—6]. Современные исследования показывают, что для расширения рамок применимости классической механики разрушения в модели и критерии разрушения необходимо введение дополнительных параметров, более полно характеризующих напряженно-деформированное состояние и отражающих локальное стеснение деформаций (или трехосность напряженного состояния) в окрестности вершины трещины. В качестве параметров локального стеснения деформаций в окрестности вершины трещины (надреза) можно использовать несингулярные компоненты Т-напряжений, Q и параметры, параметр трехосности к и другие [4, 5, 7— 11]. Заметим, что между некоторыми параметрами трехосности напряженного состояния у вершины трещины существует аналитическая связь [12].
Отмеченные представления приводят к формированию так называемой двухпараметрической механики разрушения, учитывающей в анализе напряженно-деформированного состояния не только сингулярную компоненту поля напряжений, но и несингулярную компоненту, параметр, локального стеснения деформаций у вершины трещины. Таким образом, становится очевидным необходимость уточнения моделей и критериев механики разрушения, базовых уравнений и методов расчета на прочность поврежденных трещинами критически важных элементов машин и конструк-
ций с учетом двухпараметрического представления напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины.
В настоящей статье представлены некоторые результаты по созданию моделей и критериев двухпараметрической механики разрушения, полученные в Институте машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, а также в рамках сотрудничества с ведущими зарубежными и российскими научными центрами.
Поле перемещений и напряжений у вершины трещины. Справедливости ради следует заметить, что многопараметрическое представление поля перемещений у вершины трещины в упругом теле в виде сингулярной и несингулярных компонентов в двухмерной постановке было дано Уильямсом еще в середине прошлого века и оставалось невостребованным долгие годы [13]
u = Е
n = 1
да
= Е
и =
n/2/i \
r (1+v) a
E
n/2/i . \ r (1 + v)А
E
k + - + (-1)" 2 v '
k - - - (-1 )n 2
ne n (n - 4)9
cos---cos---—
2 2 2
. ne n . (n - 4)e
sin--+ - sin --—
2 2 2
(1)
где Е — модуль упругости; V — коэффициент Пуассона; к = (3 — v)/(1 + V) и к = (3—^) для плоского напряженного состояния и плоской деформации, соответственно; Ап — постоянные коэффициенты; г, 9 — радиальная и угловая координаты точки в полярной системе координат с началом в вершине трещины.
Асимптотическому разложению (1) соответствует следующий вид упругого поля напряжений у вершины трещины нормального отрыва:
Л.
42п r
fti(e) + Txx5xi5xJ + Аг42Пг + О (r),
(2)
где К1 — коэффициент интенсивности напряжений нормального отрыва; /¡(9) — угловая функция, которая определяется разложением (1); 8,у — символ определителя Кро-некера.
Несингулярная составляющая Т^ разложения (2) представляет собой постоянное напряжение, которое действует в плоскости трещины в направлении ее распространения. Коэффициент интенсивности напряжений К и 7^-напряжения для трещины нормального отрыва определяется из разложения (1) следующим образом:
Kl = А1Л/2Л, T = 4А2.
(3)
Третье слагаемое, которое пропорционально величине коэффициента А3, в ряде случаев также может вносить заметный вклад в результирующее поле напряжений (2).
В общем случае поле упругих напряжений в окрестности трехмерного фронта трещины смешанного типа (I + II) с учетом первых компонентов несингулярных членов разложения (Тхх- и Т-напряжений) можно представить в следующем виде [14]
1
л/2 nr 1
л/2л r 1
л/2 п r 2 v
л/2п r
V • 0 • 3e^ ^ . e 39
AT cos - 1 - sin - sin — - ATT sin - 2 + cos - cos — 1 2 V 2 2 J TT 2 V 2 2
V e^ • e ■ 39V ^ . er e 39
AT cos-l 1 + sin-sin— | + ATT sin-V cos-cos —
2 V 2 2
e 3 e
2 ^J
3 e ( e з e"
Kjsin-1 cos-cos--— I + Kjjcos-1 1 - sin-sin —
j 2 V 2 2) jj 2 V 2 2
e
22 e
Kj cos — Kjj sin j 2 jj 2
+T
Tzz = Eszz + uTxx.
