ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 4, 2012
УДК 621.9.047; 532.528
© 2012 г. Н. М. Миназетдинов
ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ПЕРИОДИЧЕСКИМ КАТОДОМ-ИНСТРУМЕНТОМ
Поставлена и решена задача электрохимической обработки металлов периодическим катодом-инструментом в виде решетки пластин. Гидродинамический аналог исходной задачи — задача о плоскопараллельном потенциальном циркуляционном течении идеальной несжимаемой жидкости вокруг пластин-электродов. Для задания исходных данных и условий, определяющих параметры задачи, рассмотрены вспомогательные схемы. Найдены установившиеся формы анодных границ. Показано, что за счет изменения характеристик электрического поля получаются разные анодные границы при условии, что свойства металла и электролита, геометрия электрода-инструмента и его скорость подачи одинаковые.
Ранее [1, 2] на основе гидродинамической аналогии были решены двумерные задачи электрохимической обработки трехгранным катодом симметричной формы и катодом с криволинейным участком границы. Ниже в рамках модели идеального процесса [3] находится решение задачи, связанной с определением установившейся формы поверхности детали при обработке периодическим катодом. Такой электрод может быть использован для формирования рельефных поверхностей теплообменных устройств.
1. Модель процесса. В качестве первого приближения в теоретическом анализе процесса электрохимической обработки металлов используется модель идеального процесса. Электрическое поле в межэлектродном промежутке считается потенциальным, а потенциал u поля — гармонической функцией. Граница анода (обрабатываемой поверхности) и катода-инструмента (обрабатывающей поверхности) — эквипотенциальные линии поля. В установившемся режиме форма обрабатываемой поверхности в подвижной системе координат, связанной с катодом, не изменяется. Распределение нормальной производной потенциала на установившейся анодной границе имеет вид [2, 3]
д u a! р Vc к — = —1 + cos 0
д na a 0 a 0 8
где к — удельная электропроводность среды, с — электрохимический эквивалент металла, р — плотность материала анода, 0 — угол между вектором Ус скорости подачи катода и вектором па внешней нормали в данной точке анодной границы. Постоянные а0, а1 характеризуют свойства электролита; были приведены [4] их значения, найденные из экспериментальных данных [5], полученных при обработке стали 5ХНМ.
Рассматривается двумерная модель процесса. Вводится система декартовых координат х1, у1, связанная с катодом, который движется в направлении оси ординат. Используя предпосылки модели идеального процесса [3], будем считать, что в области
F F
Фиг. 1
межэлектродного промежутка существует комплексный потенциал электрического поля
W (Zi) = и (zi) + iu(zi), Zi = xx + iyx
u(z1) — потенциал поля, v(z1) — функция тока [6]. Введем характерные плотность тока i0, которая зависит от скорости подачи катода и свойств обрабатываемого металла, и длину H [7], а также безразмерные переменные
io = Р V/s, H = к(ua - uc)/io, x = xi/H, y = yi/H, n = na/H
Здесь ua и uc — значения потенциала поля на границах анода и катода. Перейдем к безразмерному комплексному потенциалу
W(z) = ф(х, y) + iy(x, y); z = x + iy, W(z) = ( Wi(z) - iuc)/(ua - Uc)
В области межэлектродного промежутка функция у — гармоническая и на границах анода и катода удовлетворяет условиям [i]
Уа = i, Wc = 0; (ду/dn )a = a + b cos 0; a = -ai / (aoio), b = i / ao
Электрическое поле в межэлектродном промежутке моделируется фиктивным плоскопараллельным потенциальным течением идеальной несжимаемой жидкости [8]. На анодной границе скорость фиктивного течения изменяется по закону [1]
V = a + b cos 0 (1.1)
9 — аргумент вектора скорости.