+T
да
n
n
n
о
iJ
°xx =
°yy =
о
xy
°zz =
У
о -'♦У
Рис. 1
Здесь х, у, г — оси локальных декартовых, связанных с вершиной трещины (рис. 1: напряженное состояние у фронта трехмерной трещины); К и Кп — коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) нормального отрыва и поперечного сдвига, соответственно; — компоненты тензора напряжений (;, ] = х, у, г); — деформация в направлении оси г (толщины тела).
Напряжения Тхх отражают степень стеснения деформаций перед фронтом трещины, действуют в плоскости трещины в направлении ее возможного распространения и могут быть как растягивающими, так и сжимающими. Эффект стеснения деформаций вдоль фронта трещины обусловлен действием в его направлении Т^-напряжений, что в значительной мере отражается на размерах зоны пластической деформации у вершины трещины и трещиностойкости образца в связи с изменением его толщины [5]. Для определения компонентов Т-на-пряжений можно использовать экспериментальные методы и численное моделирование в трехмерной постановке. Следует обратить внимание, что в последнее время особенное значение приобретают комбинированные экспериментально-расчетные методы, позволяющие более корректно оценивать значения компонентов Т-напряжений в реальных критически важных элементах машин и конструкций [15].
Экспериментальное определение Т^-напряжений. Экспериментальные методы определения сингулярных и несингулярных компонентов поля напряжений основаны на представлении о поле перемещений на поверхности тела в окрестности вершины трещины (формулы (1)—(3)). В настоящее время интенсивно развиваются экспериментальные методы определения Тхх-напряжений, основанные на использовании тензо-датчиков [16], фотоупругости [17], корреляции цифровых изображений [18], электронной (цифровой) спекл-интерферометрии [19] и др. При этом в качестве исходной информации используют поле перемещений, деформаций или напряжений в окрестности вершины трещины.
Приведем некоторые результаты экспериментального определения Тхх-напряже-ний методом последовательного наращивания длины трещины [20]. Исходной экспериментальной информацией служат поля приращений тангенциальных компонентов перемещений, которые регистрируются методом электронной спекл-интерферомет-рии. Эти данные интерпретируются в терминах коэффициентов асимптотических разложений (1) Уильямса с ограничением до четвертого члена в рядах, что обеспечивает определение величин коэффициентов интенсивности напряжений и Тхх-напряжений. Первой особенностью разработанного метода является отсутствие необходимости использования численных моделей, связанных с геометрическими параметрами исследуемого объекта и способом его нагружения, при интерпретации исходных экспериментальных данных. Во-вторых, наличие картин интерференционных полос, зарегистрированных непосредственно в окрестности вершины трещины, служит надежным индикатором типа напряженного состояния.
Таким образом, формулы для перехода от измеряемых величин к требуемым параметрам механики разрушения принимают достаточно простой и наглядный вид. Пример зависимости коэффициента интенсивности напряжений (а) и Т-напряжений (б) от длины последовательно наращиваемого (посредством пропиливания) ¿Т-образного надреза различного радиуса округления его вершины р в ДКБ-образце алюминиевого сплава 2024 представлен на рис. 2 (1 — р = 0,15 мм, 2 — 0,5 мм).
Особый интерес представляет использование разработанного подхода для анализа напряженно-деформированного состояния у вершины трещины в поле остаточных напряжений [20].
Рис. 2
Численное определение компонентов Т-напряжений. Численный конечно-элементный анализ трехмерного напряженно-деформированного состояния в окрестности фронта трещины позволяет установить компоненты напряжений (или перемещений), исходя из которых можно определить коэффициенты интенсивности напряжений трещины смешанного типа
К1 = 0 = 0 - 0 =-п - 0 = + п), = 0 = -п - °хх| 0 = +п)-
При этом расчет Т^-напряжений можно осуществлять по напряжениям на берегах трещины по формуле
- [СТхх|0 = -п + СТхх|0 :
полученной из соотношений (4) или по перемещениям точек берегов трещины
Тхх = -Т [и(г> -п) + и(Г п)] .
2 г( 1 - V 2)
Аналогичным образом по соответствующим напряжениям можно определить Т^-напряжения
Т„ = -+ а_-|„ , ]
И т1 И10 = -п ££ 10 = + п -1
или по Т^-напряжениям и деформациям (формула (4)).
Как при определении КИН, так и при расчетах несингулярных напряжений Т^ и Т^ определяют распределение искомых величин для ря
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.