2. Постановка и решение основной задачи. Схема сечения межэлектродного промежутка представлена на фиг. 1. Катод-инструмент образован бесконечной совокупностью расположенных на плоскости одинаковых пластин длины 2/, каждая из которых получается из смежной параллельным переносом на одну и ту же величину 2h вдоль оси абсцисс. Толщина пластин пренебрежимо мала. Ограничимся рассмотрением области, расположенной между линиями симметрии AFи BF. На ней: CDE — граница катода, линия AB — искомая анодная граница. На линии AF имеется точка P ветвления
Фиг. 2
¥ , Г
1 ¥о А В
Р
Е в С
0 Фо Ф1 Ф
Фиг. 3
эквипотенциальном линии электрического поля, в которой напряженность равна нулю [9]; Г — бесконечно удаленная точка.
Гидродинамическим аналогом является задача по определению границы потока АВ с заданным законом изменения скорости (1.1). Поток создается системой непрерывно распределенных источников вдоль линий АР, ЕР и стоков на линиях ВС и ГР. В точке Р скорость фиктивного течения жидкости равна нулю (фиг. 1). Обозначим через область течения в физической плоскости z (фиг. 1), через 0) — полукруг единичного радиуса параметрической плоскости t = ^ + Ш (фиг. 2). Будем искать конформное отображение области 0) на Соответствие точек видно из фиг. 1, 2.
Комплексный потенциал W(t) = ф(?) + ;у(0 удовлетворяет условиям
у( 0 = {1, ' = еХР (/ст), ае[ °'Я] (2.1)
[о, г = —8,о]
где ст — полярный угол в параметрической плоскости t. На линиях ЕГ, ВС, АР и РГ функция ф(0 принимает постоянные значения. Не нарушая общности, будем считать, что
ф(^) =
°, -/, -8] Ф°, -1, -/]
Ф1, 1 ]
Область изменения комплексного потенциала представлена на фиг. 3.
Используя метод конформных отображений [6], найдем производную комплексного потенциала
йЖ йг
I т ( г);
= |т(х) йх, т( г) =
( г+Р) (1 + гр)
(г + / (1 + г/)4 г (г + 8)( 1 + ге)
(2.2)
Интегрированием равенства (2.2) по полуокружности бесконечно малого радиуса с центром в точке t = —/ на плоскости переменной t с помощью теории вычетов [6] найдем
Фо =
п
(р - /) ( 1 - /р)
0(1 -/)/- 8)( 1 -/8)
(2.3)
0
о
Интегрируя равенство (2.2) соответственно на отрезках [—б, 0] и [—1, —p], получим
1
Ф1 = 1 f-р^ dx, у = 1 - I ГЩdx (2.4)
I0i а/8 - X *0J Jx - 8
0^ p*
F(x) = (x - p) ( 1 - XP)
(x - f) (1 - x/)Vx( 1 - x8)
При гидродинамической интерпретации задачи параметр ф0 связан с циркуляцией Г скорости по замкнутому контуру вокруг границы катода равенством ф0 = —Г/2 [7]. Параметр у0 определяет количество фиктивной жидкости, протекающей между границей анода-детали и точкой Р разветвления течения. Значение параметра Лф = ф1 — ф0 характеризует величину электрического тока I, протекающего через участок АВ анодной границы (5 — дуговая абсцисса)
ЛФ = |
д у
ds =
дп к(ua - Uc)
AB
Введем функцию Жуковского [10]
Х(t) = lnf 1 dW = r- i0; r = lnV (2.5)
VVo dzJ Vo
где V0 = a + b — значение скорости фиктивного течения в точке B(t = 1), и представим ее в виде суммы [10]
X( t) = X * (t) + ю( t) (2.6)
где %*(t) = r# — r# = ln( V#/ V0) — функция Жуковского для течения по заданной схеме с условием V^ = V0 на анодной границе AB, а ra(t) — функция, аналитическая в области Gt и непрерывная в замкнутой области Gt. На границе области Gt функции %(t) и %*(t) удовлетворяют условиям
т (Р) т (Р) J 0, £e[-1, -p) u (-d, 1 ]
Imx(^) = Imx* = ^
[-п, e (-p, -d) (2.7)
a + bcos0(t) = V0exp(r(t)), r*(t) = 0, t = exp(ia), ae [0, п], r( 1) = 0
Используя метод особых точек Чаплыгина [10], найдем
X* (t) = ln ( t + p) (1 + td) (2.8)
(1 + tp)( t + d) V '
Учитывая равенство (2.6) и граничные условия (2.7), для функции ra(t) получим нелинейную краевую задачу
a + b cos ( T + ц) = V0exp (A,) (2.9)
£
Imffl(^) = 0, e [-1, 1 ]; Reю( 1) = 0
(2.10)
Здесь
T = 1т х*( ехр (га)), ц = 1т ю( ехр (га)), X = Яе ю( ехр (га))
Функция ю(0, в силу условия (2.10), разлагается в степенной ряд с вещественными коэффициентами (всюду далее суммирование ведется от к = 1 до к = да)
ю( г) = Со + I скгк, Со = -Хек (2.11)
Введем функцию
ад = м(х - й) ехр(1(-1 ^ ^); м =-1-
(1 - хй)4\-хг ехР (Со) Уо1о
Из формул (2.2), (2.5), (2.6), (2.8), (2.11) будем иметь равенство
¿1 = -/--^(-г) (2.12)
йг (г + /) (1 + г/),ДТ+г)
Интегрированием равенства (2.12) по полуокружности бесконечно малого радиуса с центром в точке ? = —/ с помощью теории вычетов найдем расстояние между линиями ЛЕ и ВЕ
2
Н = п-( 1 - /Р) р (/) (2.13)
(1 - / )//-Т)
Интегрируя равенство (2.12) на отрезках [—й, 0] и [—б, —й], найдем, соответственно, длины Ьх и Ь 2 отрезков СБ и БЕ
й £
¿1 = -р2 (х) йх, = р2 (х) йх; ¿1 = ¿2 = I (2.14)
о й
2
Р (х) = -( 1 хР\ Р (х)
(/- х)(1 - х/)7х (б - х)
Коэффициенты разложения (2.11) определяются методом коллокаций таким образом, чтобы на искомой анодной границе удовлетворялось условие (2.9) в конечном числе точек.
Так как положение точки Р неизвестно, то для определения параметров й, б, f, р имеется только три геометрических условия, определяемых уравнениями (2.13), (2.14) при известных значениях полудлины I пластин и расстояния к между линиями ЛЕ и ЕЕ. Введем дополнительное условие, задавая параметр у0 и используя вторую формулу из соотношений (2.4).
В предельном случае, когда точка Р совпадает с бесконечно удаленной точкой Е, количество фиктивной жидкости, протекающей между границами катода-инструмента и линией тока, проходящей через точку Р, будет наименьшим, а значение функции у = у2 в точке Р будет соответствовать наименьшему значению параметра у0. Учитывая, что значения параметра у0 меньше единицы, получим условия
^2 <Уо < 1 (2.15)
необходимые для выбора значений параметра Для определения значения рассмотрим задачу для указанного предельного случая.
3. Предельный случай. Область 0) изменения параметрической переменной ? = ^ + ;8 при учете равенства/ = р совпадает с областью, представленной на фиг. 2. На границе области 0) мнимая часть функции Ж(?) удовлетворяет условиям, аналогичным (2.1), а ее вещественная часть на линиях АР, ВС и ЕР принимает постоянные значения:
|ф2, 0, 1 ]
Область изменения комплексного потенциала Ж представлена на фиг. 4, его производная имеет вид (2.2) при / = р, и в результате интегрирования, соответственно, на
отрезках [—р, —б] и [—б, 0] получим
p Е
^ = ^НО = , Ф2 = ф(о) = Г^; Fз(л) =
1 ^х - е * л/е -л 10ых( 1 - ел)
Формулы, определяющие функцию Жуковского (2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